Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:34 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Es seien X, Y unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen mit Var(X)=Var(Y).
a) Man zeige: Es sind auch X+Y und X-Y unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen
b) Man prüfe, ob die Voraussetzung Var(X)=Var(Y) entbehrlich ist. |
Hallo,
mit dieser Aufgabe komme ich leider nicht so ganz zurecht.
Ich muss doch zunächst einmal die Dichte von X+Y bzw. X-Y bestimmen, oder? Kann mir dabei bitte jemand einen Tipp geben, wie man das macht?
Anschließend muss man doch ja auf Unabhängigkeit prüfen.
Danke schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mo 22.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Murx,
im Rahmen welcher Veranstaltung wurde dir diese Aufgabe gestellt?
M.a.W. ueber wieviel Vorwissen verfuegst du?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo Luis52,
die Aufgabe wurde mir in der Veranstaltung "Einführung in die Stochastik" gestellt.
Bisher haben wir diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsräume und Grenzwertsätze betrachtet. Wir fangen nun an mit der Schätztheorie...
Lässt sich die Aufgabe denn auf so viele verschiedene Arten lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mo 22.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis52,
>
> die Aufgabe wurde mir in der Veranstaltung "Einführung in
> die Stochastik" gestellt.
>
> Bisher haben wir diskrete und stetige
> Wahrscheinlichkeitsräume und Grenzwertsätze betrachtet. Wir
> fangen nun an mit der Schätztheorie...
>
> Lässt sich die Aufgabe denn auf so viele verschiedene Arten
> lösen?
Durchaus. Am einfachsten laesst sie sich mit momentererzeugenden (oder charakteristischen) Funktionen loesen. Eine weitere Moeglichkeit ist der Faltungssatz. Eine dritte Moeglichkeit ist der Transformationssatz fuer Dichten.
Kannst du mit einem dieser Begriffe etwas anfangen?
vg Luis
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Hallo Murx,
wir hatten da vor Kurzem eine Frage, bei der
es fast um dieselbe Thematik ging: Link
hoffentlich hilft dir das weiter
Gruß Al
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey ich sitz an der selben Aufgabe wie Murx..nur häng ich schon daran zu zeigen, dass X+Y normalverteilt ist.
Ich hab es mit der Dichte/Faltung versucht:
Sei [mm] f_X(x)=\bruch{1}{\wurzel{2*\sigma^2*\pi}}*e^{\bruch{-(x-\mu_1)^2}{2*\sigma^2}} [/mm]
und [mm] f_Y(x)=\bruch{1}{\wurzel{2*\sigma^2*\pi}}*e^{\bruch{-(x-\mu_2)^2}{2*\sigma^2}}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] f_(X+Y)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(z)*f_Y(x-z)dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{{2*\sigma^2*\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{\bruch{-(z-\mu_1)^2}{2*\sigma^2}}*e^{\bruch{-(x-z-\mu_2)^2}{2*\sigma^2}}dz}
[/mm]
=...= [mm] \bruch{1}{{2*\sigma^2*\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}exp{\bruch{-2*z^2+z*(2*\mu_1+2*x-2*\mu_2)+2x\mu_2-\mu_1^2-x^2-\mu_2^2}{2*\sigma^2}}
[/mm]
So und hier ist mein Problem...ich weiß absolut nicht wie ich das ausrechnen soll um zu zeigen, dass es auch normalverteilt ist!
Ich hoffe mir kann jemand helfen!!
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
dazu kann ich dir eine url angeben:
http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws03_04/wr/skript/node38.html
(in der früheren Diskussion mit original-tom haben
wir diesen Satz nicht bewiesen, sondern vorausgesetzt)
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 01.01.2009 | | Autor: | xxxx |
Hey,
ich häng auch grad an dieser Frage, also der Link ist echt super hilfreich nur versteh ich dort eine Sache nicht, und zwar (46) in dem Beweis in der 3 Zeile, wohin verschwindet bei dem ersten e das [mm] \mu_1 [/mm] und woher kommt bei dem zweiten e das [mm] \mu_1 [/mm] ? das ist mir irgendwie nicht ganz klar
lg xxxx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 01.01.2009 | | Autor: | Damn88 |
Hey Al-Chwarizmi vielen Dank für den Link!! Erst war ich total happy, nur dann stand ich vor dem selben Problem wie xxxx!
Ich komme einfach nicht dahinter wie man von der zweiten in die dritte Zeile kommt..habe es ausmultipliziert und so weiter.. und hab einfach nicht raus, dass das das selbe ist! Also zumindest wenn man das ohne die Integrale betrachtet. Oder hat das eben gerade nur etwas mit den Integralen zu tun?
Wäre toll wenn uns das jemand erklären könnte!
Gibt es diese Faltung denn eigentlich auch für X-Y?
Viele Grüße,
Damn
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> Hey Al-Chwarizmi vielen Dank für den Link!! Erst war ich
> total happy, nur dann stand ich vor dem selben Problem wie
> xxxx!
> Ich komme einfach nicht dahinter wie man von der zweiten
> in die dritte Zeile kommt..habe es ausmultipliziert und so
> weiter.. und hab einfach nicht raus, dass das das selbe
> ist! Also zumindest wenn man das ohne die Integrale
> betrachtet. Oder hat das eben gerade nur etwas mit den
> Integralen zu tun?
Ich habe da zuerst auch etwas gerätselt, aber es
ist ganz einfach. Es wird eine Koordinatentransfor-
mation gemacht. [mm] t-\mu_1 [/mm] wird durch $t$ ersetzt.
Weil die Integration eh von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] geht, macht
dies nichts aus. Das Ganze würde etwas durchsichtiger,
wenn man einen Variablenwechsel vornähme.
>
> Gibt es diese Faltung denn eigentlich auch für X-Y?
Diesen Fall kann man wegen X-Y=X+(-Y) auf den
für die Summe zurückführen, wenn man sich zuerst
die Verteilung von (-Y) klar macht.
LG Al
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Zwei Zeilen weiter in diesem ![[]](/images/popup.gif) Beweis habe ich
auch ein Verständnisproblem, nämlich da wo die
Funktion g(z) eingeführt wird und in den Nennern
plötzlich der Term [mm] \sigma_1^2+\sigma_2^2 [/mm] auftritt.
Da sehe ich nicht durch und frage mich, ob es nicht
auch Mathedozenten gut anstünde, komplexere
Umformungen in ein paar Worten zu motivieren
und zu erläutern ...
Gruß an alle
und happy new [mm] $\blue{ 1*2-(3-4-5)*6*7*8-9}$ [/mm] !
oder z.B.:
[mm] 10*\wurzel{9}*(8+7*6+4*5-3)-2+1
[/mm]
[mm] 1+\wurzel{-2+3\,!\ }\ *4^5-6-7-8-9-10
[/mm]
 Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 01.01.2009 | | Autor: | Damn88 |
Hey, oooh maan...vielen dank!!
Das ärgert mich echt, dass ich das mit der Substitution nicht gesehen habe!
Ich hab jetzt versucht den Beweis durchzugehen und hab auch den Großteil verstanden bis auf eben genau das mit dem g(z). Also wie genau man auf g(z) kommt!
Da ich es nicht hinbekommen habe, habe ich versucht ne bessere Erklärung zu finden und das hier gefunden:
http://math-www.uni-paderborn.de/~walter/teachingSS07/EinfuehrungInDieStochastik/
unter "blatt13.pdf mit Musterlösung" Aufgabe 73
Ich habe das jetzt noch nicht komplett durchgearbeitet, aber ich hoffe damit funktioniert es und deine/unsere Frage beantwortet sich damit auch
Was mich besonders ärgert ist, dass das echt bis jetzt nur eine Teilaufgabe ist^^
Ich hoffe den Rest bekomm ich noch irgendwie hin..
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:18 Fr 02.01.2009 | | Autor: | winzi |
soweit habe ich alles verstanden.
Die Unabhängigkeit wurde aber leider nicht gezeigt. weiß jemand von euch weiter?
Grüße
winzi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Damn88 |
Hey, ich dachte eigentlich ich würde das mit der Unabhängigkeit schaffen..aber anscheinend doch nicht.. *depri^^
Also ich kenne:
$ [mm] f_X(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_1)^2}{2\cdot{}\sigma^2}} [/mm] $
$ [mm] f_Y(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_2)^2}{2\cdot{}\sigma^2}} [/mm] $
[mm] f_{X+Y}(x) =\bruch{1}{\wurzel{4\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_1-\mu_2)^2}{4\cdot{}\sigma^2}} [/mm]
[mm] f_{X-Y}(x) =\bruch{1}{\wurzel{4\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_1+\mu_2)^2}{4\cdot{}\sigma^2}} [/mm]
Nun wollte ich für die Unabhängigkeit von X+Y und X-Y zeigen, dass gilt:
[mm] f_{(X+Y,X-Y)}(x,y) [/mm] = [mm] f_{X+Y}(x)*f_{X-Y}(y)
[/mm]
Hab ich das überhaupt richtig verstanden?
Also mit [mm] f_{(X+Y,X-Y)}(x,y) [/mm] mein ich die gemeinsame Dichte von X+Y und X-Y
Aber ich bin mir nicht sicher, ob in dem Satz zur Unabhängkeit mit den Dichten wirklich [mm] f_{X+Y}(x)*f_{X-Y}(y) [/mm] gemeint ist..
Also will ich erst einmal [mm] f_{(X+Y,X-Y)}(x,y) [/mm] berechnen:
X und Y sind unabhängig
=> [mm] f_{(X,Y)}(x,y)= f_X(x)*f_Y(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\sigma^2*\pi}*e^{-\bruch{1}{2*\sigma^2}*((x-\mu_1)^2+(y-\mu_2)^2)} [/mm] (wenn ich das mit der Unabhängigkeit denn richtig verstanden habe...)
Nun gilt:
[mm] f_{(X+Y,X-Y)}(x,y) [/mm] =1/2 * [mm] f_{(X,Y)}(1/2(x+y),1/2(x-y)) [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4*\sigma^2*\pi}*exp(-\bruch{1}{4*\sigma^2}*((2x+2y-4\mu_1)^2+(2x-2y-4*\mu_2)^2))
[/mm]
und [mm] f_{X+Y}(x)*f_{X-Y}(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4*\sigma^2*\pi}*exp(-\bruch{1}{4*\sigma^2}*((x-\mu_1-\mu_2)^2+(y-\mu_1+\mu_2)^2))
[/mm]
Also müsste für die Unabhängigkeit von X+Y und X-Y gelten:
[mm] ((2x+2y-4\mu_1)^2+(2x-2y-4*\mu_2)^2))=((x-\mu_1-\mu_2)^2+(y-\mu_1+\mu_2)^2))
[/mm]
und das ist nicht das selbe...
Weiß jemand, wo mein Fehler ist?
Habe ich den Satz schon ganz falsch verstanden oder mich anch mehrmaligen nachrechnen immer wieder verrechnet?
Danke schon mal!
Viele Grüße Damn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 So 04.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hey, ich dachte eigentlich ich würde das mit der
> Unabhängigkeit schaffen..aber anscheinend doch nicht..
> *depri^^
>
> Also ich kenne:
>
> [mm]f_X(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_1)^2}{2\cdot{}\sigma^2}}[/mm]
>
> [mm]f_Y(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_2)^2}{2\cdot{}\sigma^2}}[/mm]
> [mm]f_{X+Y}(x) =\bruch{1}{\wurzel{4\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_1-\mu_2)^2}{4\cdot{}\sigma^2}}[/mm]
> [mm]f_{X-Y}(x) =\bruch{1}{\wurzel{4\cdot{}\sigma^2\cdot{}\pi}}\cdot{}e^{\bruch{-(x-\mu_1+\mu_2)^2}{4\cdot{}\sigma^2}}[/mm]
>
>
> Nun wollte ich für die Unabhängigkeit von X+Y und X-Y
> zeigen, dass gilt:
> [mm]f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)[/mm] = [mm]f_{X+Y}(x)*f_{X-Y}(y)[/mm]
>
> Hab ich das überhaupt richtig verstanden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also mit [mm]f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)[/mm] mein ich die gemeinsame Dichte
> von X+Y und X-Y
> Aber ich bin mir nicht sicher, ob in dem Satz zur
> Unabhängkeit mit den Dichten wirklich [mm]f_{X+Y}(x)*f_{X-Y}(y)[/mm]
> gemeint ist..
>
> Also will ich erst einmal [mm]f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)[/mm] berechnen:
>
> X und Y sind unabhängig
> => [mm]f_{(X,Y)}(x,y)= f_X(x)*f_Y(y)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2*\sigma^2*\pi}*e^{-\bruch{1}{2*\sigma^2}*((x-\mu_1)^2+(y-\mu_2)^2)}[/mm]
> (wenn ich das mit der Unabhängigkeit denn richtig
> verstanden habe...)
>
> Nun gilt:
> [mm]f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)[/mm] =1/2 * [mm]f_{(X,Y)}(1/2(x+y),1/2(x-y))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4*\sigma^2*\pi}*exp(-\bruch{1}{4*\sigma^2}*((2x+2y-4\mu_1)^2+(2x-2y-4*\mu_2)^2))[/mm]
>
Unabhaengigkeit folgt auch, wenn dir eine Darstellung der Form [mm] $f_{(X+Y,X-Y)}(x,y) =g_1(x)g_2(y)$ [/mm] gelingt, wobei [mm] $g_1$ [/mm] bzw. [mm] $g_2$ [/mm] nur x bzw. nur von y abhaengt. Von dieser Form ist aber der von dir berechnete Ausdruck. (Irgendwie scheint da etwas der Wurm drin zu sein. Rechne bitte noch einmal nach)
vg Luis
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> Also will ich erst einmal [mm]f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)[/mm] berechnen:
>
> X und Y sind unabhängig
> => [mm]f_{(X,Y)}(x,y)= f_X(x)*f_Y(y)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2*\sigma^2*\pi}*e^{-\bruch{1}{2*\sigma^2}*((x-\mu_1)^2+(y-\mu_2)^2)}[/mm]
> (wenn ich das mit der Unabhängigkeit denn richtig
> verstanden habe...)
>
> Nun gilt:
> [mm]f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)[/mm] =1/2 * [mm]f_{(X,Y)}(1/2(x+y),1/2(x-y))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4*\sigma^2*\pi}*exp(-\bruch{1}{4*\sigma^2}*((2x+2y-4\mu_1)^2+(2x-2y-4*\mu_2)^2))[/mm]
Hallo,
Sofern dies soweit richtig ist (habe nicht nachgerechnet),
lässt sich eine "separierte" Darstellung, wie von Luis vor-
geschlagen, leicht erzielen: wenn man den Term in der
Klammer im Exponenten ausmultipliziert, fallen die Produkte
x*y heraus und es ergibt sich dann eine Gleichung der Form
$\ [mm] f_{(X+Y,X-Y)}(x,y)=\bruch{1}{4*\sigma^2*\pi}*exp\left(-\bruch{1}{4*\sigma^2}*(A(x)+B(y)+C)\right)$
[/mm]
$\ [mm] =\bruch{K}{\pi}*exp(-K*A(x)-K*B(y)-K*C)$
[/mm]
Dies lässt sich leicht auf die Form [mm] g_1(x)*g_2(y) [/mm] bringen.
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 04.01.2009 | | Autor: | Damn88 |
Wirklich vielen vielen vielen Dank für eure ganze Hilfe!!
Ich hatte mich wohl immer wieder verrechnet... und habs jetzt endlich richtig raus.. war wohl was überarbeitet..
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 04.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
deine Happy New-Schreibweise ist echt cool =)
lg
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Vor zwei Jahren, also für 2007, habe ich eine
lange Serie solcher Beispiele erstellt. Bedingung:
es werden die Zahlen 1 bis 9 (oder 1 bis 10) in
aufsteigender oder absteigender Reihenfolge
benützt. Erlaubt sind die vier Grundoperationen
+, -, *, / und Potenzen, Wurzeln und ev. die Fakultät.
Dazu natürlich beliebige Klammern. Hingegen
keine weiteren Funktionen und insbesondere
keine "Gaussklammern" zum Abrunden. Sonst
würde das Spiel irgendwie unschön.
Ich habe mir gedacht, vielleicht haben auch
im Matheraum einige Leute Spass an diesem
"Zahlengolf" ...
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,dieser "Zahlengolf" gefällt mir =)
Hast du dir die Beispiele immer selbst ausgedacht?
lg
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> Ja,dieser "Zahlengolf" gefällt mir =)
> Hast du dir die Beispiele immer selbst ausgedacht?
Ja, das ist auf meinem eigenen Mist gewachsen.
Ich schliesse aber nicht aus, dass andere ebenso
blühende Misthaufen haben ...
Sowas muss man nur mal selber ausprobieren.
Mit "Zahlengolf" meine ich übrigens, dass man
zuerst mit wenigen grossen Schlägen (z.B. mittels
geeigneter Potenzen oder einer Fakultät) versucht,
in die Nähe der Zielzahl (diesmal 2009) zu kommen
und dann versucht, mit dem verbleibenden Zahlen-
material schliesslich zum exakten "Einlochen" zu
kommen.
viel Vergnügen beim Ausprobieren !
Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xxxx!
Hier scheint mir eine Substitution durchgeführt worden zu sein. Leider wurde dabei der alte Variablenname wieder benutzt.
[mm] $$t^{\star} [/mm] \ := \ [mm] t-\mu_1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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