Unabhängigkeit von ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mi 08.11.2006 | | Autor: | PaulP |
| Aufgabe | Seien A, B unabhängigie Zufallsvariablen. Sei P(A+B=c)=1 mit einem c [mm] \in \IR.
[/mm]
Zu zeigen: A,B sind fast-sicher konstant. |
Hallo,
das ist für mich sehr logisch, aber irgendwie habe ich Probleme, das auch zu begründen.
Löse ich das über den Träger oder gibt es einen einfacheren Weg?
Gruß,
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mi 08.11.2006 | | Autor: | DirkG |
Es gibt einfache elementare Wege, z.B. indirekt:
Nimm also das Gegenteil an, dass o.B.d.A. $A$ nicht fast sicher konstant ist. Dann muss es eine reelle Zahl $a$ sowie eine Wahrscheinlichkeit $p$ mit $0<p<1$ und $P(A < a) = p$ geben. Daraus folgt $P(B > c-a) = p$ (warum?) und für das Gegenteil $P(B [mm] \leq [/mm] c-a) = 1-p$. Bei angenommener Unabhängigkeit von $A$ und $B$ kann man dann schließen
$$P(A < [mm] a,B\leq [/mm] c-a) = P(A < [mm] a)\cdot [/mm] P(B [mm] \leq [/mm] c-a) = p(1-p) > 0.$$
Nun ist aber $[A < [mm] a,B\leq [/mm] c-a]$ ein Teilereignis von $[A+B<c]$, kann also nur eine höchstens so große Wahrscheinlichkeit wie letzteres haben. Wegen $P(A+B<c)=0$ haben wir damit einen Widerspruch.
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