Unbedingt konvergente Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Sir_E |
| Aufgabe | | Folgendes sollte bewiesen werden: Absolut konvergente Reihen - und nur diese - sind auch unbedingt konvergent |
Hallo zusammen,
Also, das aus absoluter Konvergenz die unbedingte Konvergenz folgt, hab ich soweit kapiert.
Jetzt heißt es indem Buch, das ich hier lese zur Rückrichtung:
Jetzt nehmen wir an, dass zwar die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}, [/mm] nicht jedoch die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}|a_{k}| [/mm] konvergent ist. Unter dieser Voraussetzung werden wir zeigen, dass eine gewisse Umordnung von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] gegen eine willkürlich dvorgegebene Zahl S konvergiert - womit der Beweis beendet ist.
Meine Frage ist jetzt, wieso der Beweis dann zu Ende ist, hat man dann wirklch die absolute Konvergenz gezeigt? Irgendwie kapier ich den ansatz des Beweises nicht so wirklich.
Danke schon mal im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Folgendes sollte bewiesen werden: Absolut konvergente
> Reihen - und nur diese - sind auch unbedingt konvergent
> Hallo zusammen,
>
> Also, das aus absoluter Konvergenz die unbedingte
> Konvergenz folgt, hab ich soweit kapiert.
>
> Jetzt heißt es indem Buch, das ich hier lese zur
> Rückrichtung:
> Jetzt nehmen wir an, dass zwar die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{k},[/mm] nicht jedoch die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}|a_{k}|[/mm] konvergent ist. Unter dieser
> Voraussetzung werden wir zeigen, dass eine gewisse
> Umordnung von [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}[/mm] gegen eine
> willkürlich dvorgegebene Zahl S konvergiert - womit der
> Beweis beendet ist.
>
> Meine Frage ist jetzt, wieso der Beweis dann zu Ende ist,
> hat man dann wirklch die absolute Konvergenz gezeigt?
> Irgendwie kapier ich den ansatz des Beweises nicht so
> wirklich.
Man hat die Kontraposition von ``unbedingt konvergent [mm] $\Rightarrow$ [/mm] absolut konvergent'' gezeigt:
Wenn die Reihe nicht absolut konvergent (die Reihe konvergiert, die Reihe der Betraege nicht) ist, dann ist sie auch nicht unbedingt konvergent (eine Umordnung liefert einen anderen Grenzwert).
Das ist aequivalent dazu, das man ``unbedingt konvergent [mm] $\Rightarrow$ [/mm] absolut konvergent'' zeigt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Sir_E |
Danke für die hilfe jetzt ist alles klar geworden.
Gruß sir e
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