Unbestimmte Mehrfachintegr.? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Do 27.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Ich hätte nur mal eine Frage: ist es eigentlich sinnvoll unbestimmte Mehrfachintegrale einer Funktion, welche von mehreren Variablen abhängig ist zu definieren? Ich habe da mal ein wenig was gerechnet (bestimmt ist da ein (Denk-)Fehler drinne :) ) und bin darauf gekommen, dass folgendes Integral auch das Ergebnis 0 liefern könnte:
[mm] \integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}} [/mm] |
Ich habe das wie folgt berechnet:
[mm] \integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}=\integral{\integral{(\bruch{x^{2}}{2}*y*z+A(y;z))dydz}}
[/mm]
A(y;z) kommt hierbei zustande, weil y und z aus Sicht von x Konstanten sind und somit nicht nur eine Konstante, sondern eine Funktion mit den Variablen y und z zustande kommen könnte.
[mm] \integral{\integral{(\bruch{x^{2}}{2}*y*z+A(y;z))dydz}}=\integral{(\bruch{x^{2}y^{2}}{4}z+\integral{A(y;z)dy}+B(x;z))dz}=\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}+\integral{\integral{A(y;z)dydz}}+\integral{B(x;z)dz}+C(x;y)
[/mm]
Nun habe ich [mm] \integral{\integral{A(y;z)dydz}}=F_{1}(y;z) ,\integral{B(x;z)dz}= F_{2}(x;z) [/mm] und der Schönheit halber [mm] C(x;y)=F_{3}(x;y) [/mm] definiert und hinterher
[mm] F_{1}(y;z)+F_{2}(x;z)+F_{3}(x;y)=T(x;y;z) [/mm] definiert. Somit ist:
[mm] \integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}=\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}+T(x;y;z)
[/mm]
Wenn jetzt aber dieses [mm] T(x;y;z)=-\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6} [/mm] ist, dann erhält man das Ergebnis [mm] \integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}=0
[/mm]
Ist da ein Fehler drinne oder stimmt das sogar? :)
Mit Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Do 27.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest erstmal definieren, was ein 3d unbestimmtes Integral sein soll?
in 1d kannst du etwa [mm] F_a(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] so nennen , oder eine Stammfkt von f(x)
Was soll es denn 3 d bedeuten?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 28.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte nur mal eine Frage: ist es eigentlich sinnvoll
> unbestimmte Mehrfachintegrale einer Funktion, welche von
> mehreren Variablen abhängig ist zu definieren? Ich habe da
> mal ein wenig was gerechnet (bestimmt ist da ein
> (Denk-)Fehler drinne :) ) und bin darauf gekommen, dass
> folgendes Integral auch das Ergebnis 0 liefern könnte:
> [mm]\integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}[/mm]
> Ich habe das wie folgt berechnet:
>
> [mm]\integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}=\integral{\integral{(\bruch{x^{2}}{2}*y*z+A(y;z))dydz}}[/mm]
> A(y;z) kommt hierbei zustande, weil y und z aus Sicht von
> x Konstanten sind und somit nicht nur eine Konstante,
> sondern eine Funktion mit den Variablen y und z zustande
> kommen könnte.
>
> [mm]\integral{\integral{(\bruch{x^{2}}{2}*y*z+A(y;z))dydz}}=\integral{(\bruch{x^{2}y^{2}}{4}z+\integral{A(y;z)dy}+B(x;z))dz}=\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}+\integral{\integral{A(y;z)dydz}}+\integral{B(x;z)dz}+C(x;y)[/mm]
> Nun habe ich [mm]\integral{\integral{A(y;z)dydz}}=F_{1}(y;z) ,\integral{B(x;z)dz}= F_{2}(x;z)[/mm]
> und der Schönheit halber [mm]C(x;y)=F_{3}(x;y)[/mm] definiert und
> hinterher
> [mm]F_{1}(y;z)+F_{2}(x;z)+F_{3}(x;y)=T(x;y;z)[/mm] definiert. Somit
> ist:
>
> [mm]\integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}=\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}+T(x;y;z)[/mm]
>
> Wenn jetzt aber dieses [mm]T(x;y;z)=-\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}[/mm]
> ist, dann erhält man das Ergebnis
> [mm]\integral{\integral{\integral{x*y*zdxdydz}}}=0[/mm]
>
> Ist da ein Fehler drinne oder stimmt das sogar? :)
>
> Mit Dank im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
1. Du hast eine durchaus interessante Frage aufgeworfen. Nach mehr als 30 Jahren im Geschäft der Hochschulmathematik ist mir diese Frage noch nie begegnet. Das macht aber nix und heißt nix.
2. Was hast Du gemacht ? Das:
Du hast zuerst in x-Richtung "hochintegriert", dann in y-Richtung, dann in z-Richtung. Du hast "erhalten"
$ [mm] \integral{\integral{\integral{x\cdot{}y\cdot{}zdxdydz}}}=\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}+T(x,y,z) [/mm] $,
wobei das Integral links noch gar nicht def. ist und im ersten Summand rechts im Nenner 8 statt 6 stehen sollte (denn [mm] 2^3=8 \ne [/mm] 6)
Setzen wir f(x,y,z):=xyz und F(x,y,z):= [mm] \bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{8}+T(x,y,z) [/mm] und machen Deine Rechnungen rückgängig (wir differenzieren zuerst nach x, dann nach y und dann nach z). Dann sollten wir doch wieder bei f landen.
Tun wir das mal und schauen , was passiert:
Es ist
[mm] F_x(x,y,z)= \bruch{xy^{2}z^{2}}{4}+T_x(x,y,z),
[/mm]
[mm] F_{yx}(x,y,z)= \bruch{xyz^{2}}{2}+T_{yx}(x,y,z)
[/mm]
und folglich
[mm] F_{zyx}(x,y,z)= xyz+T_{zyx}(x,y,z).
[/mm]
Wie gesagt, es sollte sein: [mm] F_{xyx}(x,y,z)=f(x,y,z)=xyz.
[/mm]
Was zeigt uns das ? Das: Du kannst T nicht wählen, wie Du lustig bist !
T ist so zu wählen, dass [mm] T_{zyx}(x,y,z)=0 [/mm] ist.
Nun machen wir eine Definition draus:
Sei D eine nichtleere (offene) Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion. Eine Funktion F:D [mm] \to \IR [/mm] heißt eine [mm] b^2 [/mm] - Stammfunktion von f auf D, wenn die partielle Ableitung [mm] F_{x_nx_{n-1}...x_1} [/mm] auf D existiert und
[mm] F_{x_nx_{n-1}...x_1}=f [/mm] auf D
ist.
Die Brauchbarkeit und Anwendbarkeit von [mm] b^2 [/mm] - Stammfunktionen bezweifle ich stark, aber definieren kann man , was man will.
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
Hiho,
fred hat dir ja schon einiges dazu geschrieben, aber um es nochmal deutlich zu machen:
> [mm]F_{1}(y;z)+F_{2}(x;z)+F_{3}(x;y)=T(x;y;z)[/mm]
Hier legst du fest, dass dein T sich als Summe von [mm] F_i [/mm] darstellen lassen können muss, wobei [mm] F_1 [/mm] nur von y und z abhängt, [mm] F_2 [/mm] von x und z und zu guter letzt [mm] F_3 [/mm] von x und y.
> Wenn jetzt aber dieses [mm]T(x;y;z)=-\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}[/mm] ist
Zu zeigen ist also noch, dass es [mm] F_1,F_2 [/mm] und [mm] F_3 [/mm] gibt, so dass [mm] $F_1 [/mm] + [mm] F_2 [/mm] + [mm] F_3 [/mm] = [mm] -\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}$
[/mm]
Gibt es diese?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Fr 28.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> fred hat dir ja schon einiges dazu geschrieben, aber um es
> nochmal deutlich zu machen:
>
> > [mm]F_{1}(y;z)+F_{2}(x;z)+F_{3}(x;y)=T(x;y;z)[/mm]
>
> Hier legst du fest, dass dein T sich als Summe von [mm]F_i[/mm]
> darstellen lassen können muss, wobei [mm]F_1[/mm] nur von y und z
> abhängt, [mm]F_2[/mm] von x und z und zu guter letzt [mm]F_3[/mm] von x und
> y.
>
> > Wenn jetzt aber dieses [mm]T(x;y;z)=-\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}[/mm]
> ist
>
> Zu zeigen ist also noch, dass es [mm]F_1,F_2[/mm] und [mm]F_3[/mm] gibt, so
> dass [mm]F_1 + F_2 + F_3 = -\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{6}[/mm]
>
> Gibt es diese?
Hallo Gono,
gemeint hast Du wohl [mm]F_1 + F_2 + F_3 = -\bruch{x^{2}y^{2}z^{2}}{8}[/mm].
Eigentlich hast Du nichts anderes ausgedrückt als ich: wenn es solche Funktionen gäbe, so,
so müsste gelten: [mm] (F_1+F_2+F-3)_{zyx}=-xyz [/mm]
So, nun [mm] @b^2, [/mm] berechne [mm] (F_1+F_2+F-3)_{zyx}
[/mm]
FRED
>
> Gruß,
> Gono.
|
|
|
|
