Undefinierter Ausdruck für b_n < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:11 So 08.04.2012 | | Autor: | georg1982 |
Hallo, ich muss eine Fourier Reihe entwickeln.
dabei stellt sich mir folgendes Problem.
meine Funktion habe ich in zwei Integrale aufgeteilt.
wenn ich nun für mein [mm] $b_n$ [/mm] 1 einsetze komme ich für das erste Integral auf einen Ausdruck der Form [mm] $\frac{x}{0}$ [/mm] für das zweite integral erhalte ich eine Lösung.
meine frage ist nun wie ich mit dem Undefinerten ausdruck für das [mm] $b_1$ [/mm] Umgehe.
Entweder ich sage das gesamte [mm] $b_1$ [/mm] ist damit Unbestimmt. oder ich Sage dass der Term [mm] $\frac{x}{0}=0$ [/mm] gesetzt wird und ich den Teil der nicht Unbestimmt ist verwende.
was ist nun Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 So 08.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich muss eine Fourier Reihe entwickeln.
> dabei stellt sich mir folgendes Problem.
> meine Funktion habe ich in zwei Integrale aufgeteilt.
> wenn ich nun für mein [mm]b_n[/mm] 1 einsetze komme ich für das
> erste Integral auf einen Ausdruck der Form [mm]\frac{x}{0}[/mm] für
> das zweite integral erhalte ich eine Lösung.
> meine frage ist nun wie ich mit dem Undefinerten ausdruck
> für das [mm]b_1[/mm] Umgehe.
> Entweder ich sage das gesamte [mm]b_1[/mm] ist damit Unbestimmt.
> oder ich Sage dass der Term [mm]\frac{x}{0}=0[/mm] gesetzt wird und
> ich den Teil der nicht Unbestimmt ist verwende.
> was ist nun Richtig?
das ist mir zu schwammig - und sicher die Mehrheit des MRs wird mit so einer Beschreibung zu wenig anfangen können, um eine konkrete Antwort abgeben zu können. (Nicht, dass wir uns falsch verstehen: Ich finde es durchaus okay, wenn Du erstmal versuchst, das ganze nur in Worten zu beschreiben, ohne konkret zu werden!)
Daher: Zeig' mal bitte genau her, wie die Aufgabe lautet und was Du bisher konkret gemacht hast!
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Aufgabe:
$f(x)$ sei eine ungerade, periodische Funktion mit der Periode [mm] $2\pi$, [/mm] die im Intervall [mm] $[0,\pi]$ [/mm] durch
[mm] $f(x)=f(n)=\begin{cases}
sin(x), & \text{für }0\le x<\pi/2\\
1, & \text{für }\pi/2\le x<\pi\\
\end{cases}$
[/mm]
gegeben ist.
Funktion ist über 3 Periodenintervalle zu Skizzieren, und es sind 4 nicht verschwindende Summanden zu bestimmen. |
Funktion ist ungerade daher folgt [mm] $a_0=0; a_n=0; \forall n\epsilon\IN$
[/mm]
Die Funktion setzt sich aus einem Sinus von [mm] $-\pi/2$ [/mm] bis [mm] $+\pi/2$ [/mm] und Stücken mit y=-1 von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $-\pi/2$ [/mm] und y=+1 von [mm] $+\pi/2$ [/mm] bis [mm] $+\pi$ [/mm] zusammen
mein Ansatz
[mm] $b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} sin(x)\cdot sin(nx)dx+\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^\pi 1\cdot [/mm] sin(nx)dx$
mein fertig ausgerechnetes Integral:
[mm] $b_n=\frac{2}{\pi}\cdot[\frac{cos(\frac{\pi}{2})\cdot sin(n\frac{\pi}{2})-n\cdot sin(\frac{\pi}{2})cos(n\frac{\pi}{2})}{n^2-1}+(\frac{-1}{n} cos(n\frac{\pi}{2})-\frac{1}{n} cos(n\pi))]$
[/mm]
auf diese Gleichung bezieht sich auch meine Frage, für den Term
[mm] $\frac{cos(\frac{\pi}{2})\cdot sin(n\frac{\pi}{2})-n\cdot sin(\frac{\pi}{2})cos(n\frac{\pi}{2})}{n^2-1}$ [/mm] erhalte ich für [mm] $b_1=0/0$
[/mm]
Für den Term [mm] $(\frac{-1}{n} cos(n\frac{\pi}{2})-\frac{1}{n} cos(n\pi))$ [/mm] erhalte ich [mm] $2/\pi$
[/mm]
was gilt hier nun? ist [mm] $b_1=unbestimmt$ [/mm] oder [mm] $2/\pi$?
[/mm]
ich habe erst mal so weiter gerechnet das [mm] $b_1=0$ [/mm] ist
für meine Summanden komme ich auf
[mm] $b_2=\frac{2}{3\pi}$
[/mm]
[mm] $b_3=\frac{2}{3\pi}$
[/mm]
[mm] $b_4=\frac{-8}{15\pi}-\frac{4}{4\pi}$
[/mm]
[mm] $b_6=\frac{12}{35\pi}$
[/mm]
meine reihe in WolframAlpha sieht aber leider nicht so aus wie die Funktion die ich anhand der Vorschrift ermittelt habe. (Link in Browser Kopieren, verlinken geht nicht!)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2F%28pi*3%29%29sin%282x%29%2B%282%2F%28pi*3%29%29sin%283x%29%2B%28-8%2F%2815*pi%29-4%2F%284*pi%29%29sin%284x%29%2B%2812%2F%2835*pi%29%29sin%286x%29
damit steckt noch irgendwo ein Fehler drin den ich aber nicht finde.
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> Aufgabe:
> [mm]f(x)[/mm] sei eine ungerade, periodische Funktion mit der
> Periode [mm]2\pi[/mm], die im Intervall [mm][0,\pi][/mm] durch
>
> [mm]$f(x)=f(n)=\begin{cases} sin(x), & \text{für }0\le x<\pi/2\\
1, & \text{für }\pi/2\le x<\pi\\
\end{cases}$[/mm]
>
> gegeben ist.
> Funktion ist über 3 Periodenintervalle zu Skizzieren, und
> es sind 4 nicht verschwindende Summanden zu bestimmen.
> Funktion ist ungerade daher folgt [mm]a_0=0; a_n=0; \forall n\epsilon\IN[/mm]
>
> Die Funktion setzt sich aus einem Sinus von [mm]-\pi/2[/mm] bis
> [mm]+\pi/2[/mm] und Stücken mit y=-1 von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]-\pi/2[/mm] und y=+1
> von [mm]+\pi/2[/mm] bis [mm]+\pi[/mm] zusammen
Hallo,
ja.
>
> mein Ansatz
> [mm]b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} sin(x)\cdot sin(nx)dx+\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^\pi 1\cdot sin(\red{n}x)dx[/mm]
Das ist richtig.
> mein fertig ausgerechnetes Integral:
zunächst mal wäre es ganz gut, die Stammfunktionen hinzuschreiben, das klärt vielleicht manches:
für n=1 bekommt man [mm] \int sin(x)\cdot [/mm] sin(nx)dx= ???,
für n>2 bekommt man [mm] \int sin(x)\cdot [/mm] sin(nx)dx= [mm] \bruch{\cos(x)*\sin(nx)-\green{n}\cos(nx)\sin(x)}{n^2-1},
[/mm]
und es ist
[mm] \int \sin(nx)dx=-\bruch{1}{n}\cos(nx).
[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] b_1=...
[/mm]
und für n>1
[mm] b_n=...
[/mm]
> [mm]b_n=\frac{2}{\pi}\cdot[\frac{cos(\frac{\pi}{2})\cdot sin(n\frac{\pi}{2})- \blue{!!!}sin(\frac{\pi}{2})cos(n\frac{\pi}{2})}{n^2-1}+(\frac{-1}{n} cos(n\frac{\pi}{2})\blue{-}\frac{1}{n} cos(n\pi))][/mm]
>
Ich hoffe, daß sich mit meinen Anmerkungen und Markierungen alles in Wohlgefallen auflöst.
LG Angela
> auf diese Gleichung bezieht sich auch meine Frage, für den
> Term
>
> [mm]\frac{cos(\frac{\pi}{2})\cdot sin(n\frac{\pi}{2})-sin(\frac{\pi}{2})cos(n\frac{\pi}{2})}{n^2-1}[/mm]
> erhalte ich für [mm]b_1=0/0[/mm]
> Für den Term [mm](\frac{-1}{n} cos(n\frac{\pi}{2})-\frac{1}{n} cos(n\pi))[/mm]
> erhalte ich [mm]2/\pi[/mm]
> was gilt hier nun? ist [mm]b_1=unbestimmt[/mm] oder [mm]2/\pi[/mm]?
>
> ich habe erst mal so weiter gerechnet das [mm]b_1=0[/mm] ist
> für meine Summanden komme ich auf
> [mm]b_2=\frac{4}{3\pi}[/mm]
> [mm]b_3=\frac{2}{3\pi}[/mm]
> [mm]b_4=\frac{-8}{15\pi}+\frac{2}{4\pi}[/mm]
> [mm]b_5=\frac{2}{5\pi}[/mm]
>
> meine reihe in WolframAlpha sieht aber leider nicht so aus
> wie die Funktion die ich anhand der Vorschrift ermittelt
> habe. (Link in Browser Kopieren, verlinken geht nicht!)
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%284%2F%28pi*3%29%29sin%282x%29%2B%282%2F%28pi*3%29%29sin%283x%29%2B%28-8%2F%2815*pi%29%2B2%2F%284*pi%29%29sin%284x%29%2B%282%2F%285*pi%29%29sin%285x%29
>
> damit steckt noch irgendwo ein Fehler drin den ich aber
> nicht finde.
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Hallo, war wohl etwas spät gestern Nacht, deswegen haben sich beim Übertragen der Formeln Fehler eingeschlichen, gerechnet habe ich aber richtig.
Frage ist also weiterhin, wo habe ich Fehler bei der Berechnung gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 So 08.04.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Georg,
hast Du überhaupt Angelas Antwort gelesen? Das Ergebnis gilt für n größer gleich 2 und damit hast Du keinen Ärger mit dem Nenner.
Viele Grüße,
Infinit
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ja ich habe Angelas Antwort gelesen, habe jetzt auch nochmal nachgerechnet, und für den Fall [mm] $b_1$ [/mm] eine Fallunterscheidung gemacht. mit [mm] $sin(x)*sin(1x)=sin^2(x)$
[/mm]
Das sieht dann so aus das ich für b$_1$ folgendes Rechne:
[mm] $b_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}sin^2(x)dx+\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}sin(x)dx$
[/mm]
[mm] $b_1=\frac{2}{\pi}\left [ \frac{1}{2}(x-sin(x)\cdot cos(x))\right ]_{0}^{\pi/2}+\frac{2}{\pi}\left [-\frac{1}{1}cos(x)\right ]_{\pi/2}^{\pi}$
[/mm]
[mm] $b_1=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{4}-1\cdot 0\right)+\frac{2}{\pi}\left(-1\cdot0-1\cdot(-)1\right)$
[/mm]
[mm] $b_1=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}$
[/mm]
aber auch mit diesem Neuen Summanden sieht die Funktion in WolframAlpha nicht mal annähernd so aus wie sie es müsste. oder reichen 5 Summanden dafür einfach nicht aus?
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> ja ich habe Angelas Antwort gelesen, habe jetzt auch
> nochmal nachgerechnet, und für den Fall [mm]b_1[/mm] eine
> Fallunterscheidung gemacht. mit [mm]sin(x)*sin(1x)=sin^2(x)[/mm]
> Das sieht dann so aus das ich für b[mm]_1[/mm] folgendes Rechne:
>
> [mm]b_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}sin^2(x)dx+\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}sin(x)dx[/mm]
>
> [mm]b_1=\frac{2}{\pi}\left [ \frac{1}{2}(x-sin(x)\cdot cos(x))\right ]_{0}^{\pi/2}+\frac{2}{\pi}\left [-\frac{1}{1}cos(x)\right ]_{\pi/2}^{\pi}[/mm]
>
> [mm]b_1=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{4}-1\cdot 0\right)+\frac{2}{\pi}\left(-1\cdot0-1\cdot(-)1\right)[/mm]
>
> [mm]b_1=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}[/mm]
>
> aber auch mit diesem Neuen Summanden sieht die Funktion in
> WolframAlpha nicht mal annähernd so aus wie sie es
> müsste.
Hallo,
da ich nicht genau weiß, was Du rechnest, kann ich dazu schlecht etwas sagen.
Eigentlich müßte man bei 5 Summenden schon eine Tendenz sehen, würd' ich sagen.
Bist Du Dir sicher, daß Du in der Zeile
> > > > $ [mm] b_n=\frac{2}{\pi}\cdot[\frac{cos(\frac{\pi}{2})\cdot sin(n\frac{\pi}{2})- \blue{!!!}sin(\frac{\pi}{2})cos(n\frac{\pi}{2})}{n^2-1}+(\frac{-1}{n} cos(n\frac{\pi}{2})\blue{-}\frac{1}{n} cos(n\pi))] [/mm] $
beide Korrekturen gesehen und beachtet hast?
LG Angela
> oder reichen 5 Summanden dafür einfach nicht aus?
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