Uneigentliche Integrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mi 14.09.2005 | | Autor: | ronald |
Hallo,
Ich bereite mich gearde auf eine prüfung vor. Bin dann auf das folgende Problem gestossen:
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] das folgende uneigentliche Integral auf Existenz
[mm] \integral_{1}^{ \infty} {(t^{2}-1)^{\alpha}e^{-\beta t} dt}
[/mm]
Hinweis: [mm] (t^{2}-1) [/mm] = (t-1)(t+1), unterscheiden Sie die Fälle [mm] \beta [/mm] >0, [mm] \beta [/mm] =0, [mm] \beta [/mm] < 0.
Ich habe versucht zu integrieren, aber da [mm] \alpha [/mm] unbekannt ist, geht es schlecht. Mit dem Hinweis kann ich auch sehr wenig anfangen. Wäre dankbar für jede Hilfestellung.
Grüsse
Ronald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mi 14.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Hallo,
> Ich bereite mich gearde auf eine prüfung vor. Bin dann auf
> das folgende Problem gestossen:
> Untersuchen Sie in Abhängigkeit von [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> das folgende uneigentliche Integral auf Existenz
> [mm]\integral_{1}^{ \infty} {(t^{2}-1)^{\alpha}e^{-\beta t} dx}[/mm]
>
Wenn das wirklich so dasteht, ist x die Integrationsvariable und das Gebilde vor dem dx eine Konstante, die man vor das Integral ziehen kann.
> Hinweis: [mm](t^{2}-1)[/mm] = (t-1)(t+1), unterscheiden Sie die
> Fälle [mm]\beta[/mm] >0, [mm]\beta[/mm] =0, [mm]\beta[/mm] < 0.
> Ich habe versucht zu integrieren, aber da [mm]\alpha[/mm] unbekannt
> ist, geht es schlecht. Mit dem Hinweis kann ich auch sehr
> wenig anfangen. Wäre dankbar für jede Hilfestellung.
Ist das so gedacht (als Trick)? Kann ich kaum glauben!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Mi 14.09.2005 | | Autor: | ronald |
Sorry, habe mich vertippt, natürlich steht hinter dem Integral dt. Habe jetzt korrigiert. Danke für die aufmerksamkeit.
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Hi,
Ich würde es so machen:
uneigentliche Integral heißt ja:
[mm] \integral_{1}^{ \infty} [/mm] {f(x) dx} = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n} [/mm] {f(x) dx}
Du kannst also hinterher einfach den Limes betrachten, vorher aber mit einem bestimmten Integral rechnen
LG
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 15.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> 2)
> [mm]\integral_{1}^{ \infty} {(t^{2}-1)^{\alpha}e^{-\beta t} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{1}^{ \infty} {(t-1)^{\alpha}dt}[/mm] *
> [mm]\integral_{1}^{ \infty} {(t+a)^{\alpha}dt}[/mm] *
> [mm]\integral_{1}^{ \infty} {e^{-\beta t} dt}.[/mm]
Das ist doch falsh! Du kannst nicht einfach die Integrale auseinanderziehen, das kannst du dir an einfachen Beispielen klar amchen ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Do 15.09.2005 | | Autor: | ronald |
hi,
ich bin auch der Meinung, dass der Ansatz von Britta nicht ganz richtig ist. Man darf die Komponente doch nur rausziehen, wenn es sich um eine Summe handelt. Aber danke für Bemühung trotzdem.
Grüsse
ronald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Do 15.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral_{1}^{ \infty}[/mm] {f(x) dx} =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}[/mm] {f(x) dx}
> Du kannst also hinterher einfach den Limes betrachten,
> vorher aber mit einem bestimmten Integral rechnen
Wobei das eben auch nicht existiert - die Grenze 1 ist auch uneigentlich, da dort die Funktion nicht definiert ist.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Do 15.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral_{1}^{ \infty} {(t^{2}-1)^{\alpha}e^{-\beta t} dt}[/mm]
Ein paar Hinweise: am besten geht es dann wohl mit Majorantenkriterium bzw. Minorantenkriterium: du schätzt das Integral nach oben bzw. unten durch konvergente bzw. divergente Integrale ab, wichtig hierbei ist:es gibt bei 1 eine Polstelle, hier ist der Faktor [m](t-1)^\alpha[/m] entscheidend, da die anderen Funktionen dort beschränkt sind. Das Verhalten gegen Unenedlich wird wohl hauptsächlich durch die Exponentialfunktion bestimmt.
Für [m]\beta < 0[/m] kannst du das Integral für goße t nach unten abschätzen durch was? Was passiert also?
Für [m]\beta=0[/m] wird es von [m]\alpha[/m] abhängig: für welche konvergeirt das Integral [m]\int_2^{\infty}[/m], für welche [m]\int_1^2[/m]?
[m]\beta > 0[/m]: was passiert jetzt gegen Unendlich immer? Also muss man blos das Verhalten gegen 1 betrachten.
Wichtig noch für den wert gegen 1: Wann konvergiert [m]\int_0^1 \bruch{1}{x^s}dx[/m]?Dann überträgt sich das auch auf die 1.
So, nun bist du dran.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Do 15.09.2005 | | Autor: | ronald |
danke für deine hilfe, SEcki . ich glaube ich weiss jetzt wie ich mit der aufgabe weiter machen soll.
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