Uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gammafunktion ist definiert als
[mm] \Gamma [/mm] (x) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dt}, [/mm] x > 0.
Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral konvertiert und dass [mm] \Gamma(1) [/mm] = 1 und [mm] \Gamma [/mm] (x + 1) = x [mm] \Gamma [/mm] (x). Für n [mm] \in \IN [/mm] ist also [mm] \Gamma [/mm] (n) = (n - 1)!. Die Gammafunktion kann also als eine Verallgemeinerung der Fakultät betrachtet werden. |
Ich habe hier eine Lösung zu der Aufgabe. Leider leuchtet mir schon der erste (!!) Satz der Lösung nicht ein:
"Da das Integral an beiden Randpunkten uneigentlich ist, zerlegen wir es in zwei Teile,
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t_0}{t^{x - 1} e^{-t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dt},
[/mm]
und untersuchen jeden Teil separat."
Jetzt meine (dumme) Frage: Wieso ist das Integral an beiden Randpunkten uneigentlich?
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist ein Integral [mm] \integral_{r_1}^{r_2}{f(x) dx} [/mm] an einem Randpunkt r uneigentlich, wenn |r| = [mm] \infty [/mm] oder wenn [mm] |\limes_{x\rightarrow r} [/mm] f(x)| = [mm] \infty.
[/mm]
Am Randpunkt [mm] r_2 [/mm] = [mm] \infty [/mm] wäre das Integral dann uneigentlich. Aber wieso sollte es bei [mm] r_1 [/mm] = 0 uneigentlich sein? Schließlich gilt für t = 0, x > 0: [mm] t^{x - 1}e^{-t} [/mm] = 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mi 12.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Die Gammafunktion ist definiert als
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> [mm]\Gamma[/mm] (x) = [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dt},[/mm] x
> > 0.
>
> Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral konvertiert und
> dass [mm]\Gamma(1)[/mm] = 1 und [mm]\Gamma[/mm] (x + 1) = x [mm]\Gamma[/mm] (x). Für
> n [mm]\in \IN[/mm] ist also [mm]\Gamma[/mm] (n) = (n - 1)!. Die Gammafunktion
> kann also als eine Verallgemeinerung der Fakultät
> betrachtet werden.
>
> Ich habe hier eine Lösung zu der Aufgabe. Leider leuchtet
> mir schon der erste (!!) Satz der Lösung nicht ein:
>
> "Da das Integral an beiden Randpunkten uneigentlich ist,
> zerlegen wir es in zwei Teile,
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{t_0}{t^{x - 1} e^{-t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{t_0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dt},[/mm]
>
> und untersuchen jeden Teil separat."
>
> Jetzt meine (dumme) Frage: Wieso ist das Integral an beiden
> Randpunkten uneigentlich?
> Wenn ich es richtig verstanden habe, ist ein Integral
> [mm]\integral_{r_1}^{r_2}{f(x) dx}[/mm] an einem Randpunkt r
> uneigentlich, wenn |r| = [mm]\infty[/mm] oder wenn
> [mm]|\limes_{x\rightarrow r}[/mm] f(x)| = [mm]\infty.[/mm]
>
> Am Randpunkt [mm]r_2[/mm] = [mm]\infty[/mm] wäre das Integral dann
> uneigentlich. Aber wieso sollte es bei [mm]r_1[/mm] = 0 uneigentlich
> sein? Schließlich gilt für t = 0, x > 0: [mm]t^{x - 1}e^{-t}[/mm]
> = 0?
Z.B. ist für [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] der Term [mm] t^{x-1} [/mm] für t=0 nicht definiert.
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Ok, ich will jetzt trotzdem mal die ganze Lösung präsentieren und meine Fragen mittendrin einstreuen, wo ich Verständnisprobleme habe:
"Da das Integral an beiden Randpunkten uneigentlich ist, zerlegen wir es in zwei Teile,
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t_0}{t^{x-1}e^{-t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt},
[/mm]
und untersuchen jeden Teil separat. Für den ersten Teil gilt [mm] |t^{x-1}e^{-t}| \le t^{x-1}, [/mm] denn [mm] |e^{-t}| [/mm] < 1 für t [mm] \in [/mm] (0, [mm] t_0). [/mm] "
Zwischenfrage: Wieso gilt das nur für t [mm] \in [/mm] (0, [mm] t_0). [/mm] Wenn für ein beliebiges [mm] t_0 [/mm] gilt [mm] |e^{-t}| [/mm] < 1 für t [mm] \in [/mm] (0, [mm] t_0), [/mm] dann gilt es doch wohl auch für t [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)?
[/mm]
"Wegen
[mm] \integral_{0}^{t_0}{t^{x-1} dt} [/mm] = [mm] \bruch{t_{0}^{x}}{x}
[/mm]
ist damit [mm] t^{x-1} [/mm] eine Majorante. Wegen [mm] t^{x-1} [/mm] = [mm] O(e^{\bruch{e}{t}} [/mm] folgt [mm] t^{x-1}e^{-t} [/mm] = [mm] O(e^{-\bruch{t}{2}}) [/mm] und somit existiert eine Konstante C mit [mm] |t^{x-1}e^{-t}| \le Ce^{-\bruch{t}{2}} [/mm] für t [mm] \ge t_0. [/mm] "
Zwischenfrage: Wieso ist plötzlich von t [mm] \ge t_0 [/mm] die Rede? Ich denke, es wird gerade das Integral
[mm] \integral_{0}^{t_0}{t^{x-1}e^{-t} dt}
[/mm]
betrachtet?
"Wegen
[mm] \integral_{t_0}^{\infty}{e^{-\bruch{t}{2}} dt} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} 2(-e^{-\bruch{b}{2}} [/mm] + [mm] e^{-\bruch{t_0}{2}}) [/mm] = [mm] 2e^{-\bruch{t_0}{2}}
[/mm]
ist [mm] Ce^{-\bruch{t}{2}} [/mm] eine Majorante für den zweiten Teil. Das Integral [mm] \Gamma(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} [/mm] konvergiert also."
Frage: Verstehe wie schon erwähnt nicht, wieso es eine separate Majorante für [mm] (t_0, \infty) [/mm] braucht, wenn [mm] e^{-t}| [/mm] < 1 auch für t in (0, [mm] \infty) [/mm] gilt ...
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Hiho,
> "Da das Integral an beiden Randpunkten uneigentlich ist,
> zerlegen wir es in zwei Teile,
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{t_0}{t^{x-1}e^{-t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{t_0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt},[/mm]
>
> und untersuchen jeden Teil separat.
Ok.
> Für den ersten Teil
Dann beginnen wir mal mit dem ersten Teil:
> gilt [mm]|t^{x-1}e^{-t}| \le t^{x-1},[/mm] denn [mm]|e^{-t}|[/mm] < 1 für t
> [mm]\in[/mm] (0, [mm]t_0).[/mm] "
>
> Zwischenfrage: Wieso gilt das nur für t [mm]\in[/mm] (0, [mm]t_0).[/mm] Wenn
> für ein beliebiges [mm]t_0[/mm] gilt [mm]|e^{-t}|[/mm] < 1 für t [mm]\in[/mm] (0,
> [mm]t_0),[/mm] dann gilt es doch wohl auch für t [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)?[/mm]
Stimmt. Brauchen wir aber gar nicht, weil der erste Teil ja nur $t [mm] \in (0,t_0)$ [/mm] betrachtet.
> "Wegen
>
> [mm]\integral_{0}^{t_0}{t^{x-1} dt}[/mm] = [mm]\bruch{t_{0}^{x}}{x}[/mm]
>
> ist damit [mm]t^{x-1}[/mm] eine Majorante.
Ende erster Teil! Denn: Wir haben ja nun gezeigt, dass das erste Integral konvergiert.
Können wir die obige Abschätzung auch für den zweiten Teil verwenden? Theoretisch schon! Bringt uns das was? Nein! Denn:
[mm]\integral_{t_0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} \le \integral_{t_0}^{\infty}{t^{x-1} dt} = +\infty[/mm]
Da wir aber gerade zeigen wollen [mm] $\integral_{t_0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} [/mm] < [mm] +\infty$ [/mm] und wir mit obiger Abschätzung nur [mm] $\integral_{t_0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} \le +\infty$ [/mm] gezeigt haben, bringt uns die Abschätzung nix.
Also: Anderer Ansatz für das zweite Integral:
> Wegen [mm]t^{x-1} = O(e^{\bruch{e}{t}}[/mm]
Das sollte bestimmt sowas heißen wie
> Wegen [mm]t^{x-1} = O(e^{\bruch{1}{2t}})[/mm]
Und: O-Notation verwenden ohne Angabe des Grenzpunkts ist nicht sehr sinnvoll. Hier soll wohl in Bezug auf $t [mm] \to \infty$ [/mm] gemeint sein.
> folgt [mm]t^{x-1}e^{-t} = O(e^{-\bruch{t}{2}})[/mm] und somit existiert eine Konstante C
> mit [mm]|t^{x-1}e^{-t}| \le Ce^{-\bruch{t}{2}}[/mm] für t [mm]\ge t_0.[/mm]
> Zwischenfrage: Wieso ist plötzlich von t [mm]\ge t_0[/mm] die Rede?
> Ich denke, es wird gerade das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{t_0}{t^{x-1}e^{-t} dt}[/mm]
>
> betrachtet?
Ich hoffe die Frage hat sich nach obigen Erläuterungen jetzt geklärt....
> Frage: Verstehe wie schon erwähnt nicht, wieso es eine
> separate Majorante für [mm](t_0, \infty)[/mm] braucht, wenn [mm]e^{-t}|[/mm]
> < 1 auch für t in (0, [mm]\infty)[/mm] gilt ...
Hat sich hoffentlich ebenso geklärt.
Falls nicht, nochmal deutlich: Ja, das andere ist auch eine Majorante, aber die konvergiert eben im Bereich [mm] $(t_0,\infty)$ [/mm] nicht mehr und ist daher sinnlos.
Gruß,
Gono
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Ok verstehe.
Aber spräche was dagegen, die Majorante für den zweiten Teil auch für den ersten Teil zu verwenden? Also
[mm] \integral_{0}^{t_0}{e^{-\bruch{3}{4}} dt} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} 2(-e^{-\bruch{t_0}{2}} -e^{-\bruch{b}{2}})) [/mm] = [mm] -2e^{-\bruch{t_0}{2}} [/mm] + 1
Würde das die Lösung nicht verkürzen, wenn man eine Majorante für bdei Teile hätte?
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Hallo,
> Ok verstehe.
> Aber spräche was dagegen, die Majorante für den zweiten
> Teil auch für den ersten Teil zu verwenden? Also
>
> [mm]\integral_{0}^{t_0}{e^{-\bruch{3}{4}} dt}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} 2(-e^{-\bruch{t_0}{2}} -e^{-\bruch{b}{2}}))[/mm]
> = [mm]-2e^{-\bruch{t_0}{2}}[/mm] + 1
>
> Würde das die Lösung nicht verkürzen, wenn man eine
> Majorante für bdei Teile hätte?
Du kannst die Majorante vom 2. Teil nicht für den ersten Teil benutzen.
Nur wenn $t [mm] \ge t_0 [/mm] > 0$, gilt [mm] $t^{x-1}e^{-x} \le [/mm] c [mm] \cdot e^{-x/2}$ [/mm] mit einer Konstanten $c > 0$ (abhängig von [mm] $t_0$).
[/mm]
Ist $x < 1$, so ist [mm] $\lim_{t\to 0}t^{x-1} [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] und somit gibt es keine Konstante $c > 0$ mit [mm] $t^{x-1}e^{-x} \le [/mm] c [mm] e^{-x/2}$ [/mm] (*)
Gäbe es so eine Konstante $c$, so könnte man auf (*) den Limes $t [mm] \to [/mm] 0$ anwenden und es entsteht der Widerspruch
[mm] $\infty [/mm] = [mm] \lim_{t\to 0}t^{x-1}e^{-x} \le [/mm] c [mm] e^{-x/2}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Verstehe. Eine Frage noch zum Schluss. Ich hab hier aus meinem Buch noch eine Schlussbemerkung zur Gammafunktion:
"Sie wurde von Euler eingeführt, der folgendes Integral zur Interpolation der Fakultät vorschlug: [mm] \Gamma(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{ln(\bruch{1}{s})^{x-1} ds}. [/mm] Unsere Definition erhält man durch Substitution t = [mm] ln(\bruch{1}{s}). [/mm] "
Verstehe leider nicht so richtig, wie ich durch Substitution t = [mm] ln(\bruch{1}{s}) [/mm] von
[mm] \integral_{0}^{1}{ln(\bruch{1}{s})^{x-1} ds}
[/mm]
auf
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}
[/mm]
komme. Kann mir das einer mal noch genauer erklären?
EDIT: Abschreibfehler korrigiert.
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Hiho,
> Verstehe leider nicht so richtig, wie ich durch
> Substitution t = [mm]ln(\bruch{1}{s})[/mm] von
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ln(\bruch{1}{s})^{x-1} ds}[/mm]
>
> auf
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}[/mm]
>
> komme.
Na substituiere doch mal!
Es gilt:
$t = [mm] \ln(\bruch{1}{s}) \gdw e^{-t} [/mm] = s$
sowie damit:
[mm] $\frac{dt}{ds} [/mm] = [mm] -\frac{1}{s} \gdw -e^{-t}dt [/mm] = ds$
Setzen wir das nun stupide ein erhalten wir:
[mm]\integral_{0}^{1}{ln(\bruch{1}{s})^{x-1} ds} = -\int_{\infty}^0 t^{x-1}e^{-t}dt = \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt[/mm]
Gruss,
Gono
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Hallo,
ich kann dir nicht folgen:
> Na substituiere doch mal!
Einfach so? Ein Integral muss doch die Form
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(s)) g'(s) ds}
[/mm]
haben, um g(s) substituieren zu können.
Wenn ich jetzt [mm] ln(\bruch{1}{s}) [/mm] durch t substituieren will, dann nehme ich an:
g(s) = [mm] ln(\bruch{1}{s}),
[/mm]
womit folgt, dass
f(s) = [mm] s^{x - 1}.
[/mm]
Für g'(s) gilt dann:
g'(s) = - [mm] \bruch{1}{s}.
[/mm]
Um erfolgreich substituieren zu können, würde ich also das Integral
C [mm] \integral_{a}^{b}{-\bruch{ln(\bruch{1}{s})^{x-1}}{s} ds}
[/mm]
erwarten, wobei C eine Konstante ist.
Das ist doch aber gar nicht gegeben?!
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Hiho,
vorweg: Dein Einwand ist berechtigt und super!
Formal hast du völlig recht.
Du hast die Definition der Subsitutionsregel ja hingeschrieben, verwendet wird aber oft die "Quick and Dirty"-Methode, die mehrere mathematischen Ungenauigkeiten einschließt:
1.) Definiere $t:=g(s)$
2.) Dann ist [mm] $\frac{dt}{ds} [/mm] = g'(s)$
3.) daraus folgt: $dt = g'(s) ds$
Ich weise oft selbst darauf hin, dass man obiges Verfahren nicht einfach blind anwenden darf, sondern immer die Voraussetzungen der Substitutionsregel im Auge haben muss. Der Schritt von 2.) zu 3.) wird beispielsweise oft erklärt (sogar von Lehrern) mit "multipliziere mit ds".
Formal gesehen ist das ds aber nur ein Symbol, mit dem man gar nicht rechnen kann....
Ich lege dir mal ans Herz meine Antwort samt nachfolgender Diskussion zu ![[]](/images/popup.gif) dieser Frage bei Stackexchange zu lesen. Da geht es um genau einen solchen Fall, bei dem obige Methode schief geht, gerade weil das Integral nicht in die obige Form zu bringen ist.
Warum wendet man nun obiges Verfahren auch dann an, wenn das Integral (anscheinend) gar nicht die entsprechende Form hat? Die Antwort ist so simpel wie das Verfahren: Weil es funktioniert!
Dass es mehr Möglichkeiten gibt, wo das Verfahren funktioniert, als nur die in der Substitionsregel, kannst du dir ganz leicht selbst überlegen:
Die Subsitutionsregel sagt, dass unter den gebenen Voraussetzungen mit $t=g(s)$ gilt:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(s)) g'(s) ds} [/mm] = [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt} [/mm] $
Ist g nun umkehrbar auf dem gegebenem Intervall und wir starten mit dem Integral [mm] $\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}$ [/mm] dann führt die Subsitution [mm] $s=g^{-1}(t)$ [/mm] offensichtlich wieder zurück zum Ausgangsintegral $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(s)) g'(s) ds}$ [/mm] obwohl das Integral [mm] $\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt}$ [/mm] gar nicht die notwendige Form für eine Substitution hat.
Das kann man wie folgt erweitern: Offensichtlich gilt unter der Voraussetzung $h(a) = g(a)$ und $h(b) = g(b)$
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(s)) g'(s) ds} [/mm] = [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{h(a)}^{h(b)}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(h(x)) h'(x) dx}$
[/mm]
Mit der jeweiligen Substitution $g(s) =: t := h(x)$
Beginnt man nun direkt mit der Substitution $x = [mm] h^{-1}\left(g(s)\right)$ [/mm] und wendet obiges Verfahren an, erhält man sofort die Gleichung
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(s)) g'(s) ds} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(h(x)) h'(x) dx}$
[/mm]
obwohl nun nicht mehr offensichtlich ist, wieso man so substituieren darf....
Zusammengefasst:
Wenn die Substitution funktioniert, ist es so, dass sich das Integral (u.U. mit viel Arbeit) in die entsprechende Form, möglicherweise mit mehreren Zwischenschritten, bringen lässt. Man spart sich aber die Arbeit, wenn es nicht "notwendig" ist.
Grob kann man sagen: Kommt was sinnvolles bei raus, passt es schon.
Das ist zwar nicht sehr mathematisch, beruht aber oftmals auf Erfahrungswerten.... leider gibt man Studenten selten die Zeit, diese Erfahrungen zu sammeln.
Wenn du magst, kannst du dich ja mal auf die Suche nach den Zwischenschritten bei deinem Integral machen 
Gruss,
Gono
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