Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Existiert das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{tan(x) dx} [/mm] ? |
Guten Tag,
hier habe ich schon wieder eine Aufgabe die mir Probleme bereitet. Ich weiß das tan(x) = [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] ist. Nun habe ich das Integral aufgeteilt:
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{tan(x) dx} [/mm] =
[mm] \limes_{r\rightarrow \bruch{-\pi}{2}} \integral_{r}^{0}{tan(x) dx} [/mm] + [mm] \limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{r}{tan(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow \bruch{-\pi}{2}} \integral_{r}^{0}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx} [/mm] + [mm] \limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{r}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}
[/mm]
So und hier hört es leider schon wieder bei mir auf. Habe versucht [mm] \limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{r}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx} [/mm] mit partieller Integration zu berechen. Blieb leider erfolglos.
Würde mich über einen Tipp freuen.
LG Loriot95
|
|
| |
|
> Existiert das uneigentliche Integral
>
> [mm]\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{tan(x) dx}[/mm] ?
> Guten Tag,
>
> hier habe ich schon wieder eine Aufgabe die mir Probleme
> bereitet. Ich weiß das tan(x) = [mm]\bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
> ist. Nun habe ich das Integral aufgeteilt:
>
> [mm]\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{tan(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{r\rightarrow \bruch{-\pi}{2}} \integral_{r}^{0}{tan(x) dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{r}{tan(x) dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{r\rightarrow \bruch{-\pi}{2}} \integral_{r}^{0}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{r}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm]
>
> So und hier hört es leider schon wieder bei mir auf. Habe
> versucht [mm]\limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{r}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm]
> mit partieller Integration zu berechen. Blieb leider
> erfolglos.
>
> Würde mich über einen Tipp freuen.
>
> LG Loriot95
Hallo Loriot,
benütze für die Integration die Substitution u:=cos(x) !
Und dann musst du dich natürlich darum kümmern,
wie du das Verhalten an den Rändern in den Griff
bekommst.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok vielen Dank für deine Antwort. Habe nun folgendes gemacht:
u = cos(x) [mm] \Rightarrow [/mm] dx = [mm] -\bruch{1}{sin(x)} [/mm] du
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx} [/mm] =
- [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du} [/mm] = -[ln(u)] = -[ln(cos(x))]
Dann ist [mm] \integral_{0}^{r}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx} [/mm] = -[ln(cos(r))-ln(cos(0))] = -[ln(cos(r))].
Analog: Dann ist [mm] \integral_{r}^{0}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx} [/mm] = ln(cos(r)).
Stimmt das soweit?
So nun habe ich das Problem mit dem Grenzwert:
[mm] \limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}} [/mm] cos(r) = 0.
Wie ist das nun mit dem Logarithmus? Der ist für 0 ja gar nicht definiert...
LG Loriot95
|
|
|
| |
|
> Ok vielen Dank für deine Antwort. Habe nun folgendes
> gemacht:
>
> u = cos(x) [mm]\Rightarrow[/mm] dx = [mm]-\bruch{1}{sin(x)}[/mm] du
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm] =
> - [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du}[/mm] = -[ln(u)] =
> -[ln(cos(x))]
> Dann ist [mm]\integral_{0}^{r}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm] =
> -[ln(cos(r))-ln(cos(0))] = -[ln(cos(r))].
> Analog: Dann ist [mm]\integral_{r}^{0}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm]
> = ln(cos(r)).
>
> Stimmt das soweit?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja !
> So nun habe ich das Problem mit dem Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow \bruch{\pi}{2}}[/mm] cos(r) = 0.
> Wie ist das nun mit dem Logarithmus? Der ist für 0 ja gar
> nicht definiert...
Genau deshalb muss man dies etwas näher anschauen.
Mal nur für das erste Teilintegral:
[mm]\mbox{\Large $ \integral_{0}^{r}tan(x)\ dx\ =\ -ln(cos(r))+ln(\underbrace{cos(0)}_1)\ =\ -ln(cos(r)) }$}[/mm]
Strebt nun r (wachsend) gegen [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] , so strebt cos(r)
(fallend) gegen Null und damit ln(cos(r)) gegen [mm] -\infty [/mm] .
Damit folgt für das uneigentliche Integral
[mm]\mbox{\Large $\integral_{0}^{ \frac{\pi}{2}}tan(x)\ dx\ =\ \limes_{r\uparrow \frac{\pi}{2}}\integral_{0}^{r}tan(x)\ dx\ =\ \limes_{r\uparrow \frac{\pi}{2}}(-ln(cos(r)))\ =\ +\infty }$}[/mm]
Weil schon dieses eine uneigentliche Integral keinen
endlichen Wert hat, kann man natürlich auch dem
gesamten Integral (von -π/2 bis +π/2) keinen be-
stimmten Wert zuordnen.
Ginge man allerdings vom Integral [mm] $\integral_{-r}^{r}tan(x)\ [/mm] dx$
aus und würde dann den Grenzwert für [mm] r\uparrow \frac{\pi}{2}
[/mm]
bestimmen, so käme man auf den Wert Null !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Gut, das heißt dann aber das dieses Integral nicht existiert oder sehe ich das falsch?
LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut, das heißt dann aber das dieses Integral nicht
> existiert oder sehe ich das falsch?
Nein, das siehst Du richtig.
(Aber der Cauchysche Hauptwert des Integrals ex. ( http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert))
FRED
>
> LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok, vielen Dank. Habe davon noch nie was gehört, aber mir ist auch noch nie solch eine Situation untergekommen. Durchaus interessant. Danke :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, vielen Dank. Habe davon noch nie was gehört
Das kommt noch.
FRED
> , aber mir
> ist auch noch nie solch eine Situation untergekommen.
> Durchaus interessant. Danke :)
|
|
|
| |
|
> > Gut, das heißt dann aber das dieses Integral nicht
> > existiert oder sehe ich das falsch?
>
> Nein, das siehst Du richtig.
>
> (Aber der Cauchysche Hauptwert des Integrals ex. (
> http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert))
>
> FRED
Hallo Fred,
hat denn der "Cauchysche Hauptwert" eines an sich
nicht existenten uneigentlichen Integrals überhaupt
irgendeine sinnvolle Anwendung ?
Auf die selbe Weise könnte man ja einer "Doppel-Reihe"
wie etwa
... -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+ ... = [mm] \summe_{i=-\infty}^{\infty}i
[/mm]
einen Zahlenwert (in diesem Fall z.B. Null) als "Hauptwert"
zuordnen:
$\ S\ =\ [mm] \limes_{k\to\infty}\left(\summe_{i=-k}^{k}i\right)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{k\to\infty}\left(0\right)\ [/mm] =\ 0$
was aber bekanntlich sinnlos bzw. äußerst
problematisch ist, da wir ja dieselbe Summe leicht zu
[mm] $\summe_{j=-\infty}^{\infty}(j+1)$ [/mm] umformen können.
Wenden wir dieselbe "Methode" auf die neue Summe an,
kommen wir zum neuen Ergebnis
$\ [mm] S^{\ast}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{k\to\infty}\left(\summe_{j=-k}^{k}(j+1)\right)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{k\to\infty}(2*k+1)\ [/mm] =\ [mm] \infty$
[/mm]
Sollten wir, um die Cauchysche Idee zu retten, die neue
Summe (mit dem Integrationsindex j) vielleicht so
schreiben:
[mm] $\summe_{j=-\infty-1}^{\infty-1}(j+1)$[/mm] [mm]\mbox{\Huge $\red{?}$}[/mm]
LG Al
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> schau mal hier:
> ![[]](/images/popup.gif) Fouriertransformation
>
> FRED
Danke dir für den Link !
Ohne die Details genau geprüft zu haben, denke ich
aber, dass man den "Cauchyschen Hauptwert" nur mit
großer Vorsicht anwenden darf. Im Zusammenhang mit
der Fouriertransformation sind möglicherweise
gewisse Voraussetzungen gegeben, die dies erlauben.
LG Al
|
|
|
|
