Uneigentliches Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 So 26.06.2005 | | Autor: | Mow-Sy |
hallo,
Wie kann ich das uneigentliche Integral
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {\sin(x^2) dx}[/mm]
berechnen? Ich weiß nämlich nicht, wie ich [mm]\sin(x^2)[/mm]
integrieren soll.
Falls jemand weiß, wie man das berechnen kann, oder ob es da noch eine andere Möglichkeit gibt, wäre ich sehr dankbar.
Mow-Sy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 So 26.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Mow-Sy
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es handelt sich hier um eine nicht elementar integrierbare Funktion!
Eine mögliche Vorgehensweise:
1.) [mm] sin(x^{2}) [/mm] in eine Reihe umformen
2.) Gliedweise Integration der Reihe
Viele Grüße
Fabian
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Hallo Mow-Sy,
sollst du das Integral tatsächlich berechnen, oder nur die Konvergenz zeigen?
Für die Konvergenz:
Betrachte das FRESNEL-Integral [mm] \integral_{0}^{\infty} {sin(x^2) dx} [/mm] (Solche Integrale spielen in der Theorie der Beugung des Lichtes eine Rolle). Nun der Grapf von [mm] sin(x^2) [/mm] zeigt für x > 0, dass die vom Funktionsgraph und der x-Achse begrenzten, zwischen aufeinanderfolgenden Nullstellenpaaren liegenden Flächen nicht den selben Flächeninhalt haben. Die Inhalte werden mit wachsenden Abzissen betragsmässig immer kleiner. Man kann zeigen, dass sich nach Wahl eine Beliebigen [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein X > 0 finden lässt, so dass [mm] |\integral_{x_1}^{x_2} {sin(x^2) dx}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ist, wenn nur [mm] x_1, x_2 (x_1 [/mm] < [mm] x_2) [/mm] beide grösser als X sind.
Substition [mm] x^2 [/mm] = t: [mm] \integral_{x_1}^{x_2} {sin(x^2) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{x_1 ^2}^{x_2 ^2} [/mm] { [mm] \bruch{sin(t)}{\sqrt t} [/mm] dx}. Partielle Integration und anschliessend eine Abschätzung (mit |cos t| [mm] \le [/mm] 1) ergibt: [mm] |\integral_{x_1}^{x_2} {sin(x^2) dx}| \le \bruch{1}{x_1} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] .
Formelsammlung: [mm] \integral_{- \infty}^{\infty} {sin(x^2) dx} [/mm] = 2 [mm] \integral_{0}^{\infty} {sin(x^2) dx} [/mm] = [mm] \sqrt(\bruch{\pi}{2}). [/mm] Aber frag mich bitte nicht, wie man auf [mm] \sqrt(\bruch{\pi}{2}) [/mm] kommt!
gruss,
logarithmus
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