Uneigentliches Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Fr 13.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx |
Hallo,
ich habe obiges uneigentliches Integral gelöst und wollte wissen ob meine Lösung richtig ist:
[mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx= [mm] \lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a} [/mm] + [mm] [-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}=\lim_{a \rightarrow 0} -\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}= \lim_{a \rightarrow 0} [/mm] -2= -2
[mm] \Rightarrow [/mm] A=2
Stimmt das so???
Somit habe ich ja nicht über die Definitionslücke integriert. Aber [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] ist ja für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 extrem groß. Also eigentlich müsste ja als Fläche [mm] "\infty" [/mm] rauskommen.
Ich verstehs ned. Vllt ist es auch alles falsch. Wäre dankbar wenn mir jemand hilft.
Danke
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
> Hallo,
>
> ich habe obiges uneigentliches Integral gelöst und wollte
> wissen ob meine Lösung richtig ist:
>
> [mm]\integral_{-1}{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx + [mm]\integral_{a}{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}=\lim_{a \rightarrow 0} -\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}= \lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> -2= -2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>
> Stimmt das so???
Nein.
1. Die oberen Integrationsgrenzen kann man nur im Quelltext erkennen !
2. Es fehlen jede Menge Klammern. Überlege Dir selbst, wo.
3. Was treibt 1/a für a [mm] \to [/mm] 0 ?????
4. $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx ist divergent, divergenter gehts kaum noch !
5. Schreib das ganze nochmal ordentlich und richttig auf.
FRED
>
> Somit habe ich ja nicht über die Definitionslücke
> integriert. Aber [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] ist ja für x [mm]\rightarrow[/mm]
> 0 extrem groß. Also eigentlich müsste ja als Fläche
> [mm]"\infty"[/mm] rauskommen.
>
> Ich verstehs ned. Vllt ist es auch alles falsch. Wäre
> dankbar wenn mir jemand hilft.
>
> Danke
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Fr 13.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Sorry.
Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
[mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a} [/mm] + [mm] [-\bruch{1}{x}]_{a}^{1} [/mm] = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0} [/mm] -2= -2
[mm] \Rightarrow [/mm] A=2
Und nun? Habe auf alles geachtet... Trotzdem fällt das [mm] \bruch{1}{a} [/mm] einfach weg :-(
Danke FRED.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Sorry.
>
> Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx + [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}[/mm] = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> -2= -2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>
> Und nun? Habe auf alles geachtet...
Klammern fehlen immer noch !
> Trotzdem fällt das
> [mm]\bruch{1}{a}[/mm] einfach weg :-(
Pass mal auf:
$ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx= $ [mm] \integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx+$ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx.
Nach Definition ist $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx konvergent genau dann, wenn die Beiden Integrale $ [mm] \integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx und $ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx konvergieren.
Die beiden letzte Integrale sind aber divergent.
So wie Du oben rechnest, darf man das nicht machen !
Rechne mal so:
$ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx= [mm] \limes_{a\rightarrow 0}$ \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ [mm] dx+\limes_{b\rightarrow 0}$ \integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx
Dann wirst Du sehen, dass [mm] \infty [/mm] rauskommt.
FRED
>
> Danke FRED.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Fr 13.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke FRED. Du bist mir echt immer eine große Hilfe!
> > Ok. Sorry.
> >
> > Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > dx + [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> > + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}[/mm] = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> > -2= -2
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
> >
> > Und nun? Habe auf alles geachtet...
>
>
> Klammern fehlen immer noch !
>
>
>
> > Trotzdem fällt das
> > [mm]\bruch{1}{a}[/mm] einfach weg :-(
>
> Pass mal auf:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx.
>
> Nach Definition ist [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
> konvergent genau dann, wenn die Beiden Integrale
> [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx und
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx konvergieren.
Welche Definition??? Wo finde ich diese?
>
> Die beiden letzte Integrale sind aber divergent.
>
> So wie Du oben rechnest, darf man das nicht machen !
Was genau darf ich nicht machen? Welcher schritt spricht gegen die rechengesetzte???
>
> Rechne mal so:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx=
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> [mm]dx+\limes_{b\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx
das ist ja klar... wenn ich a und b nehme kann der bruch garned wegfallen.
>
> Dann wirst Du sehen, dass [mm]\infty[/mm] rauskommt.
>
> FRED
> >
> > Danke FRED.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
Grüße
Ali
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> Danke FRED. Du bist mir echt immer eine große Hilfe!
>
> > > Ok. Sorry.
> > >
> > > Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
> > >
> > > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > > dx + [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> > > + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}[/mm] = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> > > -2= -2
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> > > [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
> > >
> > > Und nun? Habe auf alles geachtet...
> >
> >
> > Klammern fehlen immer noch !
> >
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> >
> > > Trotzdem fällt das
> > > [mm]\bruch{1}{a}[/mm] einfach weg :-(
> >
> > Pass mal auf:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx.
> >
> > Nach Definition ist [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
> > konvergent genau dann, wenn die Beiden Integrale
> > [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx und
> > [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx konvergieren.
>
> Welche Definition??? Wo finde ich diese?
Hallo,
die Def. für "uneigentliches Integral".
Skript, schlaues Buch, wikipedia.
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> >
> > Die beiden letzte Integrale sind aber divergent.
> >
> > So wie Du oben rechnest, darf man das nicht machen !
>
> Was genau darf ich nicht machen? Welcher schritt spricht
> gegen die rechengesetzte???
So weit sind wir uns einig:
[mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
Du hast da jetzt zwei uneigentliche Integrale.
Da darfst Du nicht mit einem gemeinsamen limes kommen.
Falsch:
[mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
[mm] =\lim_{a\to 0}[/mm] [mm](\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx)
Richtig:
[mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
[mm] =\lim_{a\to 0}[/mm] [mm]\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] [mm] dx+\lim_{b\to 0}[/mm] [mm] \integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
LG Angela
>
> >
> > Rechne mal so:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx=
> > [mm]\limes_{a\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > [mm]dx+\limes_{b\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > dx
>
> das ist ja klar... wenn ich a und b nehme kann der bruch
> garned wegfallen.
>
> >
> > Dann wirst Du sehen, dass [mm]\infty[/mm] rauskommt.
> >
> > FRED
> > >
> > > Danke FRED.
> > >
> > > Grüße
> > > Ali
> >
> Grüße
> Ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Fr 13.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
AHA  Vielen Vielen Danke an euch!!!!
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> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
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> Hallo,
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> ich habe obiges uneigentliches Integral gelöst und wollte
> wissen ob meine Lösung richtig ist:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}\ dx\ =\ \lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}\,dx\ +\ \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}\,dx$
$\ =\ \lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}\ +\ [-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}=\limes_{a \rightarrow 0}\left( -\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}\right)\ = \limes_{a \rightarrow 0}\,-2\ =\ -2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>
> Stimmt das so???
>
> Somit habe ich ja nicht über die Definitionslücke
> integriert. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Natürlich hast du das !
Die gemeinsame Grenze a, die du für die beiden Teil-
integrale benützt, müsste entweder positiv oder negativ
oder null sein. In jedem dieser Fälle geht mindestens
eines der Integrationsintervalle über die Lücke hinweg
oder bis zu ihr. Man kommt nicht drum herum: das
Integral hat keinen bestimmten (endlichen) Wert.
Aber man könnte hier als "uneigentliches" Ergebnis
schreiben:
[mm] $\integral_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\ [/mm] dx\ =\ [mm] +\,\infty$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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