Unendliche Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 11.01.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Wir haben folgende Funktion:
f: [mm] \IR->\IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] { 1, für x [mm] \le0 [/mm] ;
e^-(1/x),für x >0 }
Nun soll man die unendliche häufige Differenzierbarkeit auf [mm] \IR [/mm] zeigen und f^(n)(0)=0 für alle [mm] n\in\IN. [/mm] |
Hallo, ich habe mir jetzt obige Aufgabe schon ein ganze Weile angesehen. Das Prinzip ist mir auch klar - ich denke ich muss den kritischen Punkt um x0=0 herum betrachten und dann auf Sttigkeit als notw. Bedingung und dann auf Differenzierbarkeit(z.B. mit h-Methode) prüfen.
Wir haben auch nich folgenden Hinweis bekommen:
Zunächst soll man zeigen, dass f^(n)(x)=p_2n(1/x)e^(-(1/x)) für x>0 und Polynome [mm] p_2, p_4,...
[/mm]
Irgendwie irritiert mich der HInwesi sehr und ich weiß nicht recht wie ich ihn anwenden soll - außerdem ist mir nicht klar, wei ich das mit dem unendlich oft zeigen soll... Vielen Danke für jede Hilfe!
Ich habe dieses Frage auf kein anderes Forum gestellt!
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Hallo LariC,
für [mm] x\le{0} [/mm] bist Du ja schnell fertig. Bleibt also das Problem für x>0.
Der Hinweis in der Aufgabenstellung ist auch nicht soooo hilfreich. Wenn Du ihn nicht verstehst, vergiss ihn einfach und versuch mal, eine allgemeine Form für die n-te Ableitung zu finden.
Danach verstehst Du den Hinweis.  Er ist aber nicht nötig, um die Aufgabe zu lösen.
Zum Warmwerden hilft es, wenn Du erstmal so 20, 30 Ableitungen zu Fuß machst, um das Prinzip zu verstehen.
reverend
PS: Solltest Du schon vorher durchblicken, kannst Du natürlich auch dann schon eine allgemeine Form anzugeben versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 11.01.2010 | | Autor: | LariC |
So - habe jetzt einfach mal die ersten dre Ableitungen mit Kettenregel und dann ausklammern gelöst - und es kommt was schon leicht komplizierteres raus. Die dritte Abl. ist sogar schon mit drei Summanden - schätze dann mal die 20. mit 20 :)
Der Honweis ist ja vermutlich schon die allg. Form der Ableitung, aber wie sollich die jetzt zeigen - ich kann ja nicht von diesen drei Abl. auf eine allg. Form schließen und was soll das mit den P`s - ich verthe trotzdem noch nicht was das für Polynome sein sollen??!!
Und was soll das mit dem f^(n)(0)=0?
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Hallo nochmal,
es ist doch egal, was für Polynome das sein sollen. Niemand interessiert sich für all ihre genauen Koeffizienten, sondern nur für ihren grundlegenden Aufbau. Welche Glieder verschwinden (haben also den Koeffizienten 0)? Und insbesondere: gibt es ein absolutes Glied, das von Null verschieden ist?
Wenn Du die Form der Polynome etwas genauer beschreiben kannst (z.B. so wie in dem Hinweis), dann kannst Du hier auch [mm] f^n(0)=0 [/mm] zeigen.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 13.01.2010 | | Autor: | LariC |
Hey - ich verzwefle - habe jetzt bisher eine allg. Form:
Bei dem rest(Zähler!) fällt mir einfach nichts auf. Ich habe auch schon nach einer Verbindung zum Pascalschen dreieck gesucht - aber ich finde da wirklich keine zusammenhang!!
Könnte mir bitte noch jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
So eine ähnliche Aufgabe musste ich auch letztens bearbeiten.
Es reicht, dass du weißt, dass jede Ableitung eine Summe von Summanden der Form [mm] ae^{-\bruch{1}{x}}*\bruch{1}{x^n} [/mm] ist (n [mm] \in \IN, [/mm] n>0, a [mm] \in \IR). [/mm] Nun reicht es zu zeigen, dass dieser allgemeine Summand gegen 0 konvergiert für x [mm] \to [/mm] 0.
Dann würde auch die Summe aus solchen Summanden gegen 0 konvergieren.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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