Unendliche Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 18.11.2008 | | Autor: | Memorius |
| Aufgabe | | Zu zeigen: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{q}{(q-1)²}, [/mm] q<1 |
Hallo!
Meine Lösung hierzu wäre:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*q^{k} [/mm] = [mm] q^{1} [/mm] + [mm] 2q^{2} [/mm] + [mm] 3q^{3} [/mm] + [mm] 4q^{4} [/mm] + [mm] 5q^{5}... [/mm] = [mm] (q^{1} [/mm] + [mm] q^{2} [/mm] + [mm] q^{3} [/mm] + [mm] q^{4} [/mm] + [mm] q^{5} [/mm] + ...) + [mm] (q^{2} [/mm] + [mm] q^{3} [/mm] + [mm] q^{4} [/mm] + [mm] q^{5} [/mm] + ...)
+ [mm] (q^{3} [/mm] + [mm] q^{4} [/mm] + [mm] q^{5} [/mm] + ...) + [mm] (q^{4} [/mm] + [mm] q^{5} [/mm] + ...) + [mm] (q^{5} [/mm] + ...) +...
(geometrische Summenformel) => [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1) [/mm] + [mm] (\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1) [/mm] *q + [mm] (\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1) [/mm] * [mm] q^{2} [/mm]
+ [mm] (\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1) [/mm] * [mm] q^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} *q^{4} [/mm] + ... für n -> [mm] \infty
[/mm]
= [mm] (\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1) *(1+q^{1} [/mm] + [mm] q^{2} [/mm] + [mm] q^{3} [/mm] + [mm] q^{4} [/mm] + ...) n -> [mm] \infty
[/mm]
= [mm] (\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1)*(\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}), [/mm] n -> [mm] \infty; [/mm] m -> [mm] \infty
[/mm]
= [mm] (\bruch{1-q^{n+1} - (1-q)}{1-q})*(\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}) [/mm] n -> [mm] \infty; [/mm] m -> [mm] \infty
[/mm]
= [mm] (q*\bruch{1-q^{n}}{1-q})*(\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}) [/mm] n -> [mm] \infty; [/mm] m -> [mm] \infty [/mm]
=>
[mm] 1-q^{n} [/mm] = 1 für n -> [mm] \infty [/mm]
[mm] 1-q^{m+1} [/mm] = 1 f+r m -> [mm] \infty
[/mm]
und damit habe ich letztendlich meine Gleichheit: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{q}{(q-1)²}
[/mm]
Nun, meine Frage ist nun: Darf man diese limes-Betrachtung, die ich am Ende geführt habe, so anstellen, wie ichs gemacht habe?
Grüße
Memorius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Zu zeigen: [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{q}{(q-1)²},[/mm] q<1
Es soll heißen |q|<1
> Hallo!
>
> Meine Lösung hierzu wäre:
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*q^{k}[/mm]
> = [mm]q^{1}[/mm] + [mm]2q^{2}[/mm] + [mm]3q^{3}[/mm] + [mm]4q^{4}[/mm] + [mm]5q^{5}...[/mm] = [mm](q^{1}[/mm] +
> [mm]q^{2}[/mm] + [mm]q^{3}[/mm] + [mm]q^{4}[/mm] + [mm]q^{5}[/mm] + ...) + [mm](q^{2}[/mm] + [mm]q^{3}[/mm] +
> [mm]q^{4}[/mm] + [mm]q^{5}[/mm] + ...)
> + [mm](q^{3}[/mm] + [mm]q^{4}[/mm] + [mm]q^{5}[/mm] + ...) + [mm](q^{4}[/mm] + [mm]q^{5}[/mm] + ...) +
> [mm](q^{5}[/mm] + ...) +...
>
>
> (geometrische Summenformel) => [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k}[/mm]
> = [mm](\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1)[/mm] + [mm](\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1)[/mm]
> *q + [mm](\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1)[/mm] * [mm]q^{2}[/mm]
> + [mm](\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1)[/mm] * [mm]q^{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} *q^{4}[/mm] + ... für n -> [mm]\infty[/mm]
>
> = [mm](\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1) *(1+q^{1}[/mm] + [mm]q^{2}[/mm] + [mm]q^{3}[/mm] +
> [mm]q^{4}[/mm] + ...) n -> [mm]\infty[/mm]
>
> = [mm](\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1)*(\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}),[/mm] n
> -> [mm]\infty;[/mm] m -> [mm]\infty[/mm]
>
> = [mm](\bruch{1-q^{n+1} - (1-q)}{1-q})*(\bruch{1-q^{m+1}}{1-q})[/mm]
> n -> [mm]\infty;[/mm] m -> [mm]\infty[/mm]
>
>
> = [mm](q*\bruch{1-q^{n}}{1-q})*(\bruch{1-q^{m+1}}{1-q})[/mm] n ->
> [mm]\infty;[/mm] m -> [mm]\infty[/mm]
>
>
> =>
> [mm]1-q^{n}[/mm] = 1 für n -> [mm]\infty[/mm]
> [mm]1-q^{m+1}[/mm] = 1 f+r m -> [mm]\infty[/mm]
>
> und damit habe ich letztendlich meine Gleichheit:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k*q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{q}{(q-1)²}[/mm]
>
>
> Nun, meine Frage ist nun: Darf man diese limes-Betrachtung,
> die ich am Ende geführt habe, so anstellen, wie ichs
> gemacht habe?
Diese Betrachtungen sind sehr dubios !!
Ganz einfach kommst Du zum Ziel, wenn Du das Cauchyprodukt von [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^{k} [/mm] mit sich selbst berechnest.
FRED
>
> Grüße
> Memorius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 18.11.2008 | | Autor: | Memorius |
Naja, meine Aufgabenstellung verlangt, dass ich die Reihe ausführlich aufschreibe und dann die Formel für die geometrische Reihe einsetze.
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Hallo Memorius,
> Naja, meine Aufgabenstellung verlangt, dass ich die Reihe
> ausführlich aufschreibe und dann die Formel für die
> geometrische Reihe einsetze.
Fang doch mal so an:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*q^{k}}=\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{l=0}^{k}{l*q^{l}}= \dots[/mm]
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 18.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
leite doch mal $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^{k} =\frac{1}{1-q}$ [/mm] nach q ab ..
vg Luis
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> Moin,
>
> leite doch mal [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^{k} =\frac{1}{1-q}[/mm]
> nach q ab ..
Hallo,
das setzt natürlich voraus, daß man ableiten kann und vor allem darf und auch schon was übers Ableiten v. unendlichen Reihen gehört hat.
Ich vermute (!), daß Memorius all das nicht kann, und daß er miteiner doppelten Summation arbeiten soll.
Gruß v. Angela
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