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| Aufgabe | Berechne:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{2}}{3^{n}} [/mm] |
Mir fehlen irgendwie die Ideen wie ich dieses beispiel ansetzen kann bzw. wie ich das summenzeichen wegbekomme?
Wäre sehr nett,wenn mir jemand helfen könnte!
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das Summenzeichen geht von 1 bis unendlich.
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> Berechne:
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> [mm]\summe_{i=1}^{infty}\bruch{n^{2}}{3^{n}}[/mm]
> Mir fehlen irgendwie die Ideen wie ich dieses beispiel
> ansetzen kann bzw. wie ich das summenzeichen wegbekomme?
> Wäre sehr nett,wenn mir jemand helfen könnte!
Hallo,
bist Du Dir ganz sicher, daß Du das wirklich ausrechen sollst?
Sollst Du vielleicht nicht bloß herausfinden, ob die Reihe konvergiert?
In diesem Fall hätte ich einen Tip: überlege Dir (evtl. mithilfe des Skriptes oder älterer Übungsaufgaben, wie Du [mm] n^2 [/mm] nach oben abschätzen kannst und verwende dann als Majorante eine geometr. Reihe.
Gruß v. Angela
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Also ich soll es berechnen...ganz sicher so steht das auch am ÜZ....es lauft ja daraus aus, dass des ins unendiche läuft...wahrscheinlich wird die lösung so sein, dass man im bruch selbst relativ viel wegkürzen kann!
habe aber immer noch keine Ahnung wie das gehen sollte!!
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> Berechne:
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> [mm]\summe_{i=1}^{infty}\bruch{n^{2}}{3^{n}}[/mm]
> Mir fehlen irgendwie die Ideen wie ich dieses beispiel
> ansetzen kann bzw. wie ich das summenzeichen wegbekomme?
> Wäre sehr nett,wenn mir jemand helfen könnte!
Hallo,
steht das wirklich so da?
Mit i als Summationsindex?
Dann paßt meine erste Antwort nämlich überhaupt nicht, weil [mm] \bruch{n^{2}}{3^{n}} [/mm] dann ja konstant ist und Du es vor die Summe ziehen kannst.
Gruß v. Angela
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aso ein fehler meinerseits....es steht nicht i dor sondern n=1!! tut mir leid
also: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{2}}{3^{n}}
[/mm]
mfg
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Hallo,
das ist ja eine unendliche Summe. Man kann daher das Quotientekriterium anwenden nach folg. Schema:
[mm]q[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)^{2}*3^{n}}{3^{n+1}*n^{2}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+2n+
1}{3n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}
[/mm]
Damit konvergiert die Reihe sogar absolut nach dem Quotientenkriterium.
Beste Grüße
Daniel
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Hallo,
xxClemensxx besteht aber daruf, daß es Aufgabe ist, den Grenzwert zu berechnen...
Gruß v. Angela
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Ach so, das war mir nicht klar. Da habe ich spontan keine Idee, wie man den Grenzwert berechnet.
Grüße
Daniel
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Naja es steht nur da Berechne was auch immer das genau heißt!
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Hallo Clemens,
jetzt fällt mir noch etwas ein. Da es sich dabei ja um eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}*(x-x_{0})^{n} [/mm] handelt, könnte ich mir vorstellen, dass Du den Konvergenzradius R berechnen sollst. Einen konkreten Wert kann man ja bei Potenzreihen gar nicht angeben. Außer es gilt [mm] x=x_{0}. [/mm]
Nach der Formel von Euler (z.B. Königsberger "Analysis 1" Kapitel 6.4) gilt [mm] R=\bruch{1}{q}. [/mm] Das q ist in diesem Fall das q aus dem Quotientenkriterium. R sollte also 3 sein, falls ich jetzt nicht irgendetwas Fundamentales falsch gemacht habe.
Grüße, Daniel
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