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wie bestimme ich den unendlichen Reihenwert folgender Geometrischer Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}
[/mm]
ich würde sagen, da |p|<1 gilt [mm] \bruch{1}{1-p}
[/mm]
Also, da [mm] |-\bruch{1}{4}|<1 [/mm] gilt [mm] \bruch{1}{1+ \bruch{1}{4}}=0,8 [/mm] kann man das so machen?
LG Der Pinguinagent
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> wie bestimme ich den unendlichen Reihenwert folgender
> Geometrischer Reihe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}[/mm]
Hallo,
möchtest Du über [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{\red{i}-1} [/mm] sprechen?
>
> ich würde sagen, da |p|<1 gilt [mm]\bruch{1}{1-p}[/mm]
Du müßtest schon sagen, womit [mm] \bruch{1}{1-p} [/mm] gleich sein soll,
und nicht alles der Fantasie die Lesers überlassen.
>
> Also, da [mm]|-\bruch{1}{4}|<1[/mm] gilt [mm]\bruch{1}{1+ \bruch{1}{4}}=0,8[/mm]
> kann man das so machen?
Du gehst viel zu schlampig an die Sache heran, und deshalb kommst Du nicht zu richtigen Ergebnis.
Das ist schade, denn daß wir es hier mit einer geometrischen Reihe zu tun haben, hast Du durchaus erkannt und hättest somit den Schlüssel zum Erfolg in der Hand.
Was wissen wir über geometrische Reihen?
Sofern |q|<1, konvergiert die geometrische Reihe, und es ist
[mm] \sum_{i=\red{0}}^{\infty}q^{\red{i}}=\frac{1}{1-q}.
[/mm]
Dementsprechend wäre
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{i}=\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{4})}=\bruch{4}{5}.
[/mm]
Du allerdings sollst Dich beschäftigen mit
[mm] \summe_{i=\red{1}}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{\red{i-1}},
[/mm]
und das Rotmarkierte kannst Du nicht einfach gepflegt ignorieren!
Bedenke folgendes:
[mm] \sum_{i=1}^\infty a_i=(\sum_{i=0}^\infty a_i)-...,
[/mm]
[mm] q^{i-1}=q^i*...
[/mm]
Damit solltest Du zum Ziel kommen.
LG Angela
> LG Der Pinguinagent
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hallo,
erst einmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich verstehe das noch nicht so ganz mit dem Aufteilen der Summe. Sowas habe ich noch nie gemacht. Vielleicht habe ich auch nur ein Denkfehler beim Bilden meiner unendlichen Summe gemacht. Die Aufgabenstellung besagt, dass ich das allgemeine Glied der gegebenen Folge 1, -1/4, 1/16, -1/64, 1/256 bestimmen soll und dann den unendlichen Summenwert berechnen. In der Vorlesung haben wir die Formel 1/(1-p) über die Summe von 1 bis unendlich bewiesen. Zwar kommt das selbe von 0 bis unendlich raus. Was meinst du dazu?
LG DerPinguinagent
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> hallo,
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> erst einmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich verstehe das
> noch nicht so ganz mit dem Aufteilen der Summe. Sowas habe
> ich noch nie gemacht. Vielleicht habe ich auch nur ein
> Denkfehler beim Bilden meiner unendlichen Summe gemacht.
> Die Aufgabenstellung besagt, dass ich das allgemeine Glied
> der gegebenen Folge 1, -1/4, 1/16, -1/64, 1/256 bestimmen
> soll und dann den unendlichen Summenwert berechnen. In der
> Vorlesung haben wir die Formel 1/(1-p) über die Summe von
> 1 bis unendlich bewiesen.
Moin,
kannst Du mal gescheit aufschreiben, was Ihr bewiesen habt?
Mit Summenzeichen, Indizes, Gleichheitszeichen und allem PiPaPo.
Es wäre wichtig zu wissen, worauf wir bauen können.
Unter "die Formel 1/(1-p) über die Summe von 1 bis unendlich bewiesen" stelle ich mir etwas vor, was definitiv nicht stimmt.
Ich will ja gar nicht unbedingt behaupten, daß Dein Endergebnis falsch ist - aber der Weg dorthin sollte doch nachvollziehbar sein.
Du gehst gar nicht auf das ein, was ich geschrieben habe.
Ich hatte ja ein paar Vorlagen geliefert.
LG Angela
Zwar kommt das selbe von 0 bis
> unendlich raus. Was meinst du dazu?
>
> LG DerPinguinagent
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Guten Abend/Guten Morgen,
ich habe mich irgendwie falsch ausgedrückt. Gezeigt haben wir, dass wenn wir eine geometrische Reihe [mm] a_n [/mm] = [mm] a*q^{n-1} [/mm] der Form [mm] S_n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] haben, gilt für den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_n [/mm] entweder für |q|<1 [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] oder für |q|>1 [mm] \bruch{1-q^{n}}{1-q}. [/mm] Um diese beiden Formeln herzuleiten, haben wir in der Vorlesung [mm] q*S_n [/mm] - [mm] S_n [/mm] gerechnet und anschließend das Ergebnis adäquat umgestellt.
Ich hoffe du verstehst was ich meine. Das Bild konnte ich leider irgendwie nicht hochladen.
LG DerPinguinagent
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Sa 29.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Pinguinagent,
> Guten Abend/Guten Morgen,
>
> ich habe mich irgendwie falsch ausgedrückt. Gezeigt haben
> wir, dass wenn wir eine geometrische Reihe [mm]a_n[/mm] = [mm]a*q^{n-1}[/mm]
> der Form [mm]S_n[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] haben, gilt für
> den Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} S_n[/mm] entweder für
> |q|<1 [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] oder für |q|>1 [mm]\bruch{1-q^{n}}{1-q}.[/mm]
> Um diese beiden Formeln herzuleiten, haben wir in der
> Vorlesung [mm]q*S_n[/mm] - [mm]S_n[/mm] gerechnet und anschließend das
> Ergebnis adäquat umgestellt.
Dies ist auch der wesentliche Schritt zur Herleitung der Formel für den Summenwert der geometrischen Reihe:
Sei im Folgenden q [mm] \not= [/mm] 1, denn für q = 1 gilt [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} 1^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} [/mm] 1 = [mm] a_{0} [/mm] (n+1)
Sei [mm] S_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} q^{k}.
[/mm]
Dann ist q * [mm] S_{n} [/mm] - [mm] S_{n} [/mm] = [mm] a_{0} (q^{n+1} [/mm] - 1)
<=> [mm] S_{n} [/mm] (q - 1) = [mm] a_{0}(q^{n+1} [/mm] - 1)
<=> [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \frac{a_{0}(q^{n+1} - 1)}{q-1}
[/mm]
<=> [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \frac{- a_{0} (q^{n+1} - 1)}{-(q-1)} [/mm] = [mm] a_{0} \frac{(1-q^{n+1})}{1-q}
[/mm]
Bzw. ist die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n+1} a_{0} q^{k-1} [/mm] gegeben, so ergibt sich offensichtlich Selbiges, denn es gilt die Gleichheit [mm] \summe_{k=1}^{n+1} a_{0} q^{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} q^{k}, [/mm] denn die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n+1} a_{0} q^{k-1} [/mm] entsteht aus Indexshift aus der Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} q^{k}.
[/mm]
Ist nun |q| < 1, so gilt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} q^{n+1} [/mm] = 0, und es folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{a_{0}}{1-q}
[/mm]
Was ist nun bei gegebener Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{i-1} [/mm] das q? Was das [mm] a_{0}?
[/mm]
> Ich hoffe du verstehst was ich meine. Das Bild konnte ich
> leider irgendwie nicht hochladen.
>
> LG DerPinguinagent
Viele Grüße,
X3nion
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q ist = -1/4 und a ist demzufolge 1 oder verstehe ich das falsch?
LG DerPinguinagent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:31 Sa 29.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> q ist = -1/4 und a ist demzufolge 1 oder verstehe ich das
> falsch?
Korrekt! Wie lautet dann der Wert der Reihe?
Wichtig: Wenn jetzt anstatt [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k-1} [/mm] (äquivalent mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k}) [/mm] dastünde
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k} [/mm] oder [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{a_{0}}{1-q}, [/mm] dann müsstest du die Reihe dahingehend "verändern", dass wieder der Ausdruck
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k-1} [/mm] (oder eben äquivalent [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k}) [/mm] da steht.
Also sprich: die Summe beginnt immer mit dem Reihenglied [mm] q^{0} [/mm] = 1.
Beispiel:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} (-1/4)^{k}.
[/mm]
Es ist [mm] \summe_{k=2}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{k} [/mm] + [mm] \frac{1}{4} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{k} -\frac{3}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-(-\frac{1}{4})} [/mm] - [mm] \frac{3}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{5}{4}} [/mm] - [mm] \frac{3}{4} [/mm] = [mm] \frac{4}{5} [/mm] - [mm] \frac{3}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{20}
[/mm]
> LG DerPinguinagent
Viele Grüße,
X3nion
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> > q ist = -1/4 und a ist demzufolge 1 oder verstehe ich das
> > falsch?
>
> Korrekt! Wie lautet dann der Wert der Reihe?
>
> Wichtig: Wenn jetzt anstatt [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k-1}[/mm]
> (äquivalent mit [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k})[/mm]
> dastünde
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k}[/mm] oder
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k}[/mm] = [mm]\frac{a_{0}}{1-q},[/mm] dann
> müsstest du die Reihe dahingehend "verändern", dass
> wieder der Ausdruck
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{0} q^{k-1}[/mm] (oder eben äquivalent
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k})[/mm] da steht.
>
> Also sprich: die Summe beginnt immer mit dem Reihenglied
> [mm]q^{0}[/mm] = 1.
>
> Beispiel:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} (-1/4)^{k}.[/mm]
>
> Es ist [mm]\summe_{k=2}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{k}[/mm] + [mm]\frac{1}{4}[/mm] - 1
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-\frac{1}{4})^{k} -\frac{3}{4}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{1-(-\frac{1}{4})}[/mm] - [mm]\frac{3}{4}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\frac{5}{4}}[/mm] - [mm]\frac{3}{4}[/mm] = [mm]\frac{4}{5}[/mm] -
> [mm]\frac{3}{4}[/mm] = [mm]\frac{1}{20}[/mm]
>
Also ich verstehe nicht so ganz warum Gleichheit zwischen den Reihen besteht. Wenn ich das einsetzte erhalte ich doch komplett andere Werte!
>
> > LG DerPinguinagent
>
> Viele Grüße,
> X3nion
>
LG DerPinguinagent
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Hallo,
> Also ich verstehe nicht so ganz warum Gleichheit zwischen
> den Reihen besteht. Wenn ich das einsetzte erhalte ich doch
> komplett andere Werte!
von welcher Gleichheit sprichst du? Man versucht dir gerade nahezubringen, dass für |q|<1 und i>0
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^n \ne \sum_{k=i}^{\infty}q^n [/mm]
ist. Wenn du den Beitrag von X3nion gründlich gelesen hättest, dann wäre dir aufgefallen, dass dort von der bei k=0 beginnenden Reihe noch etwas subtrahiert wurde.
Das eigentliche Problem aber ist letztendlich deine Schlampigkeit. Ich will jetzt keine Schlussfolgerungen auf dein Studium ziehen (obwohl es mich juckt). Aber in einem Forum wie diesem kann und muss man von Fragestellern eine völlig andere Arbeitshaltung erwarten, als du sie bisher hier präsentierst: man versteht überhaupt NICHTS von deinen Anliegen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
so soll es nicht rüber kommen. Wir haben sowas aber nie in der VL besprochen, weshalb ich ausgehe, dass ich die Aufgabe falsch gemacht habe oder eine andere Möglichkeit besteht die Aufgabe zu lösen.
Die Aufgabenstellung lautet: Die Folge 1, -1/4, 1/16, -1/64, 1/256, ... ist vorgegeben. Jetzt soll zunächst [mm] a_n [/mm] aufstellen und dann den endlichen Summenwert und den unendlichen Summenwert bilden.
Wie ich oben schon erwähnt habe, haben wir gezeigt, dass für
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] = [mm] a*\bruch{1-p^{n}}{1-p} [/mm] für |p|>1 und für |p|<1 [mm] a*\bruch{1}{1-p} [/mm] gilt.
Ist jetzt die korrekte Reihe nun [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^n [/mm] oder [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}?
[/mm]
Das ist meine eigentliche Frage. Bitte helft mir erst einmal dabei.
LG DerPinguinagent
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Hallo,
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> so soll es nicht rüber kommen. Wir haben sowas aber nie in
> der VL besprochen, weshalb ich ausgehe, dass ich die
> Aufgabe falsch gemacht habe oder eine andere Möglichkeit
> besteht die Aufgabe zu lösen.
>
> Die Aufgabenstellung lautet: Die Folge 1, -1/4, 1/16,
> -1/64, 1/256, ... ist vorgegeben. Jetzt soll zunächst [mm]a_n[/mm]
> aufstellen und dann den endlichen Summenwert und den
> unendlichen Summenwert bilden.
>
> Wie ich oben schon erwähnt habe, haben wir gezeigt, dass
> für
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] = [mm]a*\bruch{1-p^{n}}{1-p}[/mm] für
> |p|>1 und für |p|<1 [mm]a*\bruch{1}{1-p}[/mm] gilt.
>
Das habt ihr nicht gezeigt, weil es absoluter Unsinn ist und es eines zeigt: entweder besitzt du keine geeigneten Unterlagen oder aus irgendeinem Grund bist du nicht in der Lage, diese adäquat zu nutzen.
Es ist für |q|<1
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n}q^k= \sum_{k=0}^{\infty}q^k= \frac{1}{1-q} [/mm]
der Grenzwert der Geometrischen Reihe.
Für jedes q gilt weiterhin
[mm] \sum_{k=0}^{n}q^k= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm]
was aber kein Grenzwert ist sondern die Summenformel einer endlichen Geometrischen Reihe.
> Ist jetzt die korrekte Reihe nun [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^n[/mm]
> oder [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}?[/mm]
>
> Das ist meine eigentliche Frage. Bitte helft mir erst
> einmal dabei.
Ersteres. Und das wurde bereits mehrfach gesagt!
EDIT: Beides ist richtig. Ich hatte den Exponent n-1 übersehen. Die zweite Darstellung ist allerdings unnötig kompliziert.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> so soll es nicht rüber kommen. Wir haben sowas aber nie in
> der VL besprochen,
Hallo,
wenn Du eine Mathevorlesung besucht hast und wenn solch eine Aufgabe wie von Dir gepostet gestellt wird, dann habt Ihr in der Vorlesung gelernt, daß für für |q|<1 gilt
[mm] \summe_{k=0}^\infty q^n=\bruch{1}{1-q},
[/mm]
und dies ist eins der Dinge, die man tunlichst auswendig lernen und immer wissen sollte (geometrische Reihe).
> Die Aufgabenstellung lautet: Die Folge 1, -1/4, 1/16,
> -1/64, 1/256, ... ist vorgegeben. Jetzt soll zunächst [mm]a_n[/mm]
> aufstellen und dann den endlichen Summenwert und den
> unendlichen Summenwert bilden.
> Ist jetzt die korrekte Reihe nun [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^n[/mm]
Schauen wir uns hierfür doch die Folgenglieder an:
[mm] a_0=(-\bruch{1}{4})^0=1,
[/mm]
[mm] a_1=(-\bruch{1}{4})^1=-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] a_2=(-\bruch{1}{4})^2=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Paßt gut!
> oder [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}?[/mm]
Gucken wir auch hier:
[mm] a_1=(-\bruch{1}{4})^{1-1}=1
[/mm]
[mm] a_2=(-\bruch{1}{4})^{2-1}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] a_3=(-\bruch{1}{4})^{3-1}=\bruch{1}{16}
[/mm]
Stimmt auch - bloß mit der ersten Darstellung kannst Du richtig gut etwas anfangen, weil Du dafür die Formel (im Idealfall) auswendiggelernt hast.
Bei dieser Darstellung muß man noch kurz rumfrickeln, um auf gebrauchsfertige Darstellung von oben zu kommen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Sa 29.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Schauen wir uns hierfür doch die Folgenglieder an:
>
> [mm]a_0=(-\bruch{1}{4})^0=1,[/mm]
> [mm]a_1=(-\bruch{1}{4})^1=-\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]a_2=(-\bruch{1}{4})^2=-\bruch{1}{16}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Paßt gut!
>
Eine kurze Bemerkung: aus Versehen hast du [mm] (-\bruch{1}{4})^{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16} [/mm] geschrieben, es muss aber [mm] (-\bruch{1}{4})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] lauten
> > oder [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}?[/mm]
>
> Gucken wir auch hier:
>
> [mm]a_1=(-\bruch{1}{4})^{1-1}=1[/mm]
> [mm]a_2=(-\bruch{1}{4})^{2-1}=-\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]a_3=(-\bruch{1}{4})^{3-1}=-\bruch{1}{16}[/mm]
Hier dasselbe 
> Stimmt auch - bloß mit der ersten Darstellung kannst Du
> richtig gut etwas anfangen, weil Du dafür die Formel (im
> Idealfall) auswendiggelernt hast.
> Bei dieser Darstellung muß man noch kurz rumfrickeln, um
> auf gebrauchsfertige Darstellung von oben zu kommen.
>
> LG Angela
>
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 29.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo,
>
> so soll es nicht rüber kommen. Wir haben sowas aber nie in
> der VL besprochen, weshalb ich ausgehe, dass ich die
> Aufgabe falsch gemacht habe oder eine andere Möglichkeit
> besteht die Aufgabe zu lösen.
>
> Die Aufgabenstellung lautet: Die Folge 1, -1/4, 1/16,
> -1/64, 1/256, ... ist vorgegeben. Jetzt soll zunächst [mm]a_n[/mm]
> aufstellen und dann den endlichen Summenwert und den
> unendlichen Summenwert bilden.
>
> Wie ich oben schon erwähnt habe, haben wir gezeigt, dass
> für
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] = [mm]a*\bruch{1-p^{n}}{1-p}[/mm] für
> |p|>1 und für |p|<1 [mm]a*\bruch{1}{1-p}[/mm] gilt.
>
> Ist jetzt die korrekte Reihe nun [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^n[/mm]
> oder [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{4})^{n-1}?[/mm]
Wie Angela schon sagte, sind beides korrekte Reihen, denn es steht - wie Angela bereits an den ersten 3 Gliedern verifiziert hat - dasselbe da.
Ich zitiere nochmals, was du geschrieben hast:
> Gezeigt haben wir, dass wenn wir eine geometrische Reihe
> $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] a\cdot{}q^{n-1} [/mm] $ der Form $ [mm] S_n [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] $
> haben, gilt für den Grenzwert $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_n [/mm] $ entweder für |q|<1 $ [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] $ oder für |q|>1 $ [mm] \bruch{1-q^{n}}{1-q}. [/mm] $
Hier eine kleine Korrektur, weil das so nicht ganz stimmt.
Es ist üblich, die n-te Partialsumme einer Reihe wie folgt zu bezeichnen:
[mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}
[/mm]
Dann ist [mm] S_{1} [/mm] = [mm] a_{1}, [/mm]
[mm] S_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2}, [/mm]
[mm] S_{3} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3}
[/mm]
...
Du schreibst, dass wenn eine Reihe [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n} [/mm] := a [mm] \cdot{} q^{n-1} [/mm] gegeben ist, dass dann
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] für |q| < 1 ist.
Allerdings ist [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] bereits eine unendliche geometrische Reihe.
Fangen wir also nochmals von vorne an und wir entfernen uns mal von der Schreibweise, dass [mm] a_{n} [/mm] = a [mm] \cdot{} q^{n-1} [/mm] eine Folge ist, aus der durch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] eine Reihe gebildet wird.
Der Faktor a lässt sich - da konstant und unabhängig von Indizes - wegen den Rechenregeln für Summen komplett aus der Summe ziehen.
1) Die endliche geometrische Reihe besitzt die Gestalt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k} [/mm] = a * [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = a * [mm] (q^{0} [/mm] + [mm] q^{1} [/mm] + [mm] q^{2} [/mm] + ... + [mm] q^{n})
[/mm]
bzw. so wie ihr sie vermutlich gelernt habt, ist sie von folgender Form:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1} [/mm] = a * [mm] \summe_{k=1}^{n+1} q^{k-1} [/mm] = a * [mm] (q^{1-1} [/mm] + [mm] q^{2-1} [/mm] + ... + [mm] q^{n+1-1}) [/mm] = a * [mm] (q^{0} [/mm] + [mm] q^{1} [/mm] + [mm] q^{2} [/mm] + ... + [mm] q^{n})
[/mm]
Folglich gilt [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1}
[/mm]
Setze nun [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1} [/mm] als die n-te Partialsumme der geometrischen Reihe.
Es ergibt sich, wie ich in einem meiner vorigen Beiträge hergeleitet habe:
[mm] S_{n} [/mm] = a [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Der Summenwert der endlichen geometrischen Reihe [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k}. [/mm] Grenzwert ist es nicht, da wir (noch) keine Grenzwertbetrachtung für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] durchgeführt haben!
Nun da aber [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1}, [/mm] gilt auch:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1} [/mm] = a [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
2) Kommen wir nun zur unendlichen geometrischen Reihe.
- Ist |q| < 1 und betrachten wir [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm]
mit [mm] S_{n} [/mm] = a [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}, [/mm] so erhalten wir:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] a [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
<=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm] = a [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
Deshalb ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k} [/mm] = a [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
- Da [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1}, [/mm] erhalten wir analog:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] a [mm] q^{k-1} [/mm] = a [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
Ist es für dich ersichtlicher geworden?
Im Normalfall wird die endliche geometrische Reihe wie folgt definiert:
a [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k}
[/mm]
In meinen Augen ist es unnötig kompliziert, einen Indexshift durchzuführen und die endliche geometrische Reihe mit a [mm] \summe_{k=1}^{n+1} q^{k-1} [/mm] definieren.
> Das ist meine eigentliche Frage. Bitte helft mir erst
> einmal dabei.
>
> LG DerPinguinagent
Noch eine Bitte zum Schluss: Wenn du uns exakt aufschreibst, was in eurem Skript steht, so können wir dir am besten helfen!
Denn so wie es dasteht ist es etwas Humbug
Viele Grüße,
X3nion
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