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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:29 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Hier eine Aufabe von Math4U:
Man beweise für alle [mm]x,y,z\in R^{+}[/mm] mit [mm]x+y+z=1[/mm] die Ungleichung
[mm](1+\frac{1}{x})\cdot (1+\frac{1}{y})\cdot (1+\frac{1}{z})\geq 64[/mm]
Viel Spaß!
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Mi 18.08.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo schöne Aufgabe, werde mich mal ranmachen, doch ich wollte noch wissen, ob dieses R mit dem + bedeutet, dass alle positiven reelen Zahlen gemeint sind?
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Zwieback!
Ganz genau, [mm]R^{+}[/mm] beschreibt alle positiven, rellen Zahlen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mi 18.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Man könnte das Problem wohl lösen, indem man Extremwerte dieser mehrdimensionalen Funktion unter der Nebenbedingung $x+y+z=1$ mit $x,y,z [mm] \in \IR^+$ [/mm] löst, das sind allerdings Randpunkte der Definitionsmenge, also müssen die partiellen Ableitungen der Funktion nicht zwangsläufig 0 werden (tun sie nicht), es gibt aber bestimmt auch eine schnelle, elegante Methode, auf die ich im Moment nicht komme :/
greetz
AT-Colt
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Für den Sonderfall y=x und Ersetzung von z durch 1-2*x scheint diese Ungleich nicht korrekt zu sein. Wenn ich mich nicht irre, dann steht da nach ein paar Umformungen folgendes:
[mm] 1+((-3*x^2+2*x+2)/(x^2-2*x^3)) \ge [/mm] 64 Für x gegen eins (in diesem Fall also: 2*x+(1-2*x) = 1 ) ist die linke Seite eine Nullfolge. Entweder ist das die Wiederlegung oder ich habe mich vertan!
MfG
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HI !
Ich hätte da evtl. einen Lösungsansatz ganz genereller Natur!
Es ist bestimmt möglich diese Ungleichung mittels Induktion über den Aufbau zu beweisen. Man könnte sich also Spezialfälle konstruieren und diese dann verallgemeinern. Das ist genau die Sache, die ich in meinem vorherigen Post versucht habe, jedoch leider gescheitert bin. Dennoch glaube ich, dass es ein vielversprechender Ansatz ist.
Ich bleibe dran !
MfG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 19.08.2004 | | Autor: | Fermat2k4 |
Halli Hallo,
ich bins schon wieder! Also, löst man die Ungleichung für den Fall y=x (es lässt mich einfach nicht los  ) und ersetzt man z durch 1-2*x, dann erfüllen alle positiven reellen Zahlen < 0,5 diese Ungleichung ! Wählt man z.B. [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] so erhält man genau 64.
Für y=x und alle analogen Fälle o.B.d.A. sehe ich es als gelöst an! Bleibt nur noch eine Verallgemeinerung durchzuführen.
Bis dann !
Gruß
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Do 19.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Alexander!
Du hast mmN recht, für [mm]y=x[/mm] mag das Problem leicht zu lösen sein. Doch das ist dann ja eine Relaxation, die dir zwar eine Lösung für einen Sonderfall verschafft, doch dich meiner Meinung nach nicht sehr viel näher an die Lösung des Problemes heranführt.
Gruß,
Hanno
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:56 Do 19.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Ich möchte hier meine Lösung mal vorzeigen, welche aber z.B. nicht die vorgesehen von Math4U ist. Vielleicht gibt es ja noch einige weitere Lösungen:
[mm](1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64[/mm]
[mm]\gdw \frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{xyz}\geq 4\cdot 4\cdot 4[/mm]
[mm]\gdw (1+x)(1+y)(1+z)\geq 4x\cdot 4y\cdot 4z[/mm]
Sei [mm]a[/mm] entweder [mm]x,y[/mm] oder [mm]z[/mm] (dies spielt aus Symmetriegründen keine Rolle)
Dann prüfen wir die Behauptung
[mm]1+a\geq 4a[/mm]
Da [mm]a<1[/mm] können wir [mm]a[/mm] auch als [mm]1-b[/mm] schreiben mit [mm]0
Dann gilt
[mm]1+(1-a)\geq 4(1-a)[/mm]
[mm]\gdw 2-a\geq 4-4a[/mm]
[mm]\gdw 3a\geq 2[/mm]
[mm]\gdw a\geq \frac{2}{3}[/mm]
D.h., dass
[mm]x,y,z\leq \frac{1}{3}[/mm]
ohne Berücksichtigung der Nebenbedigungen eine Lösung der Ungleichung darstellt.
Addieren wir diese drei Ungleichungen, so erhalten wir
[mm]x+y+z\leq \frac{1}{3}\cdot 3=1[/mm]
Durch Einsetzen der Nebenbedingung [mm]x+y+z=1[/mm] kommen wir zu dem Ergebnis
[mm]1\leq 1[/mm],
welches die ursprüngliche Ungleichung beweist.
Ich habe ein ungutes Gefühl bei diesem "Beweis" (wenn er denn korrekt ist), aber ich grübel und grübel und kriege nicht raus, wo hier mein Denkfehler liegt - wenn es denn einen gibt. Daher bitte ich, euch den gründlich durchzulesen, denn ich glaube, dass ich da irgendwo einen Fehler reingeschludert habe.
EDIT:
Man kann an die Sache auch wie folgt herangehen:
[mm](1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64[/mm]
[mm]\gdw \frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{xyz}\geq 4\cdot 4\cdot 4[/mm]
[mm]\gdw (1+x)(1+y)(1+z)\geq 4^3\cdot xyz[/mm]
[mm]\gdw \sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 4\cdot\sqrt[3]{xyz}[/mm]
Aus der Ungleichung zwischen des arithmetischen und dem geometrischen Mittels folgt
[mm]\gdw \sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 4\ \frac{x+y+z}{3}[/mm]
Aus [mm]x+y+z=1[/mm] folgt nun wiederum
[mm]\gdw \sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq \frac{4}{3}[/mm]
[mm]\gdw (1+x)(1+y)(1+z)\geq \frac{4^3}{3^3}[/mm]
Daraus leiten sich jetzt die Beziehungen
[mm]x,y,z\geq \frac{1}{3}[/mm] her, woraus nach Addition (s.o.) die Behauptung folgt.
Aber auch hier habe ich ein mulmiges Gefühl :-/
Gruß,
Hanno
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Hi,
ich denke, dass du bei a = x ,y oder z zwei Variablen einfach weglässt....
Mir ist noch nicht wirklich klar, ob und wie du zwei der drei Variable einfach vernachlässigen kannst..!?
sollte es allerdings alles Stimmen, so hast du meiner Meinung nach ebenfalls einen Sonderfall gezeigt, nämlich x=y=z= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] !?
Schau mal, ob du damit etwas anfangen kannst !
MfG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Do 19.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Nein, das mit dem x y oder z passt schon. Es folgt aus der Symmetrie.
Hm, der Beweis ist falsch, das ist schon zu 90% klar, doch ich kann es irgendwie noch nicht formulieren warum :-(
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 19.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> [mm]\gdw (1+x)(1+y)(1+z)\geq 4x\cdot 4y\cdot 4z[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei [mm]a[/mm] entweder [mm]x,y[/mm] oder [mm]z[/mm] (dies spielt aus Symmetriegründen
> keine Rolle)
> Dann prüfen wir die Behauptung
> [mm]1+a\geq 4a[/mm]
> Da [mm]a<1[/mm] können wir [mm]a[/mm] auch als [mm]1-b[/mm] schreiben
> mit [mm]0
> Dann gilt
> [mm]1+(1-a)\geq 4(1-a)[/mm]
> [mm]\gdw 2-a\geq 4-4a[/mm]
> [mm]\gdw 3a\geq 2[/mm]
>
> [mm]\gdw a\geq \frac{2}{3}[/mm]
>
> D.h., dass
> [mm]x,y,z\leq \frac{1}{3}[/mm]
> ohne Berücksichtigung der
> Nebenbedigungen eine Lösung der Ungleichung darstellt.
Hier --bzw. weiter oben-- ist der Denkfehler.
Und zwar kannst du nicht durch einfachen Vergleich der Faktoren links und rechts der Ungleichung [mm](1+x)(1+y)(1+z)\geq 4x\cdot 4y\cdot 4z[/mm] schließen, dass
[mm] $(1+x)(1+y)(1+z)\geq 4x\cdot 4y\cdot [/mm] 4z$
[mm] $\gdw$ $1+x\ge [/mm] 4x$ und [mm] $1+y\ge [/mm] 4y$ und [mm] $1+z\ge [/mm] 4z$
Und diesen Schluß hast du doch genau gemacht, wenn ich es richtig verstanden habe, oder?
Dann wäre ja auch [mm] $x*y*z\ge [/mm] 1*1*1\ [mm] \gdw\ x,y,z\ge1$, [/mm] aber x=1/2, y=2, z=1 ist doch auch eine Lösung.
Viele Grüße,
Mar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Do 19.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Marc.
So meinte ich es fast. Ich dachte mir: Wenn du zeigen kannst, dass [mm](1+\frac{1}{x})\geq 4x[/mm], dann ist das Problem gelöst, da du dann drei ungleichungen multiplizieren kannst.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 20.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich habe mir jetzt mal eine Lösung überlegt, die ich allerdings vom "Eleganzheitsgrad" als bestenfalls "mittelmäßig" bezeichnen würde. (Aber ich sehe leider nicht direkt eine bessere Lösung.)
Es gilt:
[mm] $\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{y} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{z} \right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{xyz + yz + xz + xy + x + y + z + 1}{xyz}$
[/mm]
$= 1 + [mm] \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{y} [/mm] + [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{2}{xyz}$
[/mm]
(im Folgenden wird die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem harmonischen Mittel benutzt)
[mm] $\ge [/mm] 1 + [mm] \frac{9}{x+y+z} [/mm] + [mm] \frac{2}{xyz}$
[/mm]
$= 10 + [mm] \frac{2}{xyz}$
[/mm]
(im Folgenden wird die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel benutzt)
[mm] $\ge [/mm] 10 + [mm] \frac{2}{\left(\frac{1}{3} (x + y + z)\right)^3}$
[/mm]
$= 10 + [mm] \frac{2}{ \left( \frac{1}{3} \right)^3}$
[/mm]
$= 10 + 2 [mm] \cdot [/mm] 27$
$= 64$.
Naja, sagen wir zu dieser jämmerlichen Lösung folgendes: Sie klappt. Mehr nicht. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Fr 20.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Stefan!
könntest Du für die Laien unter uns vielleicht die Ungleichung zwischen arithmetischem und harmonischem Mittel aufschreiben?
Zumindest mir ist sie nicht geläufig.
Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel war (soweit ich mich richtig entsinne)
[mm] $\wurzel[n]{\produkt_{i = 1}^n a_i} \le [/mm] 1/n * [mm] \summe{i = 1}^n a_i$
[/mm]
/e
links muss natürlich ein Produktzeichen stehen, ich sollte nichts texen, wenn ich müde bin ^^;
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Es gilt folgendes:
[mm]\frac{\summe_{i=1}^{n}{a_i}}{n}\geq\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}{a_i}}\geq \frac{n}{\summe_{i=1}^{n}{\frac{1}{a_i}}}[/mm]
1: Arithmetisches Mittel
2: Geometrisches Mittel
3: Harmonisches Mittel
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan!
Schöne Lösung, ich find' sie sogar sehr elegant - du anscheinend nicht :-O
Da sieht man mal, was man mit den Ungleichungen der Mittelwerte so anfangen kann.
Gruß,
Hanno
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
