Ungleichung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Di 23.01.2007 | | Autor: | megahead |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichung:
[mm] \bruch{1}{x-2}<\bruch{2}{5-x}
[/mm]
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Ich habe bis jetzt folgende Fälle erstellt:
I) x-2 < 0 ^ 5-x < 0 II) x-2 > 0 ^ 5-x > 0
x < 2 ^ x > 5 x > 2 ^ x > 5
[mm] \emptyset [/mm] 2 < x < 5
III) x-2 < 0 ^ 5-x > 0 IV) x-2 > 0 ^ 5-x < 0
x < 2 ^ x < 5 x > 2 ^ x > 5
x < 2 x > 5
So weit bin ich jetzt gekommen. Wie muss ich weiter machen damit ich die Lösungsmenge bekomme. Ich weiss einfach nicht wie genau ich weiter machen soll.
Es wär echt super wenn mir das einer erklären könnte.
mFG
megahead
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:18 Di 23.01.2007 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo.
Also allg gilt
a>b [mm] \Rightarrow a^{-1}
also bilde den Kehrwert (def: [mm] x\not=2 [/mm] und [mm] x\not=5 [/mm] ,da du sonst durch Null dividieren müsstest) und drehe das Vorzeichen
x-2 < [mm] \br{5-x}{2} [/mm] = 2,5 - 0,5 x
2x-4<5-x
3x<9
x<3 und [mm] x\not= [/mm] 2
Tschüß und eine schöne Woche wünscht Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 23.01.2007 | | Autor: | megahead |
Hi und danke erstmal für die schnelle Antwort.
Also, das kann nach vollziehen:
x<3 und [mm] x\not= [/mm] 2 .
Aber wenn ich z.B. für x= 4 einsetze stimmt die ungleichung ja auch?!
Das wäre dann ja [mm] \bruch{1}{4-2} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5-4}.
[/mm]
Dies habe ich aber nur durch ausprobieren hinbekommen.
Wie komm ich da rechnerrisch drauf?
mFG
megahead
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:56 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide
> Hallo.
>
> Also allg gilt
>
> a>b [mm]\Rightarrow a^{-1}
Ist so allgemein falsch!
Gegenbeispiel: 1>-1
richtig, falls a>0 und b>0 oder a<0 und b<0.
> also bilde den Kehrwert (def: [mm]x\not=2[/mm] und [mm]x\not=5[/mm] ,da du
> sonst durch Null dividieren müsstest) und drehe das
> Vorzeichen
>
> x-2 < [mm]\br{5-x}{2}[/mm] = 2,5 - 0,5 x
>
> 2x-4<5-x
>
> 3x<9
>
> x<3 und [mm]x\not=[/mm] 2
Damit ist das Ergebnis nur fuer einen Teil der Faelle richtig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Fallunterscheidungen sind richtig und wichtig.
> Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichung:
>
> [mm]\bruch{1}{x-2}<\bruch{2}{5-x}[/mm]
>
> Ich habe bis jetzt folgende Fälle erstellt:
>
> I) x-2 < 0 ^ 5-x < 0 II) x-2 > 0 ^ 5-x > 0
> x < 2 ^ x > 5 x > 2 ^ x > 5
> [mm]\emptyset[/mm] 2 < x < 5
>
> III) x-2 < 0 ^ 5-x > 0 IV) x-2 > 0 ^ 5-x < 0
> x < 2 ^ x < 5 x > 2 ^ x > 5
> x < 2 x > 5
>
> So weit bin ich jetzt gekommen. Wie muss ich weiter machen
> damit ich die Lösungsmenge bekomme. Ich weiss einfach nicht
> wie genau ich weiter machen soll.
Jetzt die Regel: wenn man eine Ungl. mit einer neg Zahl mult. dreht sich das Zeichen um: aus a<b folgt -3a>-3b
Mit einer pos Zahl mult: Zeichen bleibt: a<b folgt 3a<3b
Im Fall II also Ungl mit x-2 und 5-x multipl. dann loesen
also 5-x < 2x-4 oder 9<3x 3<x und wegen II x<5 also 3<x<5
dann III, wieder mit x-2 und 5-x multipl. aber wegen x-2<0 jetzt :
5-x>2x-4 , also 3>x Und 2<x also 2<x<3.
entsprechend IV.
Gruss leduart
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