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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:07 Di 22.05.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | zu zeigen für 0 [mm] \le \alpha \le [/mm] 1
[mm] (1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha [/mm] x |
Für [mm] \alpha [/mm] =0 ist die Ungleichung klar.
ich habe es mit vollständiger induktion versucht mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{\beta} [/mm] und [mm] \beta \ge [/mm] 1
dann habe ich für [mm] \beta [/mm] = 1: 1+x [mm] \le [/mm] 1+x
für [mm] \beta \in \IN: (1+x)^{\bruch{1}{\beta}} \le 1+\bruch{1}{\beta} [/mm] x
und für [mm] \beta+1: (1+x)^{\bruch{1}{\beta+1}}= \wurzel{(1+x)^{\bruch{1}{\beta}}} \le \wurzel{1+\bruch{1}{\beta} x}
[/mm]
und wie weiter??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu zeigen für 0 [mm]\le \alpha \le[/mm] 1
> [mm](1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha[/mm] x
> Für [mm]\alpha[/mm] =0 ist die Ungleichung klar.
> ich habe es mit vollständiger induktion versucht mit
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{\beta}[/mm] und [mm]\beta \ge[/mm] 1
Das ist Unsinn. Nur weil [mm] \beta \ge [/mm] 1 ist, muß [mm] \beta [/mm] noch lange nicht eine natürliche Zahl sein.
> dann habe ich für [mm]\beta[/mm] = 1: 1+x [mm]\le[/mm] 1+x
> für [mm]\beta \in \IN: (1+x)^{\bruch{1}{\beta}} \le 1+\bruch{1}{\beta}[/mm]
> x
> und für [mm]\beta+1: (1+x)^{\bruch{1}{\beta+1}}= \wurzel{(1+x)^{\bruch{1}{\beta}}} \le \wurzel{1+\bruch{1}{\beta} x}[/mm]
>
> und wie weiter??
Bevor ich mich weiter mit der Aufgabe beschäftige, erzähle mal für welche x die Ungleichung bewiesen werden soll.
Ich vemute für x [mm] \ge [/mm] -1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Di 22.05.2012 | | Autor: | eps |
entschuldigung, für -1 <x [mm] \not= [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 23.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo
> zu zeigen für 0 [mm]\le \alpha \le[/mm] 1
> [mm](1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha[/mm] x
> Für [mm]\alpha[/mm] =0 ist die Ungleichung klar.
> ich habe es mit vollständiger induktion versucht mit
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{\beta}[/mm] und [mm]\beta \ge[/mm] 1
> dann habe ich für [mm]\beta[/mm] = 1: 1+x [mm]\le[/mm] 1+x
> für [mm]\beta \in \IN: (1+x)^{\bruch{1}{\beta}} \le 1+\bruch{1}{\beta}[/mm]
> x
> und für [mm]\beta+1: (1+x)^{\bruch{1}{\beta+1}}= \wurzel{(1+x)^{\bruch{1}{\beta}}} \le \wurzel{1+\bruch{1}{\beta} x}[/mm]
>
> und wie weiter??
Ich würde [mm]f_\alpha(x):=1+\alpha*x-(1+x)^\alpha[/mm] für [mm]0\le{\alpha}\le{1}[/mm] definieren und versuchen zu zeigen, dass [mm]f_\alpha(x)\ge{0}[/mm] für [mm]x \ > \ -1[/mm].
Evtl. mal die Monotonie von f betrachten!?
Ob das zum Ziel führt, weiß ich nicht, weil ich es nicht durchgerechnet habe. Das ist aber die einzige Möglichkeit, die mir spontan in den Sinn kommt.
Gruß
barsch
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