Ungleichung - Induktionsbeweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich (Wirtschafts-Mathematik-Student im 1. Semester) habe vor kurzem das zweite Übungsaufgabenblatt in Analysis erhalten. Zusammen mit einigen Kommilitonen konnten wir so ziemlich alles bis auf eine Teilaufgabe lösen.
Die Aufgabe:
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] n^{m + 1} [/mm] + (m + 1) * [mm] n^{m} \le [/mm] (n + [mm] 1)^{m + 1}.
[/mm]
Unser Lösungsansatz sah folgendermaßen aus:
Wir haben die Induktionsverankerung für (m,1) und (1,n) gesetzt und gezeigt, dass die Ungleichung für diese Werte stimmt. Ferner konnten wir zeigen, dass die Ungleichung auch für (m+1,n) erfüllt wird. Allerdings haben wir keine Lösung für (m,n+1) gefunden, so dass die Induktion abgeschlossen wäre.
Über tatkräftige Unterstützung in Form von Gedankenanstößen oder alternativen Lösungswegen würde ich mich sehr freuen!
MfG Jan
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> Die Aufgabe:
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> Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Für alle m,n
> [mm]\in \IN[/mm] gilt:
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> [mm]n^{m + 1}[/mm] + (m + 1) * [mm]n^{m} \le[/mm] (n + [mm]1)^{m + 1}.[/mm]
Hallo,
laß mich die Aufgabe mal ein bißchen umformulieren:
Sei a [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeige: Für alle m [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm]a^{m + 1}[/mm] + (m + 1) * [mm]a^{m} \le[/mm] (a + [mm]1)^{m + 1}.[/mm]
Ich bin mir fast sicher, daß Du es jetzt lösen kannst. Das a "bewegt" sich nicht. Es ist beliebig, aber fest. Du kannst es behandeln, als stünde da stattdessen 3.
Ein kleiner Tip noch - ich hab's eben gerechnet: es geht leichter, wenn Du die Gleichung umdrehst, also im Induktionsschluß mit (a [mm] +]1)^{m + 2} [/mm] startest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Fr 04.11.2005 | | Autor: | topspin85 |
Vielen Dank! Dieser Lösungsansatz hat mich auf die richtige Spur gebracht. Natürlich ist es logisch anzunehmen, dass a (bzw. n) in [mm] \IN [/mm] liegt und somit veränderlich, aber in der Ungleichung konstant ist, nur man muss halt darauf kommen.
Nach dem Induktionsschluss von [mm] (n+1)^{m+1+1} [/mm] ausgehend erhalte ich schließlich:
[mm] n^{m+2} [/mm] + (m+2) * [mm] n^{m+1} [/mm] + [mm] n^{m}
[/mm]
Und dieser Ausdruck ist offensichtlich größer als die linke Seite der Ungleichung für m+1:
[mm] n^{m+2} [/mm] + (m+2) * [mm] n^{m+1} \le n^{m+2} [/mm] + (m+2) * [mm] n^{m+1} [/mm] + [mm] n^{m}
[/mm]
0 [mm] \le n^{m}
[/mm]
Nochmals danke 
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