Ungleichung Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mo 16.02.2009 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | | Man zeige, daß gilt: [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für n > [mm] n_{0} [/mm] |
Mit welcher Methode kann ich diese Aufgabenstellung lösen und was bedeutet für "n > [mm] n_{0}" [/mm] ?
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Hallo fecit!
Diese Art Ungleichung löst bzw. beweist man mit dem Verfahren der vollständigen Induktion.
" $n \ > \ [mm] n_0$ [/mm] " bedeutet, dass die o.g. Gleichung für alle $n_$ größer einem festen [mm] $n_0$ [/mm] . Schließlich gilt diese Ungleichung nicht für $n \ = \ 1$ oder $n \ = \ 2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 16.02.2009 | | Autor: | fecit |
Danke! würde das dann so aussehen?
[mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2}
[/mm]
Induktionsschritt (n+1)
[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
[mm] 2^{n} [/mm] * 2 > [mm] n^{2} [/mm] + 2*n +1 // [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] * [mm] 2^{1}
[/mm]
// darf ich im nächsten schritt [mm] 2^{n} [/mm] durch [mm] n^{2} [/mm] ersetzten?
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Hallo fecit !!
Zunächst musst du die Behauptung, wie roadrunner gesagt hat, für ein festes [mm] $n>n_0$ [/mm] beweisen. Das heisst, Du musst alle Zahlen von 1 bis $n$ überprüfen. (Vermutung: [mm] $n_0=2$, [/mm] in dem Falle musst du die Behauptung für $n=3$ rechnerisch überprüfen)
Nehmen wir also an wir haben unser $n$ gefunden.
Dann wissen wir, dass für ein festes $n$ gilt: [mm] $2^n>n^2$ [/mm] (das ist unsere Induktionsvoraussetzung IV)
Nun der Induktionsschluss: [mm] $n\mapsto [/mm] n+1$
[mm] $2^{n+1}=2^n\cdot 2\overset{\text{nach IV}}{>}n^2\cdot 2=n^2+n^2>.....................=(n+1)^2$
[/mm]
Dort wo "........" steht hast du irgendwie zu zeigen, dass [mm] $n^2>?$
[/mm]
Hinweis: Nicht vergessen, dass der Startwert [mm] $n>n_0$ [/mm] war !
Gruß Mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Mo 16.02.2009 | | Autor: | fecit |
Induktionsanfang n=5
[mm] 2^{n} [/mm] <2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024>
[mm] n^{2} [/mm] <1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100>
[mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] | [mm] \forall [/mm] n N n [mm] \ge5 [/mm] ... n=5 32>25
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1
Induktionsvoraussetzung [mm] n^{2} [/mm] < [mm] 2^{n}
[/mm]
zz: [mm] (n+1)^{2} [/mm] < [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Beweis: folgt
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> Induktionsanfang n=5
>
> [mm]2^{n}[/mm] <2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024>
> [mm]n^{2}[/mm] <1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100>
Hallo,
Du siehst, daß die Aussage für n=2,3,4 nicht gilt.
Die Vermutung ist, daß sie außer für n=1, was Du schon vorgerechnet hast, ab n=5 gilt, und dies ist nun durch Induktion zu beweisen.
Also:
Behauptung: es ist [mm] 2^n>n^2 [/mm] für alle n mit [mm] n\ge [/mm] 5.
Beweis durch Induktion:
> Induktionsanfangn=5
Der käme an dieser Stelle.
> [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] | [mm]\forall[/mm] n N n [mm]\ge5[/mm] ... n=5 32>25
Achso. das ist wohl stark verkürzt das, was ich eben geschrieben habe. (Spart es wirklich so viel Zeit?)
Induktionsvoraussetzung: es ist [mm] 2^n>n^2 [/mm] für ein n mit [mm] n\ge [/mm] 5
> Induktionsschritt n [mm]\to[/mm] n+1
> zz: [mm](n+1)^{2}[/mm] < [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> Beweis: folgt
Wir sind gespannt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 20.02.2009 | | Autor: | fecit |
[mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] // *2
[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm]
A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
Suche [mm] 2*n^{2} [/mm] > ?
[mm] 2^{n+1} [/mm] - <64,128,256,512,1024,2048> [mm] n_{1}=5 [/mm] ...
[mm] 2*n^{2} [/mm] - <50,72,98,128,162,200>
[mm] (n+1)^{2} [/mm] - <36,49,64,81,100,121>
zz. [mm] 2*n^{2} [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] //ausquadrieren
[mm] 2*n^{2} [/mm] > [mm] n^{2}+2*n+1 [/mm] // - [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] n^{2}-2n-1 [/mm] > 0 // +2 um [mm] (n-1)^2 [/mm] zu erzeugen
[mm] n^{2}-2n+1 [/mm] > 2
[mm] (n-1)^{2} [/mm] > 2
[mm] 2*n^{2} [/mm] > [mm] (n+1)^{2} [/mm]
Ist das Korrekt?
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Hallo fecit,
> [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm]
Jo, das ist die Induktionsvoraussetzung!
> // *2
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm]
> A(n) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1)
> Suche [mm]2*n^{2}[/mm] > ?
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] - <64,128,256,512,1024,2048> [mm]n_{1}=5[/mm] ...
> [mm]2*n^{2}[/mm] - <50,72,98,128,162,200>
> [mm](n+1)^{2}[/mm] - <36,49,64,81,100,121>
Ist das Heuristik? Um dir ein Bild zu machen?!
>
> zz. [mm]2*n^{2}[/mm] > [mm](n+1)^2 [/mm]
genau das ist zu zeigen
> //ausquadrieren
> [mm]2*n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}+2*n+1[/mm] // - [mm](n+1)^2[/mm]
> [mm]n^{2}-2n-1[/mm] > 0 // +2 um
> [mm](n-1)^2[/mm] zu erzeugen
> [mm]n^{2}-2n+1[/mm] > 2
> [mm](n-1)^{2}[/mm] > 2
Ja, denn für [mm] $n\ge [/mm] 5$ ist die linke Seite ja [mm] $\ge (5-1)^2=4^2=16$, [/mm] also insbesondere $>2$
>
> [mm]2*n^{2}[/mm] > [mm](n+1)^{2}[/mm]
>
> Ist das Korrekt?
Ja, das stimmt soweit, ist aber sehr kraus aufgeschrieben, du solltest unbedingt Äquivalenzpfeile machen bei den obigen Umformungen!
Vor allem auch, damit deutlich dasteht, dass du gezeigt hast, dass [mm] $2^{n+1}>(n+1)^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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> [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] // *2
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm]
> A(n) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1)
> Suche [mm]2*n^{2}[/mm] > ?
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] - <64,128,256,512,1024,2048> [mm]n_{1}=5[/mm] ...
> [mm]2*n^{2}[/mm] - <50,72,98,128,162,200>
> [mm](n+1)^{2}[/mm] - <36,49,64,81,100,121>
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> zz. [mm]2*n^{2}[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] //ausquadrieren
> [mm]2*n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}+2*n+1[/mm] // - [mm](n+1)^2[/mm]
> [mm]n^{2}-2n-1[/mm] > 0 // +2 um
> [mm](n-1)^2[/mm] zu erzeugen
> [mm]n^{2}-2n+1[/mm] > 2
> [mm](n-1)^{2}[/mm] > 2
>
> [mm]2*n^{2}[/mm] > [mm](n+1)^{2}[/mm]
>
> Ist das Korrekt?
Hallo,
als Ideenzettel bzw. Schmierzettel mit Nebenrechnungen ist das in Ordnung, auch wenn Du für Außenstehende ein paar Worte hättest spendieren können.
Ein Induktionsbeweis ist das so nicht, weil er nicht als solcher zu erkennen ist. Falls Du also nicht nur so ein bißchen vor Dich hinrechnest, sondern für eine Klausur übst o.ä., dann solltest Du jetzt versuchen, den Induktionsbeweis als solchen deutlich erkennbar aufzuschreiben.
Gruß v. Angela
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