Ungleichung, konvexe Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 30.04.2011 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | f:[a,b]->R gegeben. Diese ist differenzierbar und es ist f' monoton wachsend. Zu zeigen:
[mm] f(\bruch{a+b}{2}) \le \bruch{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)\, [/mm] dt [mm] \le \bruch{f(a)+ f(b)}{2} [/mm] |
Hi
ich habe mit der oben gestellten Aufgabe ein kleines Problem, und hoffe dass ihr mir helfen könnt.
Mein Gedankengang bisher:
Es ist f differenzierbar und f' monoton wachsend. Somit handelt es sich um eine konvexe Funktion. Demnach gilt f(t*a + (1-t)*b) [mm] \le [/mm] t*f(a) + (1-t)*f(b).
Speziell für t=1/2 ergibt sich somit ein Teil der Ungleichung.
Wegen der Differenzierbarkeit ist f stetig, so dass der Mittelwertsatz angewandt werden kann: [mm] \int_{a}^{b} f(t)\, [/mm] dt = f(s)(b-a) für ein s € [a,b].
--> [mm] f(\bruch{a+b}{2}) \le [/mm] f(s) [mm] \le \bruch{f(a)+ f(b)}{2} [/mm] für ein s € [a,b].
Angenommen es ist [mm] s=\bruch{a+b}{2} [/mm] wäre bereits alles gezeigt. Also sei s [mm] \ne \bruch{a+b}{2}.
[/mm]
So hier weiß ich nicht mehr weiter. Da [a,b] kompakt ist, habe ich versucht zu argumentieren, dass f sein Supremum an einen der Endpunkte annimmt, jedoch bin ich so nicht weitergekommen. Weiterhin habe ich auch etwas mit dem arithmetischen Mittel rumprobiert, aber auch hierbei kein Erfolg. Kann mir vielleicht einen kleinen Denkanstoß geben? Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 So 01.05.2011 | | Autor: | snikch |
Moin
kann mir jemand bei dieser Aufgabe einen kleinen Hinweis geben?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 So 01.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast zwei Ungleichungen zu zeigen:
(I) [mm] \bruch{1}{b-a} \int_{a}^{b} [/mm] f(t) [mm] \le \bruch{f(a)+ f(b)}{2} [/mm] und
(II) [mm] f(\bruch{a+b}{2}) \le \bruch{1}{b-a} \int_{a}^{b} [/mm] f(t)
Fangen wir mal mit (I) an:
Da die Funktion konvex ist, liegt der Graph der Funktion immer unterhalb der Geraden die durch die Punkte (a,f(a)) und (b,f(b)) geht.
Das Integral über diese Gerade ist aber gerade der Flächeninhalt eines Trapez, also [mm] \bruch{f(a)+f(b)}{2}*(b-a). [/mm] Damit ist die erste Ungleichung bewiesen.
Zu (II)
Ich setzte mal voraus das die Funktion zweimal differenzierbar ist, wenn nicht müssen wir später noch einen andeen Weg suchen.
Entwicklung der Funktion f(t) in ein Taylorpolynom zweiten Gerades im Punkt [mm] t_0=\bruch{a+b}{2} [/mm] und Berücksichtigung das [mm] f''\ge [/mm] 0 und [mm] ((t-t_0)^2\ge [/mm] 0 ist ergibt die zweite Abschätzung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 01.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich verwende die Nummerierung von ullim. Zu (II):
Hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Jensensche_Ungleichung
findest Du folgendes:
Die stetige Variante der Jensenschen Ungleichung für eine im Bild von y: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] konvexe Funktion [mm] f\; [/mm] lautet
$ [mm] f\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b y(x) \, dx\right) \le \frac1{b-a}\int_a^b f\left(y(x)\right)\, [/mm] dx. $
Nimm mal y(x)=x
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 01.05.2011 | | Autor: | snikch |
Hallo
erstmal danke ihr zwei!
Das Taylorpolynom haben wir nocht nicht in der Vorlesung behandelt, fällt also weg.
Die Ungleichung [mm] f\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b y(x) \, dx\right) \le \frac1{b-a}\int_a^b f\left(y(x)\right)\, [/mm] dx die du Vorgeschlagen hast fred, will ich so nicht direkt übernehmen. Ich hab mir das deswegen etwas hergeleitet, läuft aber im Prinzip auf das Gleiche hinaus.
Es ist ja im Prinzip [mm] \frac1{b-a}\int_a^b f\left(x)\right\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{b-a} \summe_{k=1}^{n} [/mm] f(x)*h mit [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm] Somit also [mm] \bruch{\summe_{k=1}^{n} f(x)}{n}.
[/mm]
Nun wende ich die Ungleichung von Jensen an und erhalte: [mm] \bruch{\summe_{k=1}^{n} f(x)}{n} \ge f(\bruch{\summe_{k=1}^{n} x}{n}) [/mm] was ja [mm] f(\bruch {1}{b-a}\int_{a}^{b} x\, [/mm] dx) entspricht. Es ist [mm] f(\bruch {1}{b-a}\int_{a}^{b} x\, [/mm] dx) = [mm] f(\bruch{a+b}{2}), [/mm] da der Mittelwert eben gerade [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] entspricht.
Damit ist dann alles gezeigt. Was meint ihr?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 So 01.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
habt Ihr denn die Jensensche Ungleichung schon bewiesen und dürft sie anwenden, oder musst Du sie noch beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 01.05.2011 | | Autor: | snikch |
Hallo
ja die jensensche Ungleichung haben wir bereits bewiesen. Nur wollte ich nicht [mm] f\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b y(x) \, dx\right) \le \frac1{b-a}\int_a^b f\left(y(x)\right)\, [/mm] dx übernehmen ohne irgendwas dazu zu schreiben.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine Idee mit Zwischensummen zu arbeiten ist gut, aber sehr schlampig umgesetzt !
[mm] x_1, ...,x_n [/mm] sei also äquidistante Zerlegung von [a,b]
Dann:
[mm] f(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_i) \le \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}f(x_i)
[/mm]
Für n [mm] \to \infty [/mm] strebt die linke Seite gegen
[mm] f(\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{x dx})= f(\bruch{a+b}{2})
[/mm]
und die rechte Seite strebt gegen
[mm] \bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
FRED
|
|
|
|
