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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 03.11.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | | Menge aller x [mm] \in \IR [/mm] von [mm] 15x^{2} \le [/mm] 7x +2 bestimmen. |
Habe eine Frage zu der Rangehensweise der Aufgabe.
Die gegebene Gleichung habe ich umgestellt:
[mm] 15x^{2}-7x [/mm] -2 [mm] \le [/mm] 0
[mm] x^{2}-\bruch{7}{15}x -\bruch{2}{15} \le [/mm] 0
Dann habe ich die Nullstellen bestimmt:
x1= 2/3
x2= -1/5
Die Gleichung habe ich nun als Produkt der Linearfaktoren hingeschrieben.
(x - [mm] \bruch{2}{2})(x [/mm] + [mm] \bruch{1}{5})\le [/mm] 0
Wie mache ich nun weiter?
Ich muss doch ein zwei x-Werte bekommen, für die die Funktion [mm] \le [/mm] 0 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Disap |
> Menge aller x [mm]\in \IR[/mm] von [mm]15x^{2} \le[/mm] 7x +2 bestimmen.
> Habe eine Frage zu der Rangehensweise der Aufgabe.
> Die gegebene Gleichung habe ich umgestellt:
>
> [mm]15x^{2}-7x[/mm] -2 [mm]\le[/mm] 0
>
> [mm]x^{2}-\bruch{7}{15}x -\bruch{2}{15} \le[/mm] 0
>
> Dann habe ich die Nullstellen bestimmt:
> x1= 2/3
> x2= -1/5
>
> Die Gleichung habe ich nun als Produkt der Linearfaktoren
> hingeschrieben.
>
> (x - [mm]\bruch{2}{2})(x[/mm] + [mm]\bruch{1}{5})\le[/mm] 0
hier natürlich ein Tippfehler...
> Wie mache ich nun weiter?
> Ich muss doch ein zwei x-Werte bekommen, für die die
> Funktion [mm]\le[/mm] 0 ist.
Alles richtig.
Und jetzt überlegt mal, wo $f(x) = [mm] 15x^2-7x-2$ [/mm] Werte kleiner gleich Null annimmt. Es ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist. Wo liegt f(x) dann unterhalb der x-Achse?
Die gesuchte Lösung ist
$-1/5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2/3$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 03.11.2010 | | Autor: | zoj |
Danke erstmal.
Frage: Wie kann ich es rechnerisch lösen?
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Hallo zoj,
wenn ich das richtig sehe, kannst du oben faktorisieren:
[mm] $15x^2-7x-2\le [/mm] 0$
[mm] $\gdw (3x-2)\cdot{}(5x+1)\le [/mm] 0$
Wann ist ein Produkt aus 2 Faktoren [mm] $\le [/mm] 0$?
Wenn einer der Faktoren [mm] $\ge [/mm] 0$ und der andere [mm] $\le [/mm] 0$ ist und umgekehrt.
Untersuche hier die Fälle:
1) [mm] $3x-2\ge [/mm] 0$ und [mm] $5x+1\le [/mm] 0$
2) [mm] $3x-2\le [/mm] 0$ und [mm] $5x+1\ge [/mm] 0$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 03.11.2010 | | Autor: | zoj |
ok,
1 Fall:
x - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] >= 0 [mm] \wedge [/mm] x + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] <= 0
x >= [mm] -\bruch{2}{3} \wedge [/mm] x <= [mm] -\bruch{1}{5}
[/mm]
2 Fall:
x - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] <= 0 [mm] \wedge [/mm] x + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] >= 0
x <= - [mm] \bruch{2}{3} \wedge [/mm] x >= [mm] -\bruch{1}{5}
[/mm]
Jetzt habe ich 4 Möglichkeiten mein x zu bestimmen.
Es muss ja lauten Zahl1 <= x <= Zahl2
Aber wie bestimme ich jetzt Zahl1 und Zahl2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok,
>
> 1 Fall:
> x - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] >= 0 [mm]\wedge[/mm] x + [mm]\bruch{1}{5}[/mm] <= 0
> x >= [mm]-\bruch{2}{3} \wedge[/mm] x <= [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
>
> 2 Fall:
> x - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] <= 0 [mm]\wedge[/mm] x + [mm]\bruch{1}{5}[/mm] >= 0
> x <= - [mm]\bruch{2}{3} \wedge[/mm] x >= [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
Kann denn das eintreten ??? Nein ! Mach Dir das auf der Zahlengerade klar.
>
> Jetzt habe ich 4 Möglichkeiten mein x zu bestimmen.
>
> Es muss ja lauten Zahl1 <= x <= Zahl2
> Aber wie bestimme ich jetzt Zahl1 und Zahl2?
>
>
[mm] Zahl_1 [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] Zahl_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5}
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:28 Mi 03.11.2010 | | Autor: | zoj |
Zahlenstrahl zu Fall 1:
x >= $ [mm] \bruch{2}{3} \wedge [/mm] $ x <= $ [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] $
<---------(-1/5] [2/3)------------>
<_____________________________>
=> Die beiden Mengen überschneiden sich nicht!
Zahlenstrahl zu Fall 2:
x <= $ [mm] \bruch{2}{3} \wedge [/mm] $ x >= $ [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] $
[-1/5)-------------(2/3]
<_____________________________>
=> Die beiden Mengen überschneiden sich!
Aber wie interpretiere ich das nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Disap |
> Zahlenstrahl zu Fall 1:
>
> x >= [mm]\bruch{2}{3} \wedge[/mm] x <= [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
>
> <---------(-1/5] [2/3)------------>
> <_____________________________>
>
> => Die beiden Mengen überschneiden sich nicht!
War das echt so gedacht? Ist nämlich falsch
x >= [mm] $\bruch{2}{3} \wedge$ [/mm] x <= [mm] $-\bruch{1}{5}$
[/mm]
| 1: |
| | 2: | <---------(-1/5]-------[2/3)------------>
| | 3: |
| | 4: | _______________ __________________
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Und weil x nicht gleichzeitig kleiner als -1/5 und größer als 2/3 sein kann, ist das hier keine Lösung
> Zahlenstrahl zu Fall 2:
>
> x <= [mm]\bruch{2}{3} \wedge[/mm] x >= [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
>
> [-1/5)-------------(2/3]
> <_____________________________>
>
> => Die beiden Mengen überschneiden sich!
Genau deswegen ist das hier auch die Lösung.
Das 'x' ist ja im Prinzip eine reelle Zahl. Betonung liegt auf eine.
Sagen wir mal x = 0.1
Ist x dann kleiner als 2/3? Ja!
Ist x größer als -1/5? Ja!
Hier gibt es also Lösungen, sodass x > -1/5 UND GLEICHZEITIG MUSS GELTEN x < 2/3
Das geht oben so leider nicht.
Da hatten wir
x >= [mm] $\bruch{2}{3} \wedge$ [/mm] x <= [mm] $-\bruch{1}{5}$
[/mm]
also zum Beispiel x = 1.
Dann gilt
x größer als 2/3? JA
x kleiner als -1/5? NEIN
Und wenn man jetzt JA sowie NEIN logisch mit UND verknüpft, ergibt das wieder NEIN, also kann diese Bedingung keine Lösung haben
> Aber wie interpretiere ich das nun?
Ich habs versucht, anschaulich zu erklären. Und auf kleiner gleich oder größer gleich habe ich jetzt nicht geachtet, sondern nur auf echt kleiner und echt größer, Prinzip bleibt aber gleich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 03.11.2010 | | Autor: | zoj |
Achso.
Die UND Verknüpfung muss halt erfült sein!
Das macht Sinn!
Ist ja wie in der Informatik :)
Und das ist ja nur bei Fall 2 so.
x <= $ [mm] \bruch{2}{3} \wedge [/mm] $ x >= $ [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] $
Demnach lautet die Lösung:
[mm] \IL=\{x\in\IR | -\bruch{1}{5}<=x<=\bruch{2}{3}\}
[/mm]
Ist das richtig so?
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Hallo nochmal,
> Achso.
>
> Die UND Verknüpfung muss halt erfült sein!
> Das macht Sinn!
> Ist ja wie in der Informatik :)
>
> Und das ist ja nur bei Fall 2 so.
> x <= [mm]\bruch{2}{3} \wedge[/mm] x >= [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Demnach lautet die Lösung:
> [mm]\IL[/mm] = [mm]{x\in\IR | -\bruch{1}{5}<=x<=\bruch{2}{3}}[/mm]
Mache die Mengenklammern mit einem Backslash!
Also \{ und \}
Dann werden sie auch angezeigt!
Nebenbei: \le bzw. \ge für [mm]\le[/mm] bzw. [mm]\ge[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ja
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 03.11.2010 | | Autor: | zoj |
Danke für die tolle Hilfe!!!
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