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Ich werde mich tierisch freuen, wenn mir jemad mit dieser Ungleichung weiter helfen kann.
1 /|2x+4| [mm] \le [/mm] 1 /|3x-6|
Diese Beispiel fand ich in einem Buch. Als Lösung ist (2/5;10] angegeben und erstaunlicherweise steht (nur x ungleich 2) . Ich vermute irgend etwas stimmt mit die Lösung nicht. Ich kenne aber den weg nicht.
Ich habe einiger Bücher nachgeschaut aber einen ähnlichen konnte ich noch nicht finden. Ich suche es noch weiter aber vielleicht hat jemand den Weg für die Lösung schon im Kopf.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/12180,0.html]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Di 21.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ciyoberti!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> Ich werde mich tierisch freuen, wenn mir jemad mit dieser
> Ungleichung weiter helfen kann.
>
> 1 /|2x+4| [mm]\le[/mm] 1 /|3x-6|
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> Diese Beispiel fand ich in einem Buch. Als Lösung ist
> (2/5;10] angegeben und erstaunlicherweise steht (nur x
> ungleich 2) . Ich vermute irgend etwas stimmt mit die
> Lösung nicht. Ich kenne aber den weg nicht.
Okay! Tatsächlich braucht man, sollte die Ungleichung so wie oben angegeben sein, zumindest zunächst $x [mm] \not=-2$ [/mm] und $x [mm] \not=2$. [/mm] Wenn allerdings als Lösungsmenge bei der Rechnung das Intervall [m]\left(\frac{2}{5};10\right][/m] herauskommt, so liegt ja die $-2$ nicht in diesem Intervall. Die exakte Lösungsmenge wäre also [m]\IL=\left(\frac{2}{5};10\right]\setminus\{-2;2\}=\left(\frac{2}{5};10\right]\setminus\{2\}[/m].
Ich rechne dir mal die Lösung vor, aber ähnliche Aufgaben versuchst du dann demnächst zunächst alleine, okay? Wenn du dann irgendwo nicht weiterkommst, dann postest du uns bitte hier im Forum deine Rechung bis zu der Stelle, wo es hapert. Wir helfen dir dann schon. 
Also: Zunächst bemerken wir $x [mm] \not=2$, [/mm] $x [mm] \not=-2$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\frac{1}{|2x+4|}\le \frac{1}{|3x-6|}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star)$ [/mm] $|3x-6| [mm] \le [/mm] |2x+4|$
1. Fall:
$3x-6 > 0$ (eigentlich $3x-6 [mm] \ge [/mm] 0$, aber da $x [mm] \not=2$ [/mm] kann $3x-6=0$ ja nicht gelten) und $2x+4 > 0$ (eigentlich $2x+4 [mm] \ge [/mm] 0$, aber da $x [mm] \not=-2$ [/mm] kann $2x+4=0$ ja nicht gelten). Das ist gleichbedeutend mit $x > 2$.
Dann gilt:
[mm] $(\star)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$3x-6 [mm] \le [/mm] 2x+4$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \le [/mm] 10$.
Das bedeutet, für $x > 2$ gilt [mm] $(\star)$ [/mm] und damit die ursprüngliche Ungleichung genau dann, wenn zusätzlich $x [mm] \le [/mm] 10$ gilt. Also gilt die ursprüngliche Ungleichung schonmal für alle $2 < x [mm] \le [/mm] 10$.
2. Fall:
$3x-6 > 0$ (eigentlich $3x-6 [mm] \ge [/mm] 0$, aber da $x [mm] \not=2$ [/mm] kann $3x-6=0$ ja nicht gelten) und $2x+4 < 0$. Das wäre gleichbedeutend mit [m]x > 2[/m] und $x<-2$. $x$ kann aber nicht gleichzeitig kleiner als $-2$ und größer als $2$ sein, also gibts den Fall gar nicht!
3. Fall:
$3x-6 < 0$ und $2x+4 > 0$ (eigentlich $2x+4 [mm] \ge [/mm] 0$, aber da $x [mm] \not=-2$ [/mm] kann $2x+4=0$ ja nicht gelten), also $-2 < x < 2$. Dann gilt
[mm] $(\star)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$-(3x-6) [mm] \le [/mm] 2x+4$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2 [mm] \le [/mm] 5x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \ge \frac{2}{5}$.
[/mm]
Für $-2 < x < 2$ gilt also [mm] $(\star)$ [/mm] (und damit auch die ursprüngliche Ungleichung) genau dann, wenn zusätzlich $x [mm] \ge \frac{2}{5}$ [/mm] gilt. Also gilt die ursprüngliche Ungleichung auch für alle [m]x \in \left[\frac{2}{5};\,2\right)[/m].
4. Fall:
$3x-6 < 0$ und $2x+4<0$. Das ist gleichbedeutend mit $x < 2$ und $x<-2$, also $x < -2$.
Dann gilt:
[mm] $(\star)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$-(3x-6)<-(2x+4)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x > 10$.
Es kann aber nicht gleichzeitig $x < -2$ und $x > 10$ gelten, also gibts auch diesen Fall nicht bzw. für $x<-2$ ist die Lösungsmenge von [mm] $(\star)$ [/mm] die Leeremenge!
Andere Fälle kommen aber für [mm] $(\star)$ [/mm] (und damit auch für die ursprüngliche Ungleichung) nicht in Frage.
Das heißt, die ursprüngliche Ungleichung gilt für alle $x$, wie sie im ersten oder im dritten Fall stehen. Es gilt also:
[mm] $\frac{1}{|2x+4|}\le \frac{1}{|3x-6|}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[ [m]x \in (2;\,10][/m] oder [m]x \in \left[\frac{2}{5};\,2\right)[/m] ]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]x \in (2;\,10] \cup \left[\frac{2}{5};\,2\right)[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in \left[\frac{2}{5};\,10\right] \setminus\{2\}$.
[/mm]
In der Lösung ist also tatsächlich ein kleiner Fehler vorhanden. $x$ darf nämlich auch den Wert [mm] $\frac{2}{5}$ [/mm] annehmen!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Di 21.12.2004 | | Autor: | Ciyoberti |
Hallo Marcel !
ich danke dir erstmal. Ich bin bei der Arbeit. Ich habe deine Lösung mir ausgedruckt. Sobald ich zu Hause bin werde mir ein Blatt und Stift in der Hand nehmen und dann kann ich ohne panik bearbeiten.
Ich habe mich sehr gefreut ! Danke danke !
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