Uniform Integrability/Reihe ab < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:09 Di 23.09.2008 | | Autor: | Arthur |
| Aufgabe | | Seien [mm](X_{n})n\in\mathbb{N}, X[/mm] reellwertige positive Zufallsvariablen. Wir wissen [mm]\mathbb{E}[X_{n}]=\mu, \mathbb{E}[X]=\mu.\\ und \quad X_{n} ---> X schwach
\exp(X_{n})=C\sum^{n}_{k=1}\dbinom{n}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}(\exp(\frac{2k-n}{\sqrt{n}})\\
Zeige \quad
(\exp(X_{n}))n\in\mathbb{N}\mbox{ sind uniformly integrable.}[/mm] |
Ich bin mir nicht sicher, ob man es so schon verstehen/lösen kann.
[mm]X_{n}[/mm] hat die Form [mm]X_{n}=CX^{*}_{n}+\mu[/mm] wobei [mm]X^{*}_{n}[/mm] eine standardisierte binomialverteilte Zufallsvariable ist und C eine konstante.
X , gegen die die Xn schwach konvergieren ist Normalverteilt.
Wir wollen eigentlich die Konvergenz von
[mm]\int_{\mathbb{R}_{+}}\exp(X_{n})dP \longrightarrow \int_{\mathbb{R}_{+}}\exp(X)dP [/mm]
also, dass der erwartungswert der logbinomialverteilten zufallsvariable exp(Xn) gegen den der lognormalverteilten zufallsvariable X konvergiert.
dies ist z.b. dann der fall, wenn die exp(Xn) uniformly integrable sind.
oben sieht man die form von Xn. ich habe es allerdings bisher mit keiner abschätzung zeigen können, dass der erwartungswert existiert (auch wenn das bekannt ist. es handelt sich hier um den grenzwert des erwartungswertes des aktienpreises im binomialmodell und der ist ja bekanntlich der des black scholes modells.
wenn es also irgendwie ginge, die reihe oben abzuschätzen wäre es natürlich geschafft.
ansonsten könnte man vielleicht ausnutzen dass der erwartungswert von den Xn bekannt ist und gleich dem von X. zudem ist ja der erwartungswert von exp(X) auch bekannt, da exp(X) lognormal verteilt ist.
man muss irgendwie ausnutzen können, dass es zwar kein maximum über alle n für [mm]X_{n}[/mm] gibt, aber die masse der verteilung um [mm]\mu[/mm] liegt.
ich habe jetzt schon seit einigen tagen darüber nachgedacht und komme wirklich nicht weiter. vielleicht hat ja jemand eine idee. vielen dank!
ich habe das problem auch sonst nirgendwo veröffentlicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Do 25.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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