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Hallo nochmals!
Diesmal habe ich ein anderes Problem:
ich habe die Aufgabe eine Matrix A [mm] \in \IC^{5x5} [/mm] zu diagonalisiern, also eine Matrix U aufzustellen, für die gilt: [mm] \overline{U}^{t}*A*U=Diagonalgestalt
[/mm]
[mm] A=\pmat{-3&-2&-1&0&1 \\ -2&-1&0&1&2 \\ -1&0&1&2&3 \\ 0&1&2&3&4 \\ 1&2&3&4&5} \in \IC^{5x5}
[/mm]
A ist hermitesch, da [mm] \overline{A}^{t}=A [/mm] gilt. Also ist A auch diagonalisierbar.
Soweit so gut, also erstmal die Eigenwerte berechnet, diese sind 0, 10 und -5. [mm] \lambda_{1}=0; \lambda_{2}=10 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=-5
[/mm]
Nun gehe ich her und berechne die Eigenräume der [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_{1}*I_{5})=...=<\vektor{1\\-2\\1\\0\\0}, \vektor{2\\-3\\0\\1\\0}, \vektor{3\\-4\\0\\0\\1}>
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_{2}*I_{5})=...=<\vektor{0\\ \bruch{1}{4}\\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{3}{4} \\ 1}>
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_{1}*I_{5})=...=<\vektor{-3\\-2\\-1\\0\\1}>
[/mm]
Schließlich stelle ich U aus diesen Basisvektoren zusammen:
[mm] U=\pmat{1&2&3&0&-3 \\ -2&-3&-4& \bruch{1}{4} &-2 \\ 1&0&0& \bruch{1}{2} &-1 \\ 0&1&0& \bruch{3}{4} & 0 \\ 0&0&1&1&1}
[/mm]
Verwunderlich stimmt mich jetzt folgendes:
[mm] D:=\overline{U}^{t}*A*U=\pmat{0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&\bruch{75}{4}&0 \\ 0&0&0&0&-75}
[/mm]
Sollten auf der Hauptdiagonalen nicht die Eigenwerte stehen?
Und hat D überhaupt Diagonalgestalt (wegen den drei Nullen auf der Hauptdiagonalen)?
Achja: ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Clairvoyant,
imho müsste U dafür orthogonal(normal) sein. sprich [mm] (U^T)*U=E [/mm]
Wenn 0 dreifacher Eigenwert ist sollten da auch 3 Nullen auf der Diagonalen stehen.
gruß
mathemaduenn
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Hi Marc!
> > diese sind 0, 10 und -5. [mm]\lambda_{1}=0; \lambda_{2}=10[/mm]
> und
> > [mm]\lambda_{3}=-5[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Eigenwert 0?? 
>
Ist 0 denn kein Eigenwert von A?
Als Minimalpolynom erhalte ich nämlich [mm]x*(x-10)*(x+5)[/mm] und als charakteristisches Polynom [mm]x^{3}*(x-10)*(x+5)[/mm].
Beides gibt mir doch auf einen Eigenwert von 0.
Hab ich mich da bereits verrechnet?
Das würde natürlich auch einiges erklären.
Und noch eine Frage:
Ist folgende Aussage richtig? Wenn [mm] A\in\IC^{nxn} [/mm] hermitesch ist, so sollen auch die Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten zueinander orthogonal sein.
Wenn das richtig ist, müsste doch die Matrix U (siehe erste Frage) automatisch orthogonal sein, oder?
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Hi,
ich denke Marc hat sich vertan, denn in der Tat gibt es Matrizen mit Eigenwert 0 (z. B. die 1x1-Matrix (0)). Vielleicht hat er das mit dem Vektor 0 verwechselt, der nach Definition kein Eigenvektor sein kann.
Zur zweiten Frage:
Wenn die Matrix schon normal ist, sind Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal. Das heißt aber noch nicht, dass sie orthonormal sind. Vielleicht solltest du mal den Cram-Schmidt auf die Eigenvektoren loslassen?
Maple sagt mir, dass dein charakteristisches Polynom und das Minimalpolynom stimmen.
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Morgen!
*Kaffee schlürf*
> Wenn die Matrix schon normal ist, sind Eigenvektoren zu
> unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal. Das heißt aber
> noch nicht, dass sie orthonormal sind. Vielleicht solltest
> du mal den Cram-Schmidt auf die Eigenvektoren loslassen?
Du meinst, es müsste ausreichen, die Vektoren noch zu normieren? Denn dann wären sie ja orthonormal. Ich werds noch ausprobieren. Wenn alles nix hilft, werd ich auch noch den Cram-Schmidt drüberjagen.
Allerdings hab ich ein Problem: wenn ich die drei Vektoren die ich als Basis für den Eigenraum von 0 erhalte, orthonormiere, sind sie dann überhaupt noch orthogonal zu den anderen beiden Eigenvektoren?
> Maple sagt mir, dass dein charakteristisches Polynom und
> das Minimalpolynom stimmen.
thx fürs Überprüfen! :)
Wollte gestern eigentlich noch die [mm] det(A-x*I_{5}) [/mm] ausrechnen, hab aber ziemlich früh wieder aufgehört, weil´s mir dann doch zu dick geworden ist...
Also insgesamt vielen Dank für deine Antwort und willkommen im Matheraum :)
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> Du meinst, es müsste ausreichen, die Vektoren noch zu
> normieren?
wenn sie schon orthogonal sind ja
> Allerdings hab ich ein Problem: wenn ich die drei Vektoren
> die ich als Basis für den Eigenraum von 0 erhalte,
> orthonormiere, sind sie dann überhaupt noch orthogonal zu
> den anderen beiden Eigenvektoren?
Wenn jeder einzelne Vorher orthogonal zu jedem von den anderen beiden war - ja
gruß
mathemaduenn
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