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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Seien G und G' Gruppen und f:G->G' ein Gruppenhomomorphismus.
(i) Zeigen Sie, dass ker f eine Untergruppe von G ist.
(ii) Beweisen Sie, dass [mm] f(a^{-1})=f(a)^{-1} [/mm] für a [mm] \in [/mm] G. |
Also gut, habe mal begonnen mit:
ker f={x [mm] \in [/mm] G; f(x)=0}
=> [mm] f(x)=0=e_G
[/mm]
Somit liegt das Inverse von G schonmal in ker f.
ker f*ker f=0*0=0 [mm] \in [/mm] ker f
=> Somit ist die Verknüpfung zweier Elemente aus ker f auch wieder im ker f.
Stimmt das soweit?
Bei der Sache mit den Inversen habe ich aber ein Problem, da weiß ich schonmal gar nicht, wie ich das formal aufschreibe ker f wobei a [mm] \in [/mm] ker f sprich f(a)=0 oder wie?
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> Seien G und G' Gruppen und f:G->G' ein
> Gruppenhomomorphismus.
>
> (i) Zeigen Sie, dass ker f eine Untergruppe von G ist.
> (ii) Beweisen Sie, dass [mm]f(a^{-1})=f(a)^{-1}[/mm] für a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G.
> Also gut, habe mal begonnen mit:
>
> ker f={x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G; f(x)=0}
>
> => [mm]f(x)=0=e_G[/mm]
>
> Somit liegt das Inverse von G schonmal in ker f.
?? Du meinst das neutrale Element. Wie kann denn $f(x)$ das neutrale Element in G sein [mm] "$e_G$" [/mm] wobei [mm] $f(x)\in [/mm] G'$ liegt.
zum neutralen Element: Was ist [mm] $f(e_G)$
[/mm]
>
> ker f*ker f=0*0=0 [mm]\in[/mm] ker f
So geht das nicht. ker f ist i.A. nicht nur 0.
Benutze, dass f ein Gruppenhomorphismus ist und betrachte [mm] $f(g\circ [/mm] g')$ für [mm] $g,g'\in [/mm] G$.
>
> => Somit ist die Verknüpfung zweier Elemente aus ker f
> auch wieder im ker f.
>
> Stimmt das soweit?
>
> Bei der Sache mit den Inversen habe ich aber ein Problem,
> da weiß ich schonmal gar nicht, wie ich das formal
> aufschreibe ker f wobei a [mm]\in[/mm] ker f sprich f(a)=0 oder wie?
Sei [mm] $a\in [/mm] G$....
[mm] $e=f(a^{-1}a)=f(a^{-1})f(a)$....
[/mm]
Ich würde dir vorschlagen Aufgabe (ii) als erstes zu lösen, um diese in (i) benutzen zu können.
gruß
WIESCHOO
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, dann erstmal (ii).
Für einen Gruppenhom. gilt:
f(x*y)=f(x)*f(y)
Da nichts spezielles gesagt ist, gehe ich einfach mal davon aus, dass in beiden Gruppen die gleiche Verknüpfung gemeint ist.
Ich will nun zeigen, dass [mm] f(a^{-1})=f(a)^{-1} [/mm] ist.
[mm] f(a)=f(a*e)=f(a)*f(e)=f(a)*f(a*a^{-1})=f(a)*f(a)*f(a^{-1})
[/mm]
[mm] <=>f(a)^{-1}*f(a)=f(a)^{-1}*f(a)*f(a)*f(a^{-1})<=> e=f(a)*f(a^{-1})<=>f(a)^{-1}=f(a^{-1})
[/mm]
Rein vom Gefühl her, ist das meiner Meinung nach korrekt, stimmt das?
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> Ok, dann erstmal (ii).
>
> Für einen Gruppenhom. gilt:
>
> f(x*y)=f(x)*f(y) (*)
>
> Da nichts spezielles gesagt ist, gehe ich einfach mal davon
> aus, dass in beiden Gruppen die gleiche Verknüpfung
> gemeint ist.
Es können auch verschiedene Verknüpfungen sein, solange (*) erfüllt ist.
>
> Ich will nun zeigen, dass [mm]f(a^{-1})=f(a)^{-1}[/mm] ist.
>
> [mm]f(a)=f(a*e)=f(a)*f(e)=f(a)*f(a*a^{-1})=f(a)*f(a)*f(a^{-1})[/mm]
>
> [mm]<=>f(a)^{-1}*f(a)=f(a)^{-1}*f(a)*f(a)*f(a^{-1})<=> e=f(a)*f(a^{-1})<=>f(a)^{-1}=f(a^{-1})[/mm]
>
> Rein vom Gefühl her, ist das meiner Meinung nach korrekt,
> stimmt das?
Sieht gut aus. Wenn du jedoch [mm]e_{G'}=f(e_{G})=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1}) \gdw f(a^{-1}) =f(a)^{-1}e_{G'}=f(a)^{-1}[/mm] schreibst, schonst du dein Schreibgerät.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich versuche die (i) nochmal:
Das neutrale Element aus G muss in ker f enthalten sein, der ker f bildet ja Elemente aus G auf die 0 ab, somit ist die 0 im Kern enthalten und da das neutrale Element eindeutig ist, habe ich doch damit das Untergruppenaxiom erfüllt oder sehe ich das falsch?
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> Ok, ich versuche die (i) nochmal:
>
> Das neutrale Element aus G muss in ker f enthalten sein,
Ja es muss gelten [mm]e_G\in \operatorname{ker}(f)[/mm]
> der ker f bildet ja Elemente aus G auf die 0 ab, somit ist
> die 0 im Kern enthalten
Du verwechselst hier die Seite. Das f ist eine Abbildung von G nach G'. Und der Kern von f ist eine Untergruppe (sogar Normalteiler) von G. Also musst du zeigen, dass [mm]e_G\in \operatorname{ker}(f)[/mm] gilt.
> und da das neutrale Element
> eindeutig ist, habe ich doch damit das Untergruppenaxiom
> erfüllt oder sehe ich das falsch?
Vielleicht anders ausführlich erklärt:
Dir wurde ein Gruppenhomomorphismus [mm]f:\red{G}\to \blue{G'}[/mm] zwischen zwei Gruppen [mm]\red{G},\blue{G'}\;[/mm] gegeben. Also weißt du [mm]f(a\circ b):=f(a)\star f(b)[/mm] für [mm]a,b\in \red{G}[/mm].
Zu zeigen ist:" [mm]\operatorname{ker}(f):=\{x\in \red{G}:f(x)=e_{\blue{G'}}\}\subseteq \red{G}[/mm] ist eine Untergruppe von G."
Deine Axiome sind:
(U1) [mm]\operatorname{ker}(f) \neq \emptyset[/mm]."
(U2) Für alle [mm] a,b\in \operatorname{ker}(f)[/mm] ist auch [mm]a\circ b\in\operatorname{ker}(f)[/mm]
(U3) Für alle [mm]a\in\operatorname{ker}(f)[/mm] ist auch [mm]a^{-1}\in\operatorname{ker}(f)[/mm]
Bei (U1) musst du lediglich zeigen, dass es ein Element in [mm]z\in \red{G}[/mm] gibt mit [mm]f(z)=e_{\blue{G'}}[/mm]. Wie sieht z aus? Kannst du es konkret angeben?
Bei (U2) schnappst du dir zwei Elemente [mm] $x,y\in \operatorname{ker}(f)$ [/mm] und zeigst [mm] $x\circ y\in\operatorname{ker}(f)$
[/mm]
(U3) ist einfach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
In meinem Skript steht:
Sei G eine Gruppe mit Einselement e. Eine Untergruppe H von G ist eine Teilmenge H [mm] \subset [/mm] G mit den folgenden drei Eigenschaften.
(N) Es gilt e [mm] \in [/mm] H
Einselement heißt doch neutrales Element oder nicht? Bei mir ist H eben ker f und G ist G, deswegen verstehe ich nicht, warum ich [mm] f(z)=e_{G'} [/mm] zeigen muss und nicht [mm] f(z)=e_G.
[/mm]
Vielleicht weil ich mir eine Abbildung von G->G' ansehe oder wie habe ich das zu verstehe?
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> In meinem Skript steht:
>
> Sei G eine Gruppe mit Einselement e. Eine Untergruppe H von
> G ist eine Teilmenge H [mm]\subset[/mm] G mit den folgenden drei
> Eigenschaften.
>
> (N) Es gilt e [mm]\in[/mm] H
>
> Einselement heißt doch neutrales Element oder nicht? Bei
Ja das ist das neutrale Element.
> mir ist H eben ker f und G ist G, deswegen verstehe ich
> nicht, warum ich [mm]f(z)=e_{G'}[/mm] zeigen muss und nicht
> [mm]f(z)=e_G.[/mm]
Die Definition von [mm] $\operatorname{ker}(f)$ [/mm] war eben [mm] $\operatorname{ker}(f):=\{x\in G : f(x)={e_{G'}}\}$. [/mm] Du steckst Elemente aus G in f hinein und es kommen Elemente in G' raus.
> Vielleicht weil ich mir eine Abbildung von G->G' ansehe
> oder wie habe ich das zu verstehe?
Die Abbildung f geht von G nach G'. Du suchst eine Untergruppe H (nach deinem Skript) von G. Wie man es auch dreht: Immer werden Elemente von G oder H als Argument x der Funktion f übergeben und man erhält in jedem Fall f(x), was in G' liegt.
Für [mm] $x\in [/mm] G$ ist [mm] $f(x)\in [/mm] G'$.
Für [mm] $x\in \operatorname{ker}(f)=H$ [/mm] ist [mm] $f(x)=e_{G'}\in [/mm] G'$ nach Definition vom Kern.
Zu U1) zu zeigen: [mm] $e_G\in [/mm] H$, d.h. das neutrale Element liegt auch im Kern von f, m.a. Worten [mm] $f(e_G)=e_{G'}$ [/mm]
Im Prinzip musst du nur begründen, dass [mm] $f(e_G)={e_G'}$ [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das sehe ich ein, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das zeigen soll, bringt es mir was mit dem Gruppenhom. zu argumentieren? Brauche nur einen kleinen Tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
Betrachte mal [mm] $f(e_G*e_G)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, ok, danke:
[mm] f(e_G*e_G)=f(e_G)*f(e_G)=f(e_G)
[/mm]
Jetzt muss ich da irgendwie den Kern mit reinnehmen, aber ich stehe da echt vor einem Rätsel. Da das doch beides Gruppen sind, die in einem Gruppenhomomorphismus stehen, müssen doch auch die neutralen Elemente gleich sein, das heißt doch dann, dass [mm] e_G=e_G'
[/mm]
[mm] =>f(e_G)=f(e_G')
[/mm]
Wenn es das nicht ist, bin ich mit meinem Latein am Ende.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Habe oben irgendwas durcheinander gebracht.
Hab mir nochmal ein paar Gedanken gemacht, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
Bei Wikipedia steht ja ansich die Lösung, so wie ich das sehe bei der Definition oder?
http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus
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Ja Wikipedia hat in diesem Fall recht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Bei Wikipedia steht ja ansich die Lösung, so wie ich das
> sehe bei der Definition oder?
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus
Ich hätte zu der dort genannten Lösung zwei Fragen:
1. Was ist das dort auftauchende $g$?
2. Warum folgt aus [mm] $\phi(g)=\phi(g)*\phi(e_G)$, [/mm] dass [mm] $\phi(e_G)$ [/mm] das neutrale Element von $G'$ ist?
Wenn du diese Fragen beantworten kannst, hast du eine Lösung. Sie stimmt im Wesentlichen mit der [mm] "$f(e_G*e_G)$-Lösung" [/mm] überein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
1. Das auftauchende g ist ein Element aus G.
2. Weil auf beiden Seiten von [mm] \phi(g)=\phi(g)\cdot{}\phi(e_G) [/mm] das gleiche steht und so [mm] \phi(e_G) [/mm] das neutrale Element sein muss, weil sonst keine Gleichheit gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> 1. Das auftauchende g ist ein Element aus G.
>
> 2. Weil auf beiden Seiten von
> [mm]\phi(g)=\phi(g)\cdot{}\phi(e_G)[/mm] das gleiche steht und so
> [mm]\phi(e_G)[/mm] das neutrale Element sein muss, weil sonst keine
> Gleichheit gilt.
Na ja...
Aus [mm]\phi(g)=\phi(g)\cdot{}\phi(e_G)[/mm] folgt
[mm] e_{G'}= (\phi(g))^{-1}*\phi(g)= (\phi(g))^{-1}*\phi(g)*\phi(e_G)= \phi(e_G)
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> 1. Das auftauchende g ist ein Element aus G.
Für die Argumentation ist entscheidend, dass so ein [mm] $g\in [/mm] G$ auch existiert (d.h. dass [mm] $G\not=\emptyset$ [/mm] gilt). Und um das nachzuweisen, verweist man wieder auf [mm] $g=e_G$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]f(e_G*e_G)=f(e_G)*f(e_G)=f(e_G)[/mm]
Ja.
Warum gilt die letzte Gleichheit? Wegen [mm] $e_G*e_G=e_G$ [/mm] gilt [mm] $f(e_G*e_G)=f(e_G)$.
[/mm]
Multipliziere nun beide Seiten der Gleichheit [mm] $f(e_G)*f(e_G)=f(e_G)$ [/mm] mit dem Inversen von [mm] $f(e_G)$.
[/mm]
> Jetzt muss ich da irgendwie den Kern mit reinnehmen, aber
> ich stehe da echt vor einem Rätsel.
Nein, du willst ja gerade nur [mm] $f(e_G)=e_{G'}$ [/mm] verifizieren.
> Da das doch beides
> Gruppen sind, die in einem Gruppenhomomorphismus stehen,
> müssen doch auch die neutralen Elemente gleich sein, das
> heißt doch dann, dass [mm]e_G=e_G'[/mm]
Nein. Betrachte z.B.
[mm] $G=(\IR,+)$
[/mm]
[mm] $G'=(\IR_{>0},*)$
[/mm]
[mm] $f\colon G\to G',\;\; f(x)=e^x$
[/mm]
$G$ und $G'$ sind Gruppen, $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus. Die neutralen Elemente $0$ bzw. $1$ von $G$ bzw. $G'$ stimmen nicht überein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe nur nicht, wie ich [mm] f(e_G)=e_G' [/mm] zeige, ich bekomme in die Gleichung einfach kein [mm] e_G' [/mm] herein.
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Hallo hubbel,
> Ich verstehe nur nicht, wie ich [mm]f(e_G)=e_G'[/mm] zeige, ich
> bekomme in die Gleichung einfach kein [mm]e_G'[/mm] herein.
Na, du hattest es doch schon fast:
[mm]f(e_G)=f(e_G\cdot{}e_G)=f(e_G)\cdot{}f(e_G)[/mm]
Also [mm]f(e_G)=f(e_G)\cdot{}f(e_G) \ \ \ (\star)[/mm]
Das [mm]f(e_G)[/mm] ist ein Element aus G' und besitzt demzufolge ein Inverses [mm]\left(f(e_G)\right)^{-1}[/mm]
Verkette die Gleichung [mm](\star)[/mm] etwa von links damit. Was erhältst du?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich erhalte:
[mm] e_G'=f(e_G)
[/mm]
Oder? Denn [mm] f(e_G)f(e_G)=e_G'
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich erhalte:
>
> [mm]e_G'=f(e_G)[/mm]
Ja. Durch die von schachuzipus genannte Vorgehensweise erhältst du genau diese Gleichheit.
> Oder? Denn [mm]f(e_G)f(e_G)=e_G'[/mm]
Wieso letztgenanntes? Stimmt zwar, aber erscheint mir nicht leichter zu sehen als obige Gleichheit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, ok belassen wir es mal dabei, habe es verstanden, muss ja jetzt noch zeigen, dass zwei Elemente aus ker f verknüpft wieder in ker f sind.
Bewiesen ist ja [mm] f(e_G)=e_G'
[/mm]
Somit gilt [mm] f(e_G)*f(e_G)=e_G'*e_G'=e_G' [/mm] => [mm] e_G'*e_G' \in [/mm] ker f
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> muss ja jetzt noch zeigen, dass zwei Elemente aus ker f
> verknüpft wieder in ker f sind.
>
> Bewiesen ist ja [mm]f(e_G)=e_G'[/mm]
>
> Somit gilt [mm]f(e_G)*f(e_G)=e_G'*e_G'=e_G'[/mm] => [mm]e_G'*e_G' \in[/mm]
> ker f
Am Ende meinst du wohl [mm] $e_G*e_G\in\operatorname{ker}f$ [/mm] (mit $G$ statt $G'$).
Jetzt hast du für [mm] $a=e_G\in\operatorname{ker}f$ [/mm] und [mm] $b=e_G\in\operatorname{ker}f$ [/mm] nachgerechnet, dass [mm] $a*b\in\operatorname{ker}f$ [/mm] gilt.
Zeigen musst du jedoch, dass für ALLE [mm] $a,b\in\operatorname{ker}f$ [/mm] auch [mm] $a*b\in\operatorname{ker}f$ [/mm] gilt.
Nimm also beliebige [mm] $a,b\in\operatorname{ker}f$ [/mm] her, d.h. welche Eigenschaft haben $a$ und $b$?
Rechne dann vor, dass [mm] $a*b\in\operatorname{ker}f$ [/mm] gilt, d.h. was muss gelten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Nunja, für den ker f gilt ja [mm] f(x)=e_G'
[/mm]
Somit gilt für a, b [mm] \in [/mm] ker f:
f(a*b)=f(a)*f(b)
da
[mm] f(a)=e_G' [/mm] und [mm] f(b)=e_G'
[/mm]
gilt
[mm] f(a*b)=f(a)*f(b)=e_G'*e_G'=e_G'
[/mm]
Somit ist a*b [mm] \in [/mm] ker f, so besser?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> für a, b [mm]\in[/mm] ker f:
>
> [mm]f(a)=e_G'[/mm] und [mm]f(b)=e_G'[/mm]
>
> [mm]f(a*b)=f(a)*f(b)=e_G'*e_G'=e_G'[/mm]
>
> Somit ist a*b [mm]\in[/mm] ker f, so besser?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich verstehe langsam, danke!
Jetzt noch zum Inversen:
Sei a [mm] \in [/mm] ker f.
[mm] f(a)=e_G'=f(a*a^{-1})=f(a)*f(a^{-1})<=>f(a)=f(a)*f(a^{-1})
[/mm]
Nun [mm] f(a)^{-1} [/mm] mit beiden Seiten von links verknüpfen:
[mm] =>f(a^{-1})=e_G'
[/mm]
Stimmt dies?
Somit liegt auch [mm] a^{-1} \in [/mm] ker f
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt noch zum Inversen:
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> Sei a [mm]\in[/mm] ker f.
>
> [mm]f(a)=e_G'=f(a*a^{-1})=f(a)*f(a^{-1})<=>f(a)=f(a)*f(a^{-1})[/mm]
>
> Nun [mm]f(a)^{-1}[/mm] mit beiden Seiten von links verknüpfen:
>
> [mm]=>f(a^{-1})=e_G'[/mm]
>
> Stimmt dies?
>
> Somit liegt auch [mm]a^{-1} \in[/mm] ker f
Ja, sehr schön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, danke!
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