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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 23.07.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | Zeige: Eine nichtleere Menge U einer endlichen Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn für alle a,b [mm] \in [/mm] U auch ab [mm] \in [/mm] U. |
Guten Morgen,
ich habe mich mal an der obigen Aufgabe probiert:
U ist nichtleer d.h es existiet ein x [mm] \in [/mm] U. Da U abgeschlossen ist muss auch [mm] x^n \in [/mm] U für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelten. Da G endlich ist gibt es ein n' [mm] \in \IN, [/mm] so dass
[mm] x^n' [/mm] = e [mm] \in [/mm] U gilt. Dann gilt aber auch [mm] xx^{n'-1} [/mm] = e d.h auch das Inverse von x liegt in U. Damit wäre U eine Untergruppe von G.
Ich muss also zeigen, dass wenn G endlich ist muss es ein n' [mm] \in \IN [/mm] geben mit [mm] x^n' [/mm] = e.
Also: Angenommen es gibt ein a [mm] \in [/mm] G mit [mm] a^n \not= [/mm] e für alle natürlichen Zahlen n größer null. Sei [mm] a^0 [/mm] := e und [mm] a^1:= [/mm] a.
Zeige: [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_0: a^n \not= a^{n-k}, [/mm] wobei k [mm] \in \IN_0: [/mm] n > k.
Induktion nach n:
IA: [mm] a^1 \not= a^0 [/mm]
IV: Es existiert ein n [mm] \in \IN: a^{n} \not= a^{n-k}.
[/mm]
IS: [mm] a^n*e \not= a^{n-k}*e \Rightarrow a^n*(a*a^{-1}) \not= a^{n-k}*(a*a^{-1}) \Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1} \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1}*a \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}*a \Rightarrow (a^{n+1}) \not= (a^{n-k+1}).
[/mm]
Also gilt: [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_0: a^n \not= a^{n-k}, [/mm] wobei k [mm] \in \IN_0: [/mm] n > k. Da die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt, gilt sie insbesonders auch für alle n > |G|. Da G eine Gruppe ist G abgeschlossen, somit muss G unendlich viele Elemente enthalten. Widerspruch.
Ist das so richtig? Kennt jemand eine hübschere/elegantere alternative?
Schönen Gruß,
Diab91
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> Zeige: Eine nichtleere Menge U einer endlichen Gruppe G ist
> genau dann eine Untergruppe von G, wenn für alle a,b [mm]\in[/mm] U
> auch ab [mm]\in[/mm] U.
> Guten Morgen,
>
> ich habe mich mal an der obigen Aufgabe probiert:
>
> U ist nichtleer d.h es existiet ein x [mm]\in[/mm] U. Da U
> abgeschlossen ist muss auch [mm]x^n \in[/mm] U für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gelten. Da G endlich ist gibt es ein n' [mm]\in \IN,[/mm] so dass
> [mm]x^n'[/mm] = e [mm]\in[/mm] U gilt. Dann gilt aber auch [mm]xx^{n'-1}[/mm] = e d.h
> auch das Inverse von x liegt in U. Damit wäre U eine
> Untergruppe von G.
Das sieht soweit gut aus.
Nur solltest du das für alle Elemente aus $U$ zeigen, denn für jedes $a [mm] \in [/mm] U$ muss ja auch [mm] $a^{-1} \in [/mm] U$ gelten.
> Ich muss also zeigen, dass wenn G endlich ist muss es ein
> n' [mm]\in \IN[/mm] geben mit [mm]x^n'[/mm] = e.
>
> Also: Angenommen es gibt ein a [mm]\in[/mm] G mit [mm]a^n \not=[/mm] e für
> alle natürlichen Zahlen n größer null. Sei [mm]a^0[/mm] := e und
> [mm]a^1:=[/mm] a.
> Zeige: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0: a^n \not= a^{n-k},[/mm] wobei k [mm]\in \IN_0:[/mm]
> n > k.
> Induktion nach n:
>
> IA: [mm]a^1 \not= a^0[/mm]
> IV: Es existiert ein n [mm]\in \IN: a^{n} \not= a^{n-k}.[/mm]
> IS:
> [mm]a^n*e \not= a^{n-k}*e \Rightarrow a^n*(a*a^{-1}) \not= a^{n-k}*(a*a^{-1}) \Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1} \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1}*a \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}*a \Rightarrow (a^{n+1}) \not= (a^{n-k+1}).[/mm]
>
> Also gilt: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0: a^n \not= a^{n-k},[/mm] wobei k
> [mm]\in \IN_0:[/mm] n > k. Da die Aussage für alle natürlichen
> Zahlen gilt, gilt sie insbesonders auch für alle n > |G|.
> Da G eine Gruppe ist G abgeschlossen, somit muss G
> unendlich viele Elemente enthalten. Widerspruch.
>
> Ist das so richtig? Kennt jemand eine hübschere/elegantere
> alternative?
Jo, das sieht gut aus.
Wenn du den Satz von Lagrange schon kennst könntest du den benutzen um zu begründen warum ord$(x)$ endlich sein muss.
> Schönen Gruß,
> Diab91
>
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: Eine nichtleere Menge U einer endlichen Gruppe G ist
> genau dann eine Untergruppe von G, wenn für alle a,b [mm]\in[/mm] U
> auch ab [mm]\in[/mm] U.
> Guten Morgen,
>
> ich habe mich mal an der obigen Aufgabe probiert:
>
> U ist nichtleer d.h es existiet ein x [mm]\in[/mm] U. Da U
> abgeschlossen ist muss auch [mm]x^n \in[/mm] U für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gelten. Da G endlich ist gibt es ein n' [mm]\in \IN,[/mm] so dass
> [mm]x^n'[/mm] = e [mm]\in[/mm] U gilt. Dann gilt aber auch [mm]xx^{n'-1}[/mm] = e d.h
> auch das Inverse von x liegt in U.
Es ist mir nicht klar, woher Du das bekommst. Ein kleiner Schritt fehlt noch.
> Damit wäre U eine
> Untergruppe von G.
>
> Ich muss also zeigen, dass wenn G endlich ist muss es ein
> n' [mm]\in \IN[/mm] geben mit [mm]x^n'[/mm] = e.
>
> Also: Angenommen es gibt ein a [mm]\in[/mm] G mit [mm]a^n \not=[/mm] e für
> alle natürlichen Zahlen n größer null. Sei [mm]a^0[/mm] := e und
> [mm]a^1:=[/mm] a.
> Zeige: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0: a^n \not= a^{n-k},[/mm] wobei k [mm]\in \IN_0:[/mm]
> n > k.
> Induktion nach n:
>
> IA: [mm]a^1 \not= a^0[/mm]
> IV: Es existiert ein n [mm]\in \IN: a^{n} \not= a^{n-k}.[/mm]
> IS:
> [mm]a^n*e \not= a^{n-k}*e \Rightarrow a^n*(a*a^{-1}) \not= a^{n-k}*(a*a^{-1}) \Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1} \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1}*a \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}*a \Rightarrow (a^{n+1}) \not= (a^{n-k+1}).[/mm]
>
> Also gilt: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0: a^n \not= a^{n-k},[/mm] wobei k
> [mm]\in \IN_0:[/mm] n > k. Da die Aussage für alle natürlichen
> Zahlen gilt, gilt sie insbesonders auch für alle n > |G|.
> Da G eine Gruppe ist G abgeschlossen, somit muss G
> unendlich viele Elemente enthalten. Widerspruch.
>
> Ist das so richtig? Kennt jemand eine hübschere/elegantere
> alternative?
Wenn [mm] a^n \ne [/mm] e für alle n [mm] \In \IN, [/mm] so ist [mm] a^n \ne a^m [/mm] für n [mm] \ne [/mm] m, denn wäre [mm] a^m=a^n [/mm] für n und m mit n [mm] \ne [/mm] m, so können wir m>n annehmen und hätten den Widerspruch [mm] a^{m-n}=e.
[/mm]
Damit ist die Teilmenge [mm] \{a^n: n \in \IN\} [/mm] von G unendlich.
FRED
>
> Schönen Gruß,
> Diab91
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:08 Di 24.07.2012 | | Autor: | diab91 |
Hallo ihr beiden,
> Wenn du den Satz von Lagrange schon kennst könntest du
> den benutzen um zu begründen warum ord[mm](x)[/mm] endlich sein
> muss.
An den hatte ich gar nicht gedacht. Ist eine Gruppe G endlich, so teilt die Ordnung eines Elements x [mm] \in [/mm] G die Ordnung von G nach dem Satz von Lagrange. Also kann sie demnach nur endlich sein. Würde das so reichen?
> > U ist nichtleer d.h es existiet ein x [mm]\in[/mm] U. Da U
> > abgeschlossen ist muss auch [mm]x^n \in[/mm] U für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> > gelten. Da G endlich ist gibt es ein n' [mm]\in \IN,[/mm] so dass
> > [mm]x^n'[/mm] = e [mm]\in[/mm] U gilt. Dann gilt aber auch [mm]xx^{n'-1}[/mm] = e
> d.h
> > auch das Inverse von x liegt in U.
>
>
> Es ist mir nicht klar, woher Du das bekommst. Ein kleiner
> Schritt fehlt noch.
>
Meinst du das mit dem Inversen? Ok, sei a [mm] \in [/mm] U mit Ordnung n [mm] \in \IN [/mm] (Ordnung muss endlich sein nach Satz von Lagrange). Da G eine Gruppe ist muss aufgrund der Abgeschlossenheit der Gruppe auch [mm] a^{n-1} \in [/mm] G sein. Dann gilt aber: [mm] a*a^{n-1} [/mm] = [mm] a^n [/mm] = e. Somit ist [mm] a^{n-1} [/mm] das Inverse von a. Hat die Begründung über die Endlichkeit der Gruppe und dem Satz von Lagrange gefehlt?
> >
> > Ich muss also zeigen, dass wenn G endlich ist muss es ein
> > n' [mm]\in \IN[/mm] geben mit [mm]x^n'[/mm] = e.
> >
> > Also: Angenommen es gibt ein a [mm]\in[/mm] G mit [mm]a^n \not=[/mm] e für
> > alle natürlichen Zahlen n größer null. Sei [mm]a^0[/mm] := e und
> > [mm]a^1:=[/mm] a.
> > Zeige: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0: a^n \not= a^{n-k},[/mm] wobei k [mm]\in \IN_0:[/mm]
> > n > k.
> > Induktion nach n:
> >
> > IA: [mm]a^1 \not= a^0[/mm]
> > IV: Es existiert ein n [mm]\in \IN: a^{n} \not= a^{n-k}.[/mm]
> >
> IS:
> > [mm]a^n*e \not= a^{n-k}*e \Rightarrow a^n*(a*a^{-1}) \not= a^{n-k}*(a*a^{-1}) \Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1} \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow (a^{n+1})*a^{-1}*a \not= (a^{n-k+1})*a^{-1}*a \Rightarrow (a^{n+1}) \not= (a^{n-k+1}).[/mm]
>
> >
> > Also gilt: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0: a^n \not= a^{n-k},[/mm] wobei k
> > [mm]\in \IN_0:[/mm] n > k. Da die Aussage für alle natürlichen
> > Zahlen gilt, gilt sie insbesonders auch für alle n > |G|.
> > Da G eine Gruppe ist G abgeschlossen, somit muss G
> > unendlich viele Elemente enthalten. Widerspruch.
> >
> > Ist das so richtig? Kennt jemand eine hübschere/elegantere
> > alternative?
>
> Wenn [mm]a^n \ne[/mm] e für alle n [mm]\In \IN,[/mm] so ist [mm]a^n \ne a^m[/mm] für
> n [mm]\ne[/mm] m, denn wäre [mm]a^m=a^n[/mm] für n und m mit n [mm]\ne[/mm] m, so
> können wir m>n annehmen und hätten den Widerspruch
> [mm]a^{m-n}=e.[/mm]
>
> Damit ist die Teilmenge [mm]\{a^n: n \in \IN\}[/mm] von G
> unendlich.
>
Das gefällt mir sehr :).
Vielen Dank schon Mal an euch beide für die Hilfe.
Schönen Gruß,
Diab91
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 26.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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