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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IZ. [/mm]
Es gilt:
Jedes Ideal in [mm] \IZ/(n) [/mm] ist eine Untergruppe der additiven Gruppe des Ringes [mm] \IZ/(n). [/mm]
Zeige die Umkehrung dieser Aussage.
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Hallo,
die Aufgabe habe ich soweit ich kann, gelöst, hab aber an manchen Stellen Fragen. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Ich soll die Umkehrung des Satzes zeigen:
Also zu zeigen:
Jede Untergruppe von [mm] (\IZ/(n),+) [/mm] ist ein Ideal in [mm] \IZ/(n).
[/mm]
Hierbei bin ich so vorgegangen:
Sei (n) [mm] \subseteq (\IZ/(n),+)={[0],[1],...,[n-1]} [/mm] eine von n [mm] \in \IN [/mm] erzeugte Untergruppe in [mm] \IZ/(n).
[/mm]
Nach Definition eines Ideals muss ich folgendes zeigen:
a)(n) ist eine Untergrupp von [mm] (\IZ/(n),+)
[/mm]
b) Ist a [mm] \in [/mm] (n), [b] [mm] \in \IZ/(n), [/mm] so ist: ab [mm] \in [/mm] (n)
Zu a):
Sei x [mm] \in (n)\gdw \exists [/mm] k: x=k*n , und -y [mm] \in (n)\gdw \exists [/mm] l: -y=l*n für k,l [mm] \in \IZ
[/mm]
Dann ist x+(-y)=kn+ln=n(k+l), un das ist wieder [mm] \in [/mm] (n).
Also ist (n) Untergruppe von [mm] (\IZ/(n),+)
[/mm]
Zu b):
Ist a [mm] \in [/mm] (n) [mm] \gdw \exists [/mm] t: a=t*n, t [mm] \in \IZ
[/mm]
Es gibt ein [b] [mm] \in \IZ/(n) \gdw [/mm] b [mm] \in n*\IZ \gdw [/mm] b=nz für ein z [mm] \in \IZ.
[/mm]
Dann ist [mm] a*b=(tn)*(nz)=tnnz=tzn^{2} [/mm] ??? (hier verwendet:(n) ist abelsch als zykl.Gruppe). Aber dann hat das Ergebnis von a*b nicht die gewünschte Form , weil a*b ja in (n) liegen soll, also die Form n*(...) haben muss. Was hab ich hier falsch gemacht?
Mir ist auch nicht klar, ob ich bei b) zeigen soll, dass a*b [mm] \in [/mm] (n) ist oder a*[b] [mm] \in [/mm] (n) ist. [b] ist die Äq.klasse gemeint.
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Danke.
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 30.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
ich bin mir bei der Aufgabe jetzt unsicher, ob ich die Umkehrung der Aussage richtig wiedergegeben habe. Kann sich bitte jemand die Aufgabe anschauen, und mir evtl. weiterhelfen? 
Danke,Milka
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Hallo Milka,
tut mir echt leid, aber da bist Du zu früh "vorgeprescht" :
Zu zeigen ist doch: Ist $U$ eine Untergruppe von [mm] $\IZ/(n)$, [/mm] dann ist $U$ auch Ideal in [mm] $\IZ/(n)$.
[/mm]
Es reicht also zu zeigen: Ist $]b] [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $[a]\in \IZ/(n)$, [/mm] dann ist auch $[ab] [mm] \in [/mm] U$.
Tip: Nutze die Abgeschlossenheit von $U$ bzgl. Addition aus, d.h. für jede nichtnegative ganze Zahl $k$ ist die "$k$-fache Summe" von $[b] [mm] \in [/mm] U$ wieder Element $U$. (Warum reicht es, sich auf nichtnegative Zahlen zu beschränken?)
Mfg
zahlenspieler
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Hallo zahlenspieler,
vielen Dank für deine hilfreiche Antwort.
> Zu zeigen ist doch: Ist [mm]U[/mm] eine Untergruppe von [mm]\IZ/(n)[/mm],
> dann ist [mm]U[/mm] auch Ideal in [mm]\IZ/(n)[/mm].
> Es reicht also zu zeigen: Ist [mm]]b] \in U[/mm] und [mm][a]\in \IZ/(n)[/mm],
> dann ist auch [mm][ab] \in U[/mm].
> Tip: Nutze die Abgeschlossenheit
> von [mm]U[/mm] bzgl. Addition aus, d.h. für jede nichtnegative ganze
> Zahl [mm]k[/mm] ist die "[mm]k[/mm]-fache Summe" von [mm][b]\in U[/mm] wieder Element [mm]U[/mm]. [/b][/mm]
> [mm][b](Warum reicht es, sich auf nichtnegative Zahlen zu [/b][/mm]
> [mm][b]beschränken?)[/b][/mm]
Wie du geschrieben hast, gilt: Für k [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \in \IZ: [/mm] k*[b]=[b]+[b]+...+[b] (das k-mal) [mm] \in [/mm] U, da U eine Untergruppe ist, also ist sie abgeschlossen bzgl. +.
Dann habe ich einfach folgendes gemacht: Ausgenutzt habe ich in der Rechnung, die Kommutativität in [mm] \IZ/(n), [/mm] die Ringhomomorphismus-Eigenschaft der Äqu.klassen:
[b]*[a]=[a]*[b]=[a*b]=[b+b+...+b] (das a-mal mit a [mm] \in \IZ) [/mm]
Also ist [a*b] wegen der Abgeschlossenheit [mm] \in [/mm] U. Stimmt das so?
Man kann sich auf nicht-neg. Zahlen beschränken, weil wir in [mm] \IZ/(n) [/mm] sind, also Restklassen betrachten. Z. B. gilt in [mm] \IZ/(7), [/mm] dass [-1]=[6] ist usw. Wie kann man das irgendwie besser/allgemeiner formulieren?
Danke, Milka
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> Hallo zahlenspieler,
> vielen Dank für deine hilfreiche Antwort.
Na das hoff ich doch .
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> > Zu zeigen ist doch: Ist [mm]U[/mm] eine Untergruppe von [mm]\IZ/(n)[/mm],
> > dann ist [mm]U[/mm] auch Ideal in [mm]\IZ/(n)[/mm].
> > Es reicht also zu zeigen: Ist [mm]]b] \in U[/mm] und [mm][a]\in \IZ/(n)[/mm],
> > dann ist auch [mm][ab] \in U[/mm].
> > Tip: Nutze die
> Abgeschlossenheit
> > von [mm]U[/mm] bzgl. Addition aus, d.h. für jede nichtnegative ganze
> > Zahl [mm]k[/mm] ist die "[mm]k[/mm]-fache Summe" von [mm]\in U[/mm] wieder Element [/mm]
> [mm][mm]U[/mm].[/mm]
> > [mm](Warum reicht es, sich auf nichtnegative Zahlen zu[/mm]
> >
> [mm]beschränken?)[/mm]
>
> Wie du geschrieben hast, gilt: Für k [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\in \IZ:[/mm]
> [mm]k*=++...+[/mm] (das k-mal) [mm]\in[/mm] U, da U eine Untergruppe ist,
> also ist sie abgeschlossen bzgl. +.
> Dann habe ich einfach folgendes gemacht: Ausgenutzt habe
> ich in der Rechnung, die Kommutativität in [mm]\IZ/(n),[/mm] die
> Ringhomomorphismus-Eigenschaft der Äqu.klassen:
> *[a]=[a]*=[a*b]=[b+b+...+b] (das a-mal mit a [mm]\in \IZ)[/mm]
> Also ist [a*b] wegen der Abgeschlossenheit [mm]\in[/mm] U. Stimmt
> das so?
Hm, was für eine "Ringhomomorphismus-Eigenschaft"? Weiß natürlich nicht, ob ein Tutor "nölen" würde über den Hinweis, daß aus der Def. der Addition folgt
[mm][a_1]+[a_2]+\ldots +[a_k]=[a_1+\ldots a_k][/mm] (k bel. nat Zahl). Aber sonst stimmmts.
> Man kann sich auf nicht-neg. Zahlen beschränken, weil wir
> in [mm]\IZ/(n)[/mm] sind, also Restklassen betrachten. Z. B. gilt in
> [mm]\IZ/(7),[/mm] dass [-1]=[6] ist usw. Wie kann man das irgendwie
> besser/allgemeiner formulieren?
Hm, hat eigentlich nix mit dem gewählten Vertretersystem zu tun: Genausogut könnte ich z.B. in [mm]\IZ/(7)[/mm] mit den Klassen [mm][7], [\pm 1], [\pm 2],[\pm 3[/mm] rechnen. Allgemein gilt in einem Ring [mm]x*(-y)=(-x)*y[/mm].
Mfg
zahlenspieler
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