Untergruppe von Z < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Fr 02.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(a) Sei [mm] n\in\IN. [/mm] Dann ist [mm] n\IZ [/mm] := {nz| [mm] z\in\IZ} [/mm] eine Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] (bezüglich der Addition).
(b) Ist umgekehrt 0 [mm] \not= U\le \IZ [/mm] bezüglich der Addition eine Untergruppe von [mm] \IZ, [/mm] so existiert genau ein [mm] m\in\IN [/mm] mit [mm] U=m\IZ. [/mm] |
Mein Ansatz ist:
Es lässt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren: Eine nichtleere Teilmenge U von G ist eine Untergruppe von G, genau dann wenn gilt:
a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] U
Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element e von G in jeder Untergruppe enthalten sein muss.
Eine weitere äquivalente Forderung ist, dass U eine nichtleere Teilmenge von G ist mit:
a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ b^{-1} \in [/mm] U
Je nach Kompliziertheit der Verknüpfung ist es einfacher, die beiden Bedingungen der ersten Formulierung oder die Bedingung der zweiten Formulierung zu beweisen.
So,nun weiß ich nur nicht,wie ich am besten vorgehen könnte. Hätte jemand von euch ein wenig Zeit und könnte mir helfen? Ich wäre euch sehr dankbar. Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie:
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> (a) Sei [mm]n\in\IN.[/mm] Dann ist [mm]n\IZ[/mm] := [mm] \{nz| z\in\IZ\}eine [/mm]
> Untergruppe von [mm]\IZ[/mm] (bezüglich der Addition).
>
> (b) Ist umgekehrt 0 [mm]\not= U\le \IZ[/mm] bezüglich der Addition
> eine Untergruppe von [mm]\IZ,[/mm] so existiert genau ein [mm]m\in\IN[/mm]
> mit [mm]U=m\IZ.[/mm]
> Mein Ansatz ist:
>
> Es lässt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren:
> Eine nichtleere Teilmenge U von G ist eine Untergruppe von
> G, genau dann wenn gilt:
>
> a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U
> a [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] U
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Prima, daß Du das benötigte Handwerkszeuge, die Untergruppenkriterien gleich mitbringst.
Es dreht sich also um die Menge [mm] n\IZ[/mm] [/mm] := [mm] \{nz| z\in\IZ\}.
[/mm]
Ist Dir klar, welche Elemente in dieser Menge liegen? Sämtliche (pos und neg) Vielfache von n.
Offensichtlich ist dies eine Teilmenge von [mm] \IZ, [/mm] und nichtleer ist sie auch, denn es liegt die 0 drin.
Daß wir eine nichtleere Teilmenge vor uns haben, haben wir also bereits geklärt.
Wie geht's nun weiter?
> a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U
Nun mußt Du zeigen, daß mit zwei beliebigen Elementen aus [mm] n\IZ [/mm] auch ihre Verknüpfung in [mm] n\IZ [/mm] liegt, d.h. ein Vielfaches von n ist.
Die Verknüpfung ist hier die Addition (so steht es ja im Arbeitsauftrag).
Anschließend:
> a [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] U
Es ist also zu zeigen, daß zu jedem Element aus [mm] n\IZ [/mm] auch sein Inverses in der Menge liegt.
Hier muß man aufpassen: das inverse bzgl. der betrachteten Verknüfung ist natürlich emeint, und diese Verknüpfung ist im vorliegenden Fall +.
Ich meine, daß Du Dich nun an der Aufgabe a) versuchen solltest, ein paar Steine habe ich ja bereits mehr oder weniger dezent beiseite geräumt.
In Teil b) geht es darum, daß [mm] \IZ [/mm] gar keine anderen Untergruppen hat als solche, die genau aus den Vielfachen einer Zahl bestehen.
Diesen Beweis kann man durch Widerspruch führen,
(Spontan würde ich dafür einen Weg wählen, für welchen ich Resultate über den ggT zweier Zahlen benötige. Hattet Ihr das?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Ich habe vor wenigen Wochen erst mit meinem Mathestudium begonnen. Zwar weiß ich immer was ich tun muss,nur hapert es so häufig bei der Umsetzung meiner Gedanken. Zum Beispiel weiß ich hier nicht, wie ich [mm] a,b\inU \to [/mm] a,b $ [mm] \in [/mm] $ U $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ a $ [mm] \circ [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ U und
a $ [mm] \in [/mm] $ U $ [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] $ U nun beweisen kann...ausführlich niederschreiben kann. Mir fehlt einfach die Übung damit. Ich danke euch bereits sehr für eure Hilfe. Viele liebe Grüße
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> Ich habe vor wenigen Wochen erst mit meinem Mathestudium
> begonnen.
Hallo,
das ist klar, sonst hättest Du diese Aufgabe nicht.
> Zum
> Beispiel weiß ich hier nicht, wie ich
> [mm]a,b\inU \to[/mm] a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U
Ich weiß noch nicht einmal, was Du damit meinst...
Ich versehe aber (glaube ich) wo Dein Problem liegt:
Du weißt vermutlich nicht, wie Du " a,b $ [mm] \in [/mm] $ U $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ a $ [mm] \circ [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ U " auf Dein konkretes beispiel übertragen sollst. Was ich schon gleich ahnte, denn Du bist nicht der einzige Mensch auf Erden mit diesem Problem.
Deshalb schrieb ich dazu:
>> Nun mußt Du zeigen, daß mit zwei beliebigen Elementen aus $ [mm] n\IZ [/mm] $ auch ihre Verknüpfung in $ [mm] n\IZ [/mm] $ liegt,
>> d.h. ein Vielfaches von n ist.
>> Die Verknüpfung ist hier die Addition (so steht es ja im Arbeitsauftrag).
Deine Menge ist [mm] n\IZ [/mm] (statt U).
Deine Verknüpfung ist + (statt [mm] \circ).
[/mm]
Was Du Dir jetzt überlegen mußt ist: wie sehen die Elemente aus [mm] n\IZ [/mm] aus?
Dazu ist die def. von [mm] n\IZ [/mm] anzuschauen: aha, Vielfache von n...
Seien also a,b [mm] \in n\IZ.
[/mm]
Nach Def. von [mm] n\IZ [/mm] gibt es [mm] z_i1,z_2 \in \IZ [/mm] mit [mm] a=nz_1 [/mm] und [mm] b=nz_2.
[/mm]
Nun schaust Du die Summe der Beiden an und weist nach, daß sie auch in [mm] \IZ [/mm] liegt.
Bevor Du Dich dann über das Inverse hermachst, lies Dir nochmal durch, was ich dazu bereits geschrieben habe.
> Mir fehlt einfach
> die Übung damit.
Damit Du die bekommst, wirst Du in den folgenden Jahren viele schöne Übungsblätter lösen dürfen.
Dazu sind die doch da!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Angela,du bist echt die BESTE!!! Nur wärst du noch so lieb und könntest mir zeigen, wie ich beweisen kann, dass mit 2 beliebigen Elementen aus [mm] n\IZ [/mm] auch ihre Verknüpfung in [mm] n\IZ [/mm] liegt? Ich soll mir ja die Summe von z1 und z2 ansehen und dies so beweisen,nur frag ich mich einfach noch wie.
Und zeigen,dass zu jedem Element aus [mm] n\IZ [/mm] auch sein Inverses in der Menge liegt.
Wenn du mir noch einmal hier helfen könntest,bitte. Du hast jetzt schon was gut bei mir. Vielen Dank für deine Hilfe! Vielen,lieben Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
und wegen Aufgabe b)...könntest du mir da noch einen Ansatz geben? Das wäre so lieb von dir.
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> und wegen Aufgabe b)...könntest du mir da noch einen Ansatz
> geben? Das wäre so lieb von dir.
Hallo,
hab' ich ja schon.
Aber solange Du a) nicht richtig verstehst, ist es müßig, mit b) zu beginnen.
Gruß v. Angela
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> Angela,du bist echt die BESTE!!! Nur wärst du noch so lieb
> und könntest mir zeigen, wie ich beweisen kann, dass mit 2
> beliebigen Elementen aus [mm]n\IZ[/mm] auch ihre Verknüpfung in [mm]n\IZ[/mm]
> liegt? Ich soll mir ja die Summe von z1 und z2 ansehen und
> dies so beweisen,nur frag ich mich einfach noch wie.
Hallo,
nein, Du sollst nicht die Summe von [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] angucken, sondern die der beiden Elemente [mm] a=nz_1 [/mm] und [mm] b=nz_2.
[/mm]
Addier sie doch einfach mal.
Dann überlege Dir, woran man erkennen kann, ob die Summe auch in [mm] n\IZ [/mm] liegt.
Welche Elemente liegen denn in [mm] n\IZ. [/mm] Welche Eigenschaft haben die?
> Und zeigen,dass zu jedem Element aus [mm]n\IZ[/mm] auch sein
> Inverses in der Menge liegt.
Nun sag erstmal, welches das Inverse bzgl. + zu [mm] a=nz_1 [/mm] ist. Welche Zahl mußt Du denn addieren, damit 0 herauskommt?
Und wenn Du Dich inzwischen erinnert hast, welche Zahlen in [mm] n\IZ [/mm] liegen, kannst Du auch ganz leicht entscheiden, ob das Inverse zu a drinliegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Ich sitze schon mehrere Stunden an dieser Aufgabe,doch langsam verlässt mich einfach der Mut. Ich bekomme es kurz und knapp gesagt einfach nicht auf die Reihe. Zum Beispiel,....wie soll ich denn nz1 und nz2 zusammen addieren. Zweifle allmählich echt daran,mit Mathe die richtige Wahl getroffen zu haben. *heul*
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> Ich sitze schon mehrere Stunden an dieser Aufgabe,doch
> langsam verlässt mich einfach der Mut. Ich bekomme es kurz
> und knapp gesagt einfach nicht auf die Reihe.
Daraus, daß Du das hier als Frage einstellst, entnehme ich, daß Du Hilfe möchtest.
Dazu mußt Du uns aber an den Überlegungen teilnehmen lassen, die Du in den letzten Stunden durchgeführt hast.
Wie sollen wir denn sonst wissen, ob es richtig oder falsch ist?
Vielleicht ist ja Richtiges dabei, manchmal erkennt man das vor lauter Streß gar nicht.
Vielleicht ist vieles falsch, aber dann können wir doch sehen, was nicht verstanden ist.
> Zum
> Beispiel,....wie soll ich denn nz1 und nz2 zusammen
> addieren. Zweifle allmählich echt daran,mit Mathe die
> richtige Wahl getroffen zu haben. *heul*
Ob Du mit Mathe die richtige Wahl getroffen hast, kannst Du zum jetzigen Zeitpunkt vermutlich noch nicht wissen, das wird sich zeigen.
Abstand nehmen solltest Du von dem Gedanken, daß alles ganz schwierig ist.
Hinter unseren Buchstaben verbergen sich doch ganze Zahlen! Mit denen kannst Du doch rechnen.
Wie addiert man sie? 'Nen + dazwischen. Ausklammern.
Unbeantwortet ist von Dir nach wie vor die Frage, welche Elemente in [mm] \IZ [/mm] liegen, und das kann ich wirklich nicht verstehen.
Erstens habe ich es schon irgendwo im Thread mitgeteilt, wenn ich mich nicht sehr täusche, und Du hast die Definition dafür doch sogar in Deine Aufgabenstellung geschrieben.
Wir vereinfachen die Sache jetzt mal und sagen: es sei n=5.
Was ist dann [mm] 5\IZ, [/mm] und was ergibt [mm] 5z_1 [/mm] und [mm] 5z_2, [/mm] wenn man's addiert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
mir ist schon klar,welche Elemente in nz stecken. Eben verschiedene sowohl positive als auch negative Elemente der Menge,die ein Vielfaches von n sind. Ich rechne 5z1+ 5z2=5(z1+z2) meinst das nun so?
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> mir ist schon klar,welche Elemente in nz stecken. Eben
> verschiedene sowohl positive als auch negative Elemente der
> Menge,die ein Vielfaches von n sind. Ich rechne 5z1+
> 5z2=5(z1+z2) meinst das nun so?
Ja.
Und? Ist nun [mm] 5z_1+ 5z_2=5(z_1+z_2) [/mm] drin in [mm] 5\IZ? [/mm] Ist's ein Vielfaches von 5?
Und mit n geht's ganz genauso.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
naja,na sicherlich liegt [mm] 5\IZ [/mm] in
[mm] 5z_1+ 5z_2=5(z_1+z_2) [/mm] drin in,als ein Vielfaches von 5. Ist ja logisch.
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> naja,na sicherlich liegt [mm]5\IZ[/mm] in
> [mm]5z_1+ 5z_2=5(z_1+z_2)[/mm] drin in,als ein Vielfaches von 5.
> Ist ja logisch.
Eben.
Und mit n wird Dir das nun auch keine Mühe mehr machen, und ich bin optimistisch, daß Du auch das mit dem Inversen gebacken bekommst.
Dach können wir ja weitersehen.
Gruß v, Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
wegen dem Inversen,geht das so:?
nz1^-1 + x = 0
1\ nz1 + x = 0 |multipl. mit nz1
1+x=0
x=-1
daraus würde folgen: nz1^-1 - 1=0
ist ein negatives Element, und negative Elemente sind ja in nZ auch enthalten und wenn diese in nZ liegen,dann erst recht auch in [mm] \IZ [/mm] oder??
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Hallo,
nicht verwirren lassen...
Es stand, daß man zeigen soll, daß für alle a [mm] \in [/mm] U auch [mm] a^{-1} \in [/mm] U gilt.
[mm] "a^{-1}" [/mm] bedeutet "das Inverse bzgl der auf U definierten Verknüpfung". Die Verknüpfung auf U wurde [mm] \circ [/mm] genannt. Das hat mit der Multiplikation in [mm] \IR [/mm] nicht zu tun.
Wir haben es jetzt mit [mm] n\IZ, [/mm] einer Teilmenge von [mm] \IZ, [/mm] mit der auf [mm] \IZ [/mm] erklärten hundsgewöhnlichen Addition + zu tun.
Sei nun a:=nz [mm] \in n\IZ. [/mm]
Für welches Element x gilt denn dann 0=a+x=nz+x ??? (Nicht kompliziert denken! Wir habe es hier mit ZAHLEN zu tun.)
> wegen dem Inversen,geht das so:?
>
> nz1^-1 + x = 0
> 1\ nz1 + x = 0
Du hast im Moment keinerlei Division zur Verfügung stehen. Wir betrachten die Menge mit +.
und wenn wir 1\ nz1hätten, läge es nicht in [mm] \IZ.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 04.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Bitte Angela,könntest du mir nicht diesen Schritt verraten,indem ich beweise,dass auch das Inverse von a in nZ liegt. Ich würde mir das vielleicht nur noch so denken können: nz1^-1 + nz2^-1 = n(z1 + z2)^-1 das wäre dann ganz klar ein negatives Element,welches dann in nZ liegen kann.
Es ist so,ich muss das morgen schon gelöst haben,nur schaff ich das ohne Hilfe nicht. Aufgabe b fehlt mir auch noch. Wenn ich nur ein bisschen mehr Ahnung hätte. In der Schule war alles noch recht einfach. Das Niveau ist ganz schön angestiegen.
Zu b) hätte ich mir sowas gedacht:
Ich nehme einfach mal an,es existiere noch eine andere Untergruppe neben solcher,die genau aus das Vielfache einer Zahl besteht. Also Gegenbeweis führen.Aussagen kann man ja mittels Gegenbeisp.verwerfen.
Bsp: wenn n= 1/2 ist --> {1/2z | [mm] z\in\IZ} [/mm] (z ungleich: 0,2,4,6,8...(gerade Zahlen))
1/2z kein Element von [mm] \IZ [/mm] ist ein Widerspruch, da ganz egal,was man für einen Wert für z einsetzen würde keine ganze Zahl rauskommen würde.
Wenn z=3 1/2*3 kein Element [mm] \IZ [/mm] --> Widerspruch 3/2 kein Element von [mm] \IZ
[/mm]
daraus würde folgen,es existiere nur solche Untergruppen die genau aus ein Vielfaches einer Zahl bestehen. Bitte verrate mir wie das gehen soll,sonst bin ich morgen aufgeschmissen.Bitte,bitte.LG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> könntest du mir nicht diesen Schritt
> verraten,indem ich beweise,dass auch das Inverse von a in
> nZ liegt.
Hallo,
ich habe Dir das bereits "verraten", jedenfalls nahezu.
Du mußt natürlich das, was ich schreibe, auch lesen und nicht bloß anschauen.
Ich kann auch nicht verstehen, daß Du wieder meine Frage nicht beantwortet hast. Ich stelle die doch nicht ohne Grund.
Ich zitiere mich:
"Es stand, daß man zeigen soll, daß für alle a $ \in $ U auch $ a^{-1} \in $ U gilt.
$ "a^{-1}" $ bedeutet "das Inverse bzgl der auf U definierten Verknüpfung". Die Verknüpfung auf U wurde $ \circ $ genannt. Das hat mit der Multiplikation in $ \IR $ nichts zu tun.
Wir haben es jetzt mit $ n\IZ, $ einer Teilmenge von $ \IZ, $ mit der auf $ \IZ $ erklärten hundsgewöhnlichen Addition + zu tun.
Sei nun a:=nz $ \in n\IZ. $
Für welches Element x gilt denn dann 0=a+x=nz+x ??? (Nicht kompliziert denken! Wir haben es hier mit ZAHLEN zu tun.)"
> In der
> Schule war alles noch recht einfach. Das Niveau ist ganz
> schön angestiegen.
Ja, natürlich!
>
> Zu b) hätte ich mir sowas gedacht:
> Ich nehme einfach mal an,es existiere noch eine andere
> Untergruppe neben solcher,die genau aus das Vielfache einer
> Zahl besteht. Also Gegenbeweis führen.
Ja, so könntest Du das machen.
Du würdest annehmen, daß es eine Untergruppe gibt, die nicht die besagte Gestalt hat, und würdest das zu einem Widerspruch führen.
> Aussagen kann man ja
> mittels Gegenbeisp.verwerfen.
> Bsp: wenn n= 1/2 ist --> {1/2z | [mm]z\in\IZ}[/mm] (z ungleich:
> 0,2,4,6,8...(gerade Zahlen))
> 1/2z kein Element von [mm]\IZ[/mm] ist ein Widerspruch, da ganz
> egal,was man für einen Wert für z einsetzen würde keine
> ganze Zahl rauskommen würde.
Dies wäre nicht so gelungen.
Was tust Du? Du willst zeigen, daß jede Untergruppe die gestalt [mm] m\IZ [/mm] hat.
Nun nimmst Du eine Menge, die noch nichteinmal Teilmenge von [mm] \IZ [/mm] ist, und stellst fest, daß sie keine Teilmenge von [mm] \IZ [/mm] ist.
Was soll dadurch bewiesen sein? Bestimmt nicht, daßjede Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] nur aus den Vielfachen einer natürlichen Zahl bestehen kann.
Das muß man etwas geschickter angehen.
Nimm an, H wäre eine Untergruppe v. [mm] \IZ.
[/mm]
Dann ist H eine Teilmenge von [mm] \IZ, [/mm] und es gibt in H ein kleinstes positives Element m.
Überlege Dir, daß [mm] m\IZ [/mm] eine Untergruppe von H ist.
Nun ist noch zu zeigen
[mm] H\subseteq [/mm] m [mm] \IZ.
[/mm]
Die kann man per Widerspruch machen.
Nimm an, daß es ein [mm] h\in [/mm] H gibt, welches nicht in [mm] m\IZ [/mm] liegt.
Dieses h kann man dann schreiben als h=mz+r mit [mm] z\in \IZ [/mm] und 0<r<m.
Hieraus kannst Du ein Widerspruch dazu erzeigen, daß m das kleinste Element von H ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 04.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
Ich hab mal ne Frage dazu.
>>Nimm an, H wäre eine Untergruppe v. $ [mm] \IZ. [/mm] $
Dies ist mir noch klar.
>>Dann ist H eine Teilmenge von $ [mm] \IZ, [/mm] $ und es gibt in H ein kleinstes positives Element m. Überlege Dir, daß $ [mm] m\IZ [/mm] $ eine Untergruppe von H ist.
Ist das kleinste pos. El. m das Gleiche m wie dieses m: $ [mm] m\IZ [/mm] $
Da hakt es bei mir aus.
Also ich versteh ja dass es ein kleinste pos. Element geben muss da wir uns ja in $ [mm] \IZ. [/mm] $ befinden und das ja eigentlich 1 ein soll (0 ist ja ausgeschlossen).
h ist als der Wert von m$ [mm] \IZ. [/mm] $ def.
dies leitet zur WA dass ein m geben soll dass in H liegt aber nicht in m$ [mm] \IZ. [/mm] $
>>Dieses h kann man dann schreiben als h=mz+r mit $ [mm] z\in \IZ [/mm] $ und 0<r<m.
Bei dieser Darstellung von h ist dann endgültig Schluss.
h = mz (soll ja für die Teilmenge stehen $ [mm] m\IZ [/mm] $)
aber wieso addiert man eine Zahl r dazu?
Schöne Grüße
Sabrina
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> >>Nimm an, H wäre eine Untergruppe v. [mm]\IZ.[/mm]
> Dies ist mir noch klar.
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> >>Dann ist H eine Teilmenge von [mm]\IZ,[/mm] und es gibt in H ein
> kleinstes positives Element m. Überlege Dir, daß [mm]m\IZ[/mm] eine
> Untergruppe von H ist.
>
> Ist das kleinste pos. El. m das Gleiche m wie dieses m:
> [mm]m\IZ[/mm]
> Da hakt es bei mir aus.
Hallo,
ja, das soll dasselbe m sein.
Was verstehst Du daran nicht? Wenn m in H liegt, sind doch auch alle ganzz. Vielfachen von m in H.
> Also ich versteh ja dass es ein kleinste pos. Element
> geben muss da wir uns ja in [mm]\IZ.[/mm] befinden und das ja
> eigentlich 1 ein soll (0 ist ja ausgeschlossen).
Nein, H ist eine Teilmenge von [mm] \IZ, [/mm] da könnte das kleinste positive Element >1 sein.
> h ist als der Wert von m[mm] \IZ.[/mm] def.
???
h soll in H \ [mm] m\IZ [/mm] sein.
> dies leitet zur WA
Was ist WA?
> dass ein m geben soll dass in H liegt
> aber nicht in m[mm] \IZ.[/mm]
Wieso? m liegt natürlich in [mm] m\IZ.
[/mm]
>
> >>Dieses h kann man dann schreiben als h=mz+r mit [mm]z\in \IZ[/mm]
> und 0<r<m.
> Bei dieser Darstellung von h ist dann endgültig Schluss.
da h kein Vielfaches ist v. m kann man es schreiben als "(Vielfaches von m) + Rest".
> h = mz (soll ja für die Teilmenge stehen [mm]m\IZ [/mm])
> aber
> wieso addiert man eine Zahl r dazu?
Weil h [mm] \not\in m\IZ.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 04.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Ok jetzt ist mir einiges klar geworden, aber nicht alles.
Ich hab mal versucht das an einem Bsp. zu verstehen:
ich nehm einfach mal m=3 mit $ [mm] m\in\IN [/mm] $ und mit $ [mm] H=m\IZ. [/mm] $
3*1 = 3
3*2 = 6
...
damit dieses nicht mehr im $ [mm] m\IZ. [/mm] $
zähle man den "rest" dazu
also 3+r
aber wie soll man den rest wählen (0<r<m) hier: (0<r<3)
kleinste m wäre ja 3 in H
ich denke r müsste dann eine ganzzahlige Zahl sein. also z.b 1
dann war im 3+1 = 4, dies liegt dann nicht mehr in $ [mm] 3\IZ. [/mm] $ aber das ist doch dann gar kein Widerspruch mehr.
schöne Grüße
btw:(WA ist wiederspruchsannahme)
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> Ok jetzt ist mir einiges klar geworden, aber nicht alles.
>
> Ich hab mal versucht das an einem Bsp. zu verstehen:
>
> ich nehm einfach mal m=3 mit [mm]m\in\IN[/mm] und mit [mm]H=m\IZ.[/mm]
Hallo,
ich glaube, Dein Problem ist, daß Du nicht verstanden hast, was gezeigt werden soll.
Gezeigt werden soll: wenn H eine Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] ist, gibt es ein m mit [mm] H=m\IZ.
[/mm]
In Worten: jede Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] besteht genau aus den Vielfachen irgendeiner natürlichen Zahl.
Andere Untergruppen gibt es nicht. ( In a. wurde bereits gezeigt, daß z.B. [mm] 2\IZ, 5\IZ, 157\IZ [/mm] Untergruppen sind)
Noch mal kurz die Beweisskizze:
Nach Voraussetzung sei H Untergruppevon [mm] \IZ.
[/mm]
Dann gibt es ein kleinstes pos. Element m in H.
Es ist [mm] m\IZ [/mm] Untergruppe von H.
Nun muß man noch zeigen: H [mm] \subseteq m\IZ.
[/mm]
Dies soll durch Widerspruch geschehen.
Ich nehme also an, daß es ein [mm] h\in [/mm] H \ [mm] m\IZ [/mm] gibt.
Diese h ist kein Vielfaches von m.
Und das führt man dann zum Widerspruch - nämlichzum Widerspruch dazu, daß die 3 das kleinste Element in H ist.
Woraus man dann schließt: also gibt es solch ein Element, welches nicht ein Vielfaches des kleinsten Elementes ist, nicht in H.
Gruß v. Angela
>
> 3*1 = 3
> 3*2 = 6
> ...
> damit dieses nicht mehr im [mm]m\IZ.[/mm]
> zähle man den "rest" dazu
> also 3+r
> aber wie soll man den rest wählen (0<r<m) hier: (0<r<3)
> kleinste m wäre ja 3 in H
> ich denke r müsste dann eine ganzzahlige Zahl sein. also
> z.b 1
Wenn die kleinste pos.Zahl in H die 3 ist, ist [mm] 3\IZ [/mm] Teilmenge von H.
Wenn man ein Element aus wählt, welches nicht in [mm] 3\IZ [/mm] liegt, hat das die Gestalt
3k+1 oder 3k+2.
Und dies führt man nun zum Widerspruch dazu, daß es in H liegt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:04 So 04.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Angela, könntest du uns nach dem vielen Hin und Her nicht einfach die Lösung mal verraten? So einfach machst du das einen nicht,stimmts? Wir sind doch erst Neueinsteiger. So würde man das sicher auch eher alles nachvollziehen können.Lg
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> Angela, könntest du uns nach dem vielen Hin und Her nicht
> einfach die Lösung mal verraten? So einfach machst du das
> einen nicht,stimmts? Wir sind doch erst Neueinsteiger. So
> würde man das sicher auch eher alles nachvollziehen
> können.
Hallo,
ich wiederhole mich: ich habe die Lösung nahezu "verraten".
Wenn ich nicht wollte, daß Du die Lösung findest, hätte ich vieles nicht geschrieben.
Ich habe mir in diesem Thread ja fast die Finger wundgeschrieben...
Nach wie vor warte ich noch auf die Antwort auf meine Frage nach dem Inversen.
Ich habe inzwischen ja auch den Beweis zu der anderen Teilaufgabe recht ausführlich geschildert.
Insofern habe ich den Eindruck, daß ich es Dir schon recht einfach mache.
Ich weiß, daß Du Anfänger bist. Wärest Du kein Anfänger, hättest Du nicht diese Aufgabe und hätte ich Dir vieles hier nicht erklären müssen.
Möglicherweise sind meine Intention und Deine einfach etwas verschieden. Mein Ziel ist es, Verständnis für das zu wecken, was in den Aufgaben verlangt wird, Mißverständnisse zu klären, Denkanstöße und Tips, welche zur Lösung der Aufgaben führen können, zu geben, Brücken zu bauen. Ich sehe meine Aufgabe allerdings nicht darin, termingerecht Lösungen zu liefern.
Gruß v. Angela
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Respekt an Angela fuer den Aufwand und die Geduld :)
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 06.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Guten Abend,
Erst mal großes Dankeschön an dich Angela, dass du dir so viel Mühe mit uns machst. Danke :)
zu a.)
3 Axiome müssen bewiesen werden:
- Neutrales Element: dass das e aus [mm] \IZ \in [/mm] n [mm] \IZ
[/mm]
- [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} \in n\IZ
[/mm]
- es gibt ein Inverses : [mm] z^{-1}
[/mm]
- [mm] \exists [/mm] z [mm] \in n\IZ [/mm] mit z + [mm] z_{1} [/mm] = z [mm] \forall [/mm] z [mm] \in n\IZ
[/mm]
z+1=z => [mm] z_{1}=e=1
[/mm]
- [mm] \forall [/mm] z [mm] \in n\IZ [/mm] sodass
z + [mm] z_{2}=e
[/mm]
z + [mm] z_{2}=1
[/mm]
z = [mm] -z_{2} [/mm] => [mm] z_{2}=-z [/mm]
- [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} \in n\IZ
[/mm]
[mm] nz_{1} [/mm] +n [mm] z_{2}= n(z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}) \in n\IZ
[/mm]
Bitte mal um Korrektur. So hätt ich mir die erst Aufg. vorgestellt.
schöne Grüße
Sabrina
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> zu a.)
> 3 Axiome müssen bewiesen werden:
> - Neutrales Element: dass das e aus [mm]\IZ \in[/mm] n [mm]\IZ[/mm]
Hallo,
eigentlich geht es in der ersten Bedingung in erster Linie darum, daß die betrachtete Teilmenge nichtleer ist.
Aber es ist natürlich ziemlich clever, wenn man gleich nachguckt, ob das neutrale Element der Gruppe drin liegt - falls nicht, kann man den Stift beiseite legen.
> - [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2} \in n\IZ[/mm]
Für alle [mm] z_1, z_2 \in n\IZ [/mm] muß das glten.
Das ist die Abgeschlossenheit.
> - es gibt ein Inverses : [mm]z^{-1}[/mm]
Du meinst wahrscheinlich das Richtige, aber es ist nicht richtig ausgedrückt.
Daß es zu jedem [mm] z\in n\IZ [/mm] ein Inverses in [mm] \IZ [/mm] gibt, steht völlig außer Frage.
Die Frage ist: liegt dieses Inverse in der betrachteten Teilemenge, ist also [mm] z^{-1} \in n\IZ?
[/mm]
Zum neutralen Element:
> - [mm]\exists[/mm] z [mm]\in n\IZ[/mm] mit z + [mm]z_{1}[/mm] = z [mm]\forall[/mm] z [mm]\in n\IZ[/mm]
zu zeigen:
[mm] \exists[/mm] [/mm] z [mm]\in n\IZ[/mm] [mm] \forall z_1[/mm] [mm]\in n\IZ[/mm]: z + [mm]z_{1}[/mm] = z
Welches das neutrale Element ggf. ist, steht außer Frage: das neutrale Element der Obermenge bzw. Obergruppe.
Die Frage ist: liegt dieses Element auch in [mm] n\IZ?
[/mm]
Da Du der Meinung bist, daß ds neutrale Element die 1 ist, müßtest Du untersuchen, ob [mm] 1\in n\IZ.
[/mm]
Du würdest bitter enttäuscht werden! Nur für n=1 liegt die 1 da drin, sonst nicht.
Was nun?
> z+1=z => [mm]z_{1}=e=1[/mm]
Das ist doch Unfug!
Wir sind in den ganzen Zahlen, welches ist denn da das neutrale Element bzgl. der Addition? Und ist das in [mm] n\IZ?
[/mm]
Aufmerke: wir betrachten die Addition! Wir interessieren uns folglich für das neutrale Element bzgl. der Addition und später für die Inversen bzgl. +.
Zum Inversen:
>
> - [mm]\forall[/mm] z [mm]\in n\IZ[/mm]
gibt es ein [mm] z_2 \in [/mm] nIZ
>sodass
> z + [mm]z_{2}=e[/mm]
> z + [mm]z_{2}=1[/mm]
> z = [mm]-z_{2}[/mm] => [mm]z_{2}=-z[/mm]
Diese Passage solltest Du unter Hinblick auf das oben Gesagte nochmal prüfen.
Auch hier ist die Interessante Frage: ist das Inverse in [mm] n\IZ?
[/mm]
Abgeschlossenheit:
> - [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2} \in n\IZ[/mm]
> [mm]nz_{1}[/mm] +n [mm]z_{2}= n(z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}) \in n\IZ[/mm]
Das ist richtig so.
Gruß v. Angela
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