Untergruppen alternierender Gr < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:30 Di 30.09.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | | Listen Sie alle Untergruppen der alternierenden Gruppe [mm] A_{4} [/mm] auf und begründen Sie ihre Liste. |
Liebe Mathefreunde,
ich hab schon wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme. Irgendwie sind mir der Satz von Lagrange etc. noch nicht ganz geheuerlich.
Kann mir jemand dies noch ein bissl erklären???
Also bei der Liste bin ich bis jetzt so weit:
Es gibt insgesamt folgende mögliche Ordnungen von Untergruppen von [mm] A_{4}:
[/mm]
1,2,3,4,6,12
Die Ordnung 1 besteht aus diesem Element: {e}
Ordnung 12: alle Elemente des [mm] A_{4} [/mm] - insgesamt 12 Elemente
Ordnung 2 : (da Primzahl zyklische Untergruppe??) (12), (13), (14), (23), ... alle Zweierzyklen also
Ordnung 3: (234), (243), ... alle Dreierzyklen
Ordnung 4 : ???
Ordnung 6: ???
Kann mir jemand sagen ob mein Ansatz richtig ist?
Und wie bestimme ich Ordnung 4 und 6?
Wie kann ich diese Liste dann noch begründen?
Liebe Grüße und vielen, vielen Dank
Kittycat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 30.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
es gibt folgende Untergruppen:
Ordnung 1:
{e}
Ordnung 2:
{id, (12)(34)}
{id, (13)(24)}
{id,(14)(23)}
Ordnung 3:
{id, (243), (234)}
{id,(142),(124)}
{id, (134),(143)}
{id,(123),(132)}
Ordnung 4
{id, (12)(34),(13)(24),(14)(23)}
Ordnung 6
hier gibt es keine. Begründnung?
Ordnung 12
[mm] A_4 [/mm] selbst
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 30.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
wie kann man begründen, dass es zur Ordnung 6 keine Untergruppe gibt?
Ich mein wenn man die anderen alle hat, ist es klar, dass es nicht noch mehr geben kann, weil sobald man ein Element dazufügt, erhält man ja wieder eine Untergruppe die schon aufgelistet ist.
Wie kann man das zeigen ohne alle Möglichkeiten durchgehen zu müssen?
Da gibt es bestimmt noch einen andren Weg, oder?
Wäre super, wenn jemand weiter weiß!! 
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mi 01.10.2008 | | Autor: | statler |
Moinsen!
> wie kann man begründen, dass es zur Ordnung 6 keine
> Untergruppe gibt?
Vielleicht so: Es gibt nur 2 Gruppen der Ordnung 6, die zyklische und die S3. Die zyklische kann es nicht sein, weil es in A4 kein Element der Ordnung 6 gibt. Und die S3 kann es auch nicht sein, weil sie ungerade Permutationen enthält, A4 aber nur aus geraden besteht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine Antwort! Woher weißt du aber dass es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt??
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 01.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Woher weißt du aber dass es nur 2
> Gruppen der Ordnung 6 gibt??
Das weiß ich, weil ich alle Gruppen bis zur Ordnung 8 persönlich kenne. Es ist aber auch eine nicht allzu schwere Aufgabe, sich das selbst herzuleiten. Das kann man durch Probieren lösen (wie Sudoku) oder auch durch Anwendung von Sätzen aus der Gruppentheorie.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo Dieter,
woher weiß man a priori, dass die einbettungen der [mm] $S_3$ [/mm] in die [mm] $S_4$ [/mm] das signum der permutation erhält? die [mm] $S_3$ [/mm] könnte ja in gewissem sinne "ganz schief" in die [mm] $S_4$ [/mm] eingebettet werden (ok bei der [mm] $S_4$ [/mm] kann man das ja noch recht direkt sehen, aber wie sieht das bei der [mm] $S_n$ [/mm] für größeres $n$ aus)?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Di 07.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Andreas,...
> woher weiß man a priori, dass die einbettungen der [mm]S_3[/mm] in
> die [mm]S_4[/mm] das signum der permutation erhält? die [mm]S_3[/mm] könnte
> ja in gewissem sinne "ganz schief" in die [mm]S_4[/mm] eingebettet
> werden (ok bei der [mm]S_4[/mm] kann man das ja noch recht direkt
> sehen, aber wie sieht das bei der [mm]S_n[/mm] für größeres [mm]n[/mm] aus)?
...da hast du völlig recht. Mein Text oben ist so erstmal zu allgemein formuliert, weil das eben in diesem speziellen und niedrigdimensionalen Fall auch so ist, was mich verleitet hat. Meine aktueller Verdacht ist eher, daß man [mm] S_{n} [/mm] nicht in [mm] A_{n+1} [/mm] einbetten kann. Aber man findet [mm] S_{2} [/mm] in [mm] A_{4} [/mm] wieder. Auch [mm] S_{3} [/mm] in [mm] A_{5}? [/mm] Das weiß ich so schnell nicht(, für die Ikosaeder-Gruppe sind Felix Klein, Jacques Tits und Peter Slodowy zuständig).
Vielleicht sollten wir für solche Fälle ein spezielles Forum einrichten. Vor einiger Zeit hatten wir hier eine Frage zur Irredzubilität eines Polynoms, die auch ungelöst geblieben ist.
Diesen Fall nehme ich mal zu meinen Akten, vielleicht fällt mir noch was ein.
Danke für deine Kritik
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 08.10.2008 | | Autor: | andreas |
Hallo Dieter,
vielleicht sollten wir einen neuen thread aufmachen, falls dies noch eine längere diskussion gibt, damit wir kittycats und Rileys thread nicht zumüllen?
auf jeden fall interessante fragen, die du stellst.
ich vermute die einbettung [mm] $S_{n-2} \longrightarrow A_n$ [/mm] ist möglich, in dem man die permutationen einfach auf den ersten $n - 2$ ziffern wirken lässt und durch die restlichen ziffern die signatur ausgleicht, also [mm] $\tau \longmapsto \tau$, [/mm] falls [mm] $\textrm{sgn}(\tau) [/mm] = 1$ und [mm] $\tau \longmapsto \tau \; [/mm] (n-1 [mm] \; [/mm] n)$, falls [mm] $\textrm{sgn}(\tau) [/mm] = -1$. dies sollte wohldefiniert sein, da [mm] $\textrm{sgn}$ [/mm] ein homomorphismus (und ungerade permutationen gerade ordnung haben). bei der frage, ob man [mm] $S_{n - 1}$ [/mm] nach [mm] $A_n$ [/mm] für hinreichend großes $n$ einbetten kann, bin ich noch nicht wirklich weitergekommen. das erste was einem als störend auffällt, sind natürlich die $n - 1$-zykel. mit obiger konstruktion könnte man vielleicht auf die idee kommen, diese in irgendeiner form zu zerlegen, etwa einen $10$-zykel auf eine produkt einer transposition und eines $5$-zykels abzubilden, was ja in einer $A_11$ noch mit ausgleich der signatur möglich wäre (in dem man noch eine weitere transpostion anfügt), jedoch befürchte ich, dass man sowas nicht homomorph auf die ganze gruppe ausdehnen kann. allerdings ist mir noch kein vernünftiges argument eingefallen, wie man das zeigen kann.
ich werde mal weiter drüber nachdenken, würde mich aber natürlich über andere ideen freuen.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Welche Untergruppen der alternierenden Gruppe [mm] A_4 [/mm] sind zueinander konjugiert und welche sind Normalteiler?
(Im Falle des Normalteilers auch Isomorphieklasse der Quotientengruppe angeben) |
Hallo,
ich habe nun doch nochmal eine Frage zu diesen ganzen Untergruppen die in vorigem Post aufgelistet sind.
Also die Definitionen zu "konjugiert" und "Normalteiler" hab ich:
Zwei Elemente a und b einer Gruppe G heißen konjugiert, falls es ein Element c [mm] \in [/mm] G gibt mit [mm] b=cac^{-1}.
[/mm]
Hier ist das konjugiert ja nur für zwei Elemente einer Gruppe definiert. Sind zwei Untergruppen dann konjugiert, wenn es für alle Elemente zutrifft?
Wie kann man das sehen ohne alles "von Hand" durchzuprobieren?
Sei U eine Untergruppe von G, dann ist U ein Normalteiler genau dann, wenn [mm] \for [/mm] all a [mm] \in [/mm] G: a U [mm] a^{-1} [/mm] = U gilt, bzw. wenn [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G gilt: aU=Ua.
Hier eigentlich die gleiche Frage, wie kann man diese Definition anwenden? Gibt es da einen Trick dabei oder wie man am besten anfängt?
Viele Grüße & Danke für alle Hilfe,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Welche Untergruppen der alternierenden Gruppe [mm]A_4[/mm] sind
> zueinander konjugiert und welche sind Normalteiler?
> (Im Falle des Normalteilers auch Isomorphieklasse der
> Quotientengruppe angeben)
>
> ich habe nun doch nochmal eine Frage zu diesen ganzen
> Untergruppen die in vorigem Post aufgelistet sind.
> Also die Definitionen zu "konjugiert" und "Normalteiler"
> hab ich:
>
> Zwei Elemente a und b einer Gruppe G heißen konjugiert,
> falls es ein Element c [mm]\in[/mm] G gibt mit [mm]b=cac^{-1}.[/mm]
>
> Hier ist das konjugiert ja nur für zwei Elemente einer
> Gruppe definiert. Sind zwei Untergruppen dann konjugiert,
> wenn es für alle Elemente zutrifft?
genau. zwei untergruppen $U$ und $V$ sind genau dann konjugiert, wenn es ein $c [mm] \in [/mm] G$ gibt mit [mm] $cUc^{-1} [/mm] = [mm] \{cuc^{-1} : u \in U\} [/mm] = V$.
> Wie kann man das sehen ohne alles "von Hand"
> durchzuprobieren?
sagen dir die sylowsätze etwas? wenn dem so ist kannst du dir zumindest für eine ordnung die rechnung komplett sparen. überlege dir auf jeden fall, dass konjugierte untergruppen die gleiche ordnung haben müssen. außerdem schneiden sich die verschiedenen untergruppen der ordnung $2$ nur im neutralen element, genauso für die verschiedenen untergurppen der ordnung $3$.
nun probiere doch mal eine untergruppe der ordnung $2$ mit einem $3$-zykel zu konjugieren. wo landet diese?
> Sei U eine Untergruppe von G, dann ist U ein Normalteiler
> genau dann, wenn [mm]\for[/mm] all a [mm]\in[/mm] G: a U [mm]a^{-1}[/mm] = U gilt,
> bzw. wenn [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G gilt: aU=Ua.
> Hier eigentlich die gleiche Frage, wie kann man diese
> Definition anwenden? Gibt es da einen Trick dabei oder wie
> man am besten anfängt?
warum kann eine untergruppe, welche zu einer anderen konjugiert ist, kein normalteiler sein? welche untergruppen bleiben dann als kandidaten? diese frage beantwortet sich fast wie von selbst, wenn du die frage beantwortet hast, welche untergruppen zueinander konjugiert sind.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Andreas,
vielen Dank für deine Tipps. Ja, die Sylowsätze darf ich benutzen.
Ich hab mal vrsucht eine Untergruppe der ordnung 2 mit einem 3-zykel zu konjugieren, aber ich weiß nicht, funktioniert das so ?
(1 3 4)(1 2)(3 4)(1 4 3) = (4 3 2 1)
(1 3 4) id (1 4 3) = id
Oder wie muss ich das machen? (sorry, für mich ist das alles wirklich sehr abstrakt, aber ich würde es echt gerne verstehen...)
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> vielen Dank für deine Tipps. Ja, die Sylowsätze darf ich
> benutzen.
pberlege dir mal, bei welcher untergruppenordnung dir das helfen könnte (für welche ordnungen kann man aussagen mit hilfe der sylowsätze treffen?)?
> Ich hab mal vrsucht eine Untergruppe der ordnung 2 mit
> einem 3-zykel zu konjugieren, aber ich weiß nicht,
> funktioniert das so ?
>
> (1 3 4)(1 2)(3 4)(1 4 3) = (4 3 2 1)
nein, dass kann nicht sein. wenn man ein element von einem bestimmten typ konjugiert (hier (. .)(. .)), so muss man wieder etwas vom selben typ erhalten. ich vermute ihr rechnte bei permutationen einfach von links nach rechts? überlege dir einfach, was mit den einzelnen ziffern passiert, zum beispiel für die $1$ erhälst du unter $(1 3 4)(1 2)(3 4)(1 4 3)$:
$1 [mm] \stackrel{(1 3 4)}{\longmapsto} [/mm] 3 [mm] \stackrel{(1 2)}{\longmapsto} [/mm] 3 [mm] \stackrel{(3 4)}{\longmapsto} [/mm] 4 [mm] \stackrel{(1 4 3)}{\longmapsto} [/mm] 3$
mach das nun auch mit den weiteren ziffern, was erhälst du dann?
> (1 3 4) id (1 4 3) = id
das passt.
grüße
andreas
|
|
|
|
