Untergruppen enumerieren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Sa 11.08.2007 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | Betrachten Sie die multiplikative Gruppe [mm] $G=<\IZ_{10}^*,\odot>.$
[/mm]
a) Geben Sie die Elemente von G an. Ist G zyklisch?
b) Geben Sie alle Untergruppen von G an (mit Begründung warum es alle sind).
c) Gibt es ein n, so dass $G [mm] \cong <\IZ_n,\oplus>$? [/mm] Falls ja, geben Sie n und den Isomorphismus an, falls nein, beweisen Sie es.
d) Gibt es einen Homomorphismus [mm] $\psi: [/mm] G [mm] \go <\IZ_8,\oplus>$ [/mm] mit [mm] $\psi(7)=4$? [/mm] Falls ja geben Sie einen an, falls nein, beweisen Sie es. |
Hallo zusammen,
Bei a) komm ich klar, allerdings hab ich mit b) schwierigkeiten.
Ich bekomme:{1},{1,3,7,9},{1,9},{1,3,7}
1. Problem: Gemäss Lagrange sollte ja die Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilen, also muss die letzte Untergruppe falsch sein. Warum? Sie ist doch mit der mult. modulo 10 abgeschlossen!!?
2. Problem: Wie weiss ich dass es alle sind? Gibt es da irgendeinen schönen Satz den ich nicht finde?
Danke, Setine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Gilga |
1.) {1,3,7} abgeschlossen? 3*3=9!
2.) Du hast 4 mögliche erzeugende Elemente ... einfach ausprobieren.
1: 1
3: 3,9,7,1
7: 7,9,3,1
9: 9,1
mehr kanns nicht geben.
Ich glaub es gibt keine Formel um vorher die Untergruppenanzahl zu bestimmen am z.B. mit Langrage Kandidaten ausschließen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 12.08.2007 | | Autor: | setine |
Lol, danke! Hab ganz vergessen dass die Elemente mit sich selber multipliziert auch drin sein müssen ;)
Ich hab mir die Untergruppen durch ausprobieren der verschiedenen Kombinationen und schauen ob sie abgeschlossen sind ertüftelt, aber du scheinst hier einfach die Untergruppen(?) zu nehmen, welche von jedem Element in der Ursprungsgruppe generiert werden.
Ist das etwa immer so? Also dass jede mögliche Untergruppe von einem Element der Gruppe generiert wird?
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> Ich hab mir die Untergruppen durch ausprobieren der
> verschiedenen Kombinationen und schauen ob sie
> abgeschlossen sind ertüftelt, aber du scheinst hier
> einfach die Untergruppen(?) zu nehmen, welche von jedem
> Element in der Ursprungsgruppe generiert werden.
> Ist das etwa immer so? Also dass jede mögliche Untergruppe
> von einem Element der Gruppe generiert wird?
Hallo,
[mm] <\IZ_{10}^{\*},\odot> [/mm] ist doch zyklisch,
und man weiß, daß Untergruppen zyklischer Gruppen zyklisch sind.
Von daher bleibt einer Untergruppe von [mm] <\IZ_{10}^{\*},\odot> [/mm] überhaupt nichts anderes übrig, als von einem Element von [mm] <\IZ_{10}^{\*},\odot> [/mm] erzeugt zu werden.
Es kommen als Untergruppen also überhaupt nur <1>, <3>, <7>, <9> infrage, und die Kunst ist, daß man gleiche Untergruppen aussortiert.
Wenn man größere zyklische Gruppen vorliegen hat, ist es hilfreich zu wissen, daß es zu jedem Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe der entsprechenden Ordnung gibt.
Die Anzahl der Untergruppen bekommt man in diesem Fall also durch Abzählen der Teiler.
Machen wir's mal: [mm] ord(<\IZ_{10}^{\*},\odot>)=4, [/mm] die Teiler von 4 sind 1,2,4. Also gibt es drei Untergruppen - welche Du längst gefunden hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mo 13.08.2007 | | Autor: | setine |
Wow, vielen Dank für die ausführliche Antwort Angela!
Hab ich wieder was dazugelernt.
Gruss, Setine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zuzy |
> Machen wir's mal: [mm]ord(<\IZ_{10}^{\*},\odot>)=4,[/mm] die
> Teiler von 4 sind 1,2,4. Also gibt es drei Untergruppen -
> welche Du längst gefunden hast.
Hallo Angela,
mal eine (vermutlich sehr triviale) Rückfrage auf deine Antwort.
Ordnung einer Gruppe ist doch die Anzahl ihrer Elemente oder? Ich verstehe nicht warum dann [mm] Z_{10} [/mm] die Ordnung 4 hat obwohl die Gruppe doch 10 Elemente hat.
Wäre für eine kurze Antwort dankbar.
Grüße
Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi Maria und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Machen wir's mal: [mm]ord(<\IZ_{10}^{\*},\odot>)=4,[/mm] die
> > Teiler von 4 sind 1,2,4. Also gibt es drei Untergruppen -
> > welche Du längst gefunden hast.
>
> Hallo Angela,
>
> mal eine (vermutlich sehr triviale) Rückfrage auf deine
> Antwort.
> Ordnung einer Gruppe ist doch die Anzahl ihrer Elemente
> oder? Ich verstehe nicht warum dann [mm]Z_{10}[/mm] die Ordnung 4
> hat obwohl die Gruppe doch 10 Elemente hat.
[mm] \IZ_{10}^{\*} [/mm] ist eine multiplikative Gruppe und hat die Ordnung 4 (der hochgestellte Stern ist wichtig)
[mm] \IZ_{10} [/mm] ist eine additive Gruppe und hat die Ordnung 10.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zuzy |
> [mm]\IZ_{10}^{\*}[/mm] ist eine multiplikative Gruppe und hat die
> Ordnung 4 (der hochgestellte Stern ist wichtig)
> [mm]\IZ_{10}[/mm] ist eine additive Gruppe und hat die Ordnung 10.
argh ok das war mir noch nicht so über den Weg gelaufen ... hab jetzt nochmal genaueres über die multiplikative Gruppe nachgelesen und nun ist es mir klar.
Dankeschön!
Grüße
Maria
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