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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Do 31.03.2005 | | Autor: | Jackson |
Guten Morgen,
ich habe da ein Problem mit der formal korekten Bestimmung eines Unterraums. Z.B. bei der Aufgabe:
Sei [mm] V=\IR³. [/mm] Zeige, dass die Menge U:={(x,y,z)/ x,y,z [mm] \in \IR, [/mm] x+y-z=0} ein Unterraum von V ist.
Als erstes muss ich doch zeigen, dass die Menge [mm] U\not=\emptyset [/mm] ist. Das ist doch einfach durch die null schon gegeben:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }= [/mm] 0+0-0=0.
Aber dann weiß ich auch schon nicht so recht weiter. Ich weiß, dass laut Def. eines Unterraumes noch [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v}\inU [/mm] und [mm] r*\vec{u} \inU \forall \vec{u},\vec{v} \inV [/mm] , [mm] r\in\IR. [/mm]
Meine Idee lautet:
Seinen [mm] \vec{x}\vec{y} \inV [/mm] und [mm] \alpha\in\IR, [/mm] dann gilt:
[mm] \vec{x}+ \vec{y}= x_{1}+y_{1}-z_{1}+x_{2}+y_{2}-z_{2}=0
[/mm]
Aber ich denke, damit ist noch nichts gezeigt, oder? Kann mir vielleicht jemand weiter helfen? Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> ich habe da ein Problem mit der formal korekten Bestimmung
> eines Unterraums. Z.B. bei der Aufgabe:
> Sei [mm]V=\IR³.[/mm] Zeige, dass die Menge U:=m{(x,y,z)/ x,y,z [mm] \in \IR, [/mm]
> [mm] x+y-z=0\} [/mm] ein Unterraum von V ist.
> Als erstes muss ich doch zeigen, dass die Menge
> [mm]U\not=\emptyset[/mm] ist. Das ist doch einfach durch die null
> schon gegeben:
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }=[/mm] 0+0-0=0.
Ja, das ist gut so.
> Aber dann weiß ich auch schon nicht so recht weiter. Ich
> weiß, dass laut Def. eines Unterraumes noch [mm]\vec{u}[/mm] +
> [mm]\vec{v}\inU[/mm] und [mm]r*\vec{u} \inU \forall \vec{u},\vec{v} \inV[/mm]
> , [mm]r\in\IR.[/mm]
> Meine Idee lautet:
> Seinen [mm]\vec{x}\vec{y} \inV[/mm] und [mm]\alpha\in\IR,[/mm] dann gilt:
> [mm]\vec{x}+ \vec{y}= x_{1}+y_{1}-z_{1}+x_{2}+y_{2}-z_{2}=0[/mm]
Das ist nicht wirklich falsch, aber der Weg wird nicht klar.
Prinzipiell ist es so, dass die Addition zweier Elemente und
die skalare Multiplikation eines Elements aus Deinem
Unterraumwieder im Unterraum liegen muessen.
Am besten ist, Du schreibst Dir hin, was Du machst.
Hier ist Deine Schreibweise etwas verwirrend, weil Du die
Vektoren genannt hast, wie eine Komponente, die in beiden
enthalten ist.
[mm]\vec{v_1}+ \vec{v_2} = \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1 } + \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2 } = \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 }[/mm]
Jetzt musst Du zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass
[mm]x_1 + y_1 - z_1 = 0[/mm] und
[mm]x_2 + y_2 - z_2 = 0[/mm]
auch [mm](x_1+x_2) + (y_1+y_2) - (z_1+z_2) = 0[/mm] wird.
Denn das sind ja die Komponenten Deines resultierenden
Vektors, der auch im Unterraum liegen muss, wenn das ganze
ein Unterraum ist.
Mit der skalaren Multiplikation geht es genauso.
Gruss,
Monika.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Do 31.03.2005 | | Autor: | Jackson |
Danke erstmal für die Hilfe.
D.h. ich nehme zwei bel. Vektoren aus meinem Unterraum U. Bei dir [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] und zeige, dass die Addition dieser beiden Vektoren wieder in U liegt. Das gleiche mit der skalaren Multiplikation.
Das habe ich verstanden aber wie zeige ich, dass unter der Voraussetzung, dass
[mm] x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] - [mm] z_1 [/mm] = 0 und
[mm] x_2 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] - [mm] z_2 [/mm] = 0 auch
[mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] (y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] + [mm] (z_1 [/mm] + [mm] z_2) [/mm] = 0 wird. Ich habe das an dieser Stelle immer mit Beispielen gazeigt, aber das reicht natürlich nicht. Oder kann ich einfach sagen: Da [mm] x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] - [mm] z_1 [/mm] = 0 und
[mm] x_2 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] - [mm] z_2 [/mm] = 0 in U liegen, liegt auch [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] (y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] + [mm] (z_1 [/mm] + [mm] z_2) [/mm] = 0 in U, reicht das?
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Hi jackson
Du zeigst das ganz einfach so
( [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] - [mm] (z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}) [/mm] =
[mm] x_{1}+ x_{2} [/mm] + [mm] y_{1} [/mm] + [mm] y_{2} [/mm] + - [mm] z_{1} [/mm] - [mm] z_{2} [/mm] =
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] y_{1} [/mm] - [mm] z_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] y_{2} [/mm] - [mm] z_{2} [/mm] = 0
da der erste teil also der mit den eins als index gleich null ist und der zweite also der mit der 2. versuch jetzt mal analog mit der skalarmultiplikation wenns nicht klappt sag bescheid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
Damit es ganz klar wird:
> ( [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}[/mm] + [mm]y_{2})[/mm] - [mm](z_{1}[/mm] + [mm]z_{2})[/mm] =
> [mm]x_{1}+ x_{2}[/mm] + [mm]y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm] + - [mm]z_{1}[/mm] - [mm]z_{2}[/mm] =
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]y_{1}[/mm] - [mm]z_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm] - [mm]z_{2}[/mm] = 0
[mm](x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})[/mm]
[mm]=x_{1}+y_{1}-z_{1}+x_{2}+y_{2}-z_{2}[/mm]
[mm]=(x_{1}+y_{1}-z_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2})[/mm]
[mm]=0+0[/mm]
[mm]=0[/mm]
Gruss,
Monika.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Do 31.03.2005 | | Autor: | Jackson |
Danke erstmal für eure Hillfe, ich brauche immer etwas länger als andere um etwas zu verstehen.
Also für die Skalarmultiplikation würde das ja dann ungefähr so aussehen:
[mm] r*\vec{v} [/mm] = [mm] r*\vektor{x \\ y \\ z } [/mm] = r*(x + y - z) = rx + ry -rz = 0
Und mit diesen Nachweisen habe ich bewiesen, dass U ein Unterraum ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> Danke erstmal für eure Hillfe, ich brauche immer etwas
> länger als andere um etwas zu verstehen.
Na, Du weisst ja nicht, wie lange wir dafuer gebraucht haben. 
> Also für die Skalarmultiplikation würde das ja dann
> ungefähr so aussehen:
>
> [mm]r*\vec{v}[/mm] = [mm]r*\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] = r*(x + y - z) = rx +
> ry -rz = 0
Die logische Kette sieht etwas anders aus:
[mm]r*\vec{v}[/mm]
[mm]=r*\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
[mm]=\vektor{r*x \\ r*y \\ r*z }[/mm]
[mm]=r*x + r*y - r*z[/mm]
[mm]=r*(x + y -z)[/mm]
[mm]=r*0[/mm]
[mm]= 0[/mm]
> Und mit diesen Nachweisen habe ich bewiesen, dass U ein
> Unterraum ist?
Ja.
Du musst zeigen, dass
1.) U nicht leer ist
2.) Die Ergebnisse der Addition und der skalaren Multiplikation
sich genauso "verhalten", wie sie sollen, dass sie also die
geforderten Eigenschaften erfuellen.
Gruss,
Monika.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Do 31.03.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Monika!
Nur eine kleine Anmerkung zur Form:
> Die logische Kette sieht etwas anders aus:
>
> [mm]r*\vec{v}[/mm]
> [mm]=r*\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
> [mm]=\vektor{r*x \\ r*y \\ r*z }[/mm]
*
> [mm]=r*x + r*y - r*z[/mm]
> [mm]=r*(x + y -z)[/mm]
> [mm]=r*0[/mm]
> [mm]= 0[/mm]
* An dieser Stelle setzt du die Beweiskette mit einem Gleichheitszeichen fort. Das stimmt doch aber so nicht ganz oder? Denn der Verkor ist ja nicht gleich der Gleichung. Man müsste hier eher einen Folgerungspfeil oder ähnliches verwenden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo,
> Nur eine kleine Anmerkung zur Form:
>
> > Die logische Kette sieht etwas anders aus:
> >
> > [mm]r*\vec{v}[/mm]
> > [mm]=r*\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
> > [mm]=\vektor{r*x \\ r*y \\ r*z }[/mm]
>
> *
> > [mm]=r*x + r*y - r*z[/mm]
> > [mm]=r*(x + y -z)[/mm]
> > [mm]=r*0[/mm]
> > [mm]= 0[/mm]
>
> * An dieser Stelle setzt du die Beweiskette mit einem
> Gleichheitszeichen fort. Das stimmt doch aber so nicht ganz
> oder? Denn der Verkor ist ja nicht gleich der Gleichung.
> Man müsste hier eher einen Folgerungspfeil oder ähnliches
> verwenden...
du hast natuerlich voellig recht, da war ich etwas
unkonzentriert.
Danke schoen!
Gruss,
Monika.
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