Unterraum von M(nxn,IR) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Do 02.12.2010 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei f bilineare Abbildung. [mm]f: \IR^n x \IR^n \to M(nxn;\IR)[/mm] mit [mm]((x),(y))\mapsto A= (a_{ij})[/mm] und [mm]a_{ij} = x_i * y_j, x,y \in \IR^n.[/mm]
Zeige: Schon für n=2 ist Bild(f) kein Untervektorraum von M(n x [mm] n;\IR). [/mm] |
So, mal einfach den Fall n=2 hingeschrieben:
[mm]f(\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}) = \pmat{ x_1 y_1 & x_1 y_2 \\ x_2 y_1 & x_2 y_2}[/mm]
Das Bild von f ist (das sagt ja schon die Abbildungsvorschrift aus der Aufgabenstellung) der Raum der 2x2-Matrizen: [mm]M(2x2;\IR)[/mm]
Warum sollte das also kein Untervektorraum sein? Wenn ich nicht irre, sehen die Axiome folgendermaßen aus:
UVR 1) Der Untervektorraum darf nicht leer sein
UVR 2) Abgeschlossenheit bez. Addition: Die Summe zweier Elemente muss wieder im UVR enthalten sein.
UVR 3) Abgeschlossenheit bez. skalarer Multiplikation: Das Produkt aus Skalar und Element muss wiederum im UVR enthalten sein.
zu 1) Da in jedem Fall mal die Nullmatrix enthalten ist (z.B. für die Vektoren [mm] (0,x_2), (y_1 [/mm] , 0) ergibt sich immer die Nullmatrix): Erfüllt.
zu 2) Addiere ich zwei 2x2-Matrizen erhalte ich wiederum eine 2x2-Matrix, oder formal dank der Bilinearität von f:
[mm]f(a,c),f(b,c) \in M(2x2,\IR) a,b,c \in \IR^2 \Rightarrow f(a,c) + f(b,c) = f(a+b,c) \in M(2x2,\IR)[/mm]
Also auch erfüllt.
zu 3) Multipliziere ich eine 2x2-Matrix mit einem Skalar, erhalte ich wiederum eine 2x2-Matrix, jeden Eintrag mit diesem Skalar multipliziert. Wiederum dank Bilinearität von f einfach allgemein notiert für ein [mm]\lambda \in \IR[/mm], Rest wie in 2):
[mm]\lambda f(a,c) = f(\lambda a,c) \in M(2x2,\IR)[/mm]
Wo also ist mein Denkfehler? Dass es keine eindeutige Darstellung für das neutrale Element der Addition (die Nullmatrix) gibt, verwirrt mich etwas (liegt da das springende Huhn in der Tonne?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Fr 03.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast gezeigt bzw begründet , dass die Gesamtheit alle [mm] 2\times [/mm] 2 matrizen einen VR bilden. nicht aber diese speziell erstellten. bilde die matrix mit x,y, die mit z,w addiere sie. Welche Matrix derselben "Bauart" ergibt sich also welches v,r hat sie hergestellt?
du hast für den Beweis von 2 und 3 die geforderten Eigenchaften der Abb. gar nicht benutzt
Gruss leduart?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Sa 04.12.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Erst mal danke, leduart. Irgendwie hatte ich mir irgendwo zwischendurch gefolgert, dass diese Abbildung den auf den gesamten M(2x2,IR) abbildet und im weiteren Verlauf vergessen, die Eigenschaften der Abbildung zu benutzen.
> Hallo
> du hast gezeigt bzw begründet , dass die Gesamtheit alle
> [mm]2\times[/mm] 2 matrizen einen VR bilden. nicht aber diese
> speziell erstellten. bilde die matrix mit x,y, die mit z,w
> addiere sie. Welche Matrix derselben "Bauart" ergibt sich
> also welches v,r hat sie hergestellt?
> du hast für den Beweis von 2 und 3 die geforderten
> Eigenchaften der Abb. gar nicht benutzt
> Gruss leduart?
[mm]f(x,y) + f(z,w) = \pmat{x_1y_1 + z_1w_1 & x_1y_2 + z_1w_2 \\ x_2y_1 + z_2w_1 & x_2y_2 + z_2w_2}[/mm]
Tja, Vektoren v,r zu finden, mit denen die Abbildung direkt darauf abbildet ist - gelinde gesagt - nicht gerade einfach.
Die müssten ja das Gleichungssystem lösen:
[mm]v_1*r_1 = x_1y_1 + z_1w_1[/mm]
[mm]v_1*r_2 = x_1y_2 + z_1w_2[/mm]
[mm]v_2*r_1 = x_2y_1 + z_2w_1[/mm]
[mm]v_2*r_2 = x_2y_2 + z_2w_2[/mm]
Und das ist i.A. unmöglich. Glücklicherweise habe ich eine Hand voll Gegenbeispiele gefunden, brauche es also nicht mühsam nachzuweisen:
[mm]\pmat{3*y_1 + 2*w_1 & 3*(-2) + 2*3 \\ x_2y_1 + z_2w_1 & x_2(-2)+ z_2*3} = \pmat{3*y_1 + 2*w_1 & 0 \\ x_2y_1 + z_2w_1 & x_2(-2)+ z_2*3}[/mm]
Nun gibt es beliebig viele Belegungen für die restlichen Variablen, die eine Matrix mit einer 0 oben rechts und drei Einträgen ungleich 0 ergeben.
Und diese kann ich in IR niemals erreichen mit der gegebenen Abbildung f. Also kann es sich um keinen Unterraum handeln. Denn jedes Bild von f hat die Gestalt:
[mm]\pmat{x_1y_1 & x_1y_2 \\ x_2y_1 & x_2y_2}[/mm]
Ergo müsste [mm] x_1 [/mm] = 0 sein oder [mm] y_2 [/mm] = 0. Dann wäre aber auch Matrixeintrag 11 oder 22 = 0, was nach obiger Konstruktion nicht der Fall ist... (für [mm] y_1,w_1, x_2 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] ungleich 0).
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja ein einziges Gegenbeispiel reicht.
ich hab aber deines nicht überprüft.
Gruss leduart
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