Unterraum von Polynomen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mo 28.04.2008 | | Autor: | lauser |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] K_n[x] [/mm] der K-Vektorraum der Polynome f [mm] \in [/mm] K[x] mit gradf f [mm] \leq [/mm] n.
Zeigen Sie, dass die Menge
U := { f [mm] \in K_n[x] [/mm] | f(0) = f(1) = 0 }
ein Unterraum von [mm] K_n[x] [/mm] ist. Geben Sie eine Basis von U an und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm] K_n[x]. [/mm] |
Hallo Liebe Vorhelfer,
ich sitze gerade an der Aufgabe und bin mir nun nicht sicher. Zunächst muss ich zeigen, dass U ein Unterraum des Vektorraums der Polynome von grad f [mm] \leq [/mm] n ist.
Ich hätte nun gesagt, dass ich das mit dem Unterraumkritierum einfach mache. Also f, g [mm] \in [/mm] U. Z.z. auch f + g [mm] \in [/mm] U.
Dies ist erfüllt, wenn (f+g)(0) = (f+g)(1) = 0 ist. Offensichtlich ist (f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 = f(1) + g(1) = (f+g)(1), also ist f+g [mm] \in [/mm] U.
Zudem sei [mm] \lambda \in [/mm] K. Z.z. [mm] \lambda [/mm] f [mm] \in [/mm] U. Es ist auch [mm] \lambda [/mm] f(1) = [mm] \lambda [/mm] f(0) = 0, daher ist [mm] \lamda [/mm] f [mm] \in [/mm] U.
Damit wäre wohl der erste Teil gezeigt. Die Frage ist nun, nach einer Basis von U. Hier komme ich nicht weiter.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei K ein Körper und [mm]K_n[x][/mm] der K-Vektorraum der Polynome
> $f [mm] \in [/mm] K[x]$ mit grad $f [mm] \leq [/mm] n$.
> Zeigen Sie, dass die Menge
> $U := [mm] \{ f \in K_n[x] | f(0) = f(1) = 0 \}$
[/mm]
> ein Unterraum von [mm]K_n[x][/mm] ist. Geben Sie eine Basis von U
> an und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm]K_n[x].[/mm]
> Hallo Liebe Vorhelfer,
>
> ich sitze gerade an der Aufgabe und bin mir nun nicht
> sicher. Zunächst muss ich zeigen, dass U ein Unterraum des
> Vektorraums der Polynome von grad f [mm]\leq[/mm] n ist.
>
> Ich hätte nun gesagt, dass ich das mit dem
> Unterraumkritierum einfach mache. Also f, g [mm]\in[/mm] U. Z.z.
> auch f + g [mm]\in[/mm] U.
> Dies ist erfüllt, wenn (f+g)(0) = (f+g)(1) = 0 ist.
> Offensichtlich ist $(f+g)(0) = f(0) + g(0) [mm] \blue{= 0+0=}0 \blue{= 0+0=} [/mm] f(1) + g(1) = (f+g)(1)$, also ist f+g [mm]\in[/mm] U.
>
> Zudem sei [mm]\lambda \in[/mm] K. Z.z. [mm]\lambda[/mm] f [mm]\in[/mm] U. Es ist auch
> [mm]\blue{(}\lambda f\blue{)}(1)\blue{=\lambda*f(1)} \blue{=\lambda*0=0=\lambda*0}=\lambda* f(0) =\blue{(}\lambda*f\blue{)} (0)[/mm], daher ist [mm]\lambda*f \in U[/mm].
>
> Damit wäre wohl der erste Teil gezeigt.
Ich habe ein paar Sachen der Vollständigkeit halber in sinnvoller Weise ergänzt (es ist nicht wirklich notwendig, aber gerade anfangs sollte man sowas so ausführlichst wie möglich notieren).
Unter der Annahme, dass bereits bekannt ist oder bewiesen worden ist, dass die Summe zweier solcher Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ auch wieder eins vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ ist und wenn zudem bekannt, dass, wenn $f [mm] \in K_n[x] \Rightarrow (\lambda*f) \in K_n[x]$, [/mm] dann bist Du (fast) fertig (siehe [mm] $(\star)$). [/mm] Andernfalls müsstest Du das noch ergänzen.
[mm] $(\star)$ [/mm] Zudem fehlt noch, dass $U [mm] \not=\emptyset$, [/mm] aber das ist wegen [mm] $f_0 \in [/mm] U$ klar, wobei [mm] $f_0(x) :\equiv [/mm] 0$ (das Nullpolynom).
> Die Frage ist nun,
> nach einer Basis von U. Hier komme ich nicht weiter.
Weil jedes $f [mm] \in K_n[x]$ [/mm] mindestens zwei Nullstellen hat, wirst Du kein Polynom vom Grad 1 finden, das in [mm] $K_n(x)$ [/mm] liegt. Auch obiges Nullpolynom [mm] $f_0$ [/mm] kommt natürlich nicht als Basisvektor in Frage.
Wir suchen nun je ein geeignetes
Polynom vom Grad $=2$ in [mm] $K_n[x]$:
[/mm]
Betrachte [mm] $f_2(x)=x*(x-1)$ [/mm] ($x [mm] \in \IK$)
[/mm]
Polynom vom Grad $=3$ in [mm] $K_n[x]$:
[/mm]
Betrachte [mm] $f_3(x)=x*x*(x-1)=x^2(x-1)$ [/mm] ($x [mm] \in \IK$)
[/mm]
(oder [mm] $f_3(x)=x*(x-1)^2$)
[/mm]
Polynom vom Grad $=4$ in [mm] $K_n[x]$:
[/mm]
Betrachte [mm] $f_4(x)=x^3*(x-1)$ [/mm] ($x [mm] \in \IK$)
[/mm]
(oder [mm] $f_4(x)=x*(x-1)^3$; [/mm] oder [mm] $f_4(x)=x^2(x-1)^2$)
[/mm]
.
.
.
Erkennst Du, worauf ich hinaus will? (Die Klammern (oder [mm] $f_{...}(x)=...$)) [/mm] sind nur dafür da, dass Du siehst, dass man auch ein "anderes Schema" verfolgen könnte...)
Natürlich solltest Du noch beweisen, dass die Menge [mm] $\{f_j, j \in \{2,...,n\}\}=\{f_2, f_3,...,f_n\}$ [/mm] eine maximal linear unabhängige Teilmenge aus $U$ ist. Wie man diese nun zu einer Basis von [mm] $K_n[x]$ [/mm] ergänzt, ist Dir dann klar, oder?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 28.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Marcel,
das heißt doch dann, dass die Polynome [mm] (x-1)^i [/mm] und [mm] x^i [/mm] die Basis sind, oder?
Also die Basis von U wäre B = { [mm] x^n-i (x-1)^i, x^i (x-1)^n-i, [/mm] und [mm] x^i (x-1)^j [/mm] }, wobei i = 1,...,n-1 und j=1,...,n-1 und i+j <= n.
Wie zeige ich dann die maximal lineare Unabhängigkeit?
Ergänzen zu einer Basis von [mm] K_n [/mm] ? Hast du mir einen Tipp?
Grüße und dank
Lauser
G
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Mo 28.04.2008 | | Autor: | lauser |
mist, da ist vorhin was schief gegangen.
also mit der basis meinte ich eigentlich:
B = { [mm] x^{n-i}(x-1)^i, x^i (x-1)^{n-i}, x^i (x-1)^j [/mm] } wobei i+j <= n sein soll.
Was mir eben aber noch aufgefallen ist, ist, dass doch auch die Polynome, etwa : [mm] x^3(x-1)(x^2-5) [/mm] usw. darin liegen.
Deswegen kann das oben doch nicht wirklich eine Basis sein, oder? Es können ja auch mehr als zwei Nullstellen sein, und die wären doch durch diese Basis nicht wirklich abgedeckt...
Grüße und dank,
Lauser
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Lauser,
> mist, da ist vorhin was schief gegangen.
>
> also mit der basis meinte ich eigentlich:
>
> B = { [mm]x^{n-i}(x-1)^i, x^i (x-1)^{n-i}, x^i (x-1)^j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} wobei
> i+j <= n sein soll.
also da will ich mir nun - ehrlich gesagt - keine weiteren Gedanken dazu machen. Wenn Du meine Antwort unten liest, wirst Du sicher selbst einsehen, dass Dein gewähltes $B$ zum einen zu groß ist, zum anderen ist da wohl ein Missverständnis entstanden. Du vermischst hier Dinge, von denen ich sprach' bzw. die ich andeutete.
Ich meinte:
Wenn man z.B. $K_4[x]$ betrachtet (ich notiere das ganze wieder "grob"):
$B=\{x*(x-1),\;\;,x^2*(x-1),\;\;x^3*(x-1)\}$
wäre hier eine mögliche Wahl für eine Basis (von $U$ wohlgemerkt; eine Basis von $K_4[x]$ selbst wäre "größer"). Genauso ginge aber auch:
$B=\{x*(x-1),\;\;,x*(x-1)^2,\;\;x*(x-1)^3\}$
oder auch
$B=\{x*(x-1),\;\;,x^2*(x-1),\;\;x^2*(x-1)^2\}$
als Basiswahl für $U$.
Was aber wichtig ist:
Für jedes $k \in \{2,...,n\}$ wählt man aus $U$ genau ein Polynom vom Grad $k$ und nimmt dieses dann in die Basismenge auf...
Also:
$B=\{x*(x-1),\;\;x*(x-1)^2,\;\;x^2*(x-1)^2,\;\;x^2*(x-1)\}$
wäre "verboten", weil hier zwei Polynome aus $U$ drinstehen, deren Grad $3$ ist und nicht nur eins.
> Was mir eben aber noch aufgefallen ist, ist, dass doch auch
> die Polynome, etwa : [mm]x^3(x-1)(x^2-5)[/mm] usw. darin liegen.
>
> Deswegen kann das oben doch nicht wirklich eine Basis sein,
> oder? Es können ja auch mehr als zwei Nullstellen sein, und
> die wären doch durch diese Basis nicht wirklich
Wie gesagt:
Wenn Du z.B. [mm] $B=\{f_2,...,f_n\}$ [/mm] wählst, so ist ein jedes Polynom [mm] $f_k$ [/mm] ($k [mm] \in \{2,...,n\}$) [/mm] ein Polynom vom Grad $k [mm] \le [/mm] n$, was jedenfalls die Nullstellen $0$ und $1$ hat, also ist mit dieser Wahl jedenfalls $B [mm] \subset [/mm] U$. (Was, da Du schon $U$ selbst als Vektorraum erkannt hast, zur Folge hat, dass [mm] $\mbox{linspan}B \subset \mbox{linspan} [/mm] U=U$.)
Dass sich ein jedes $f [mm] \in [/mm] U$ als Linearkombination von [mm] $f_2,...,f_n$ [/mm] schreiben läßt, ist ab dem Moment klar, wenn bewiesen wurde, dass $B$ auch wirklich eine Basis von $U$ ist.
(Die Konsequenz davon ist dann:
$U [mm] \subset \mbox{linspan} [/mm] B$.)
Ich hoffe, es ist nun klarer?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> das heißt doch dann, dass die Polynome [mm](x-1)^i[/mm] und [mm]x^i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die
> Basis sind, oder?
>
> Also die Basis von U wäre B = { [mm]x^n-i (x-1)^i, x^i (x-1)^n-i,[/mm]
> und [mm]x^i (x-1)^j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, wobei i = 1,...,n-1 und j=1,...,n-1 und
> i+j <= n.
ohje, setze bitte geschweifte Klammern um die Exponenten. Mir ist immer noch nicht klar, was da genau steht. Du kannst auch mal meine Formeln hier anklicken, um den Quelltext zu sehen, wie man was schreibt.
Jedenfalls:
Was Du z.B. zeigen könntest, ist das folgende:
Die Menge $B:=\{f_i, i=2,...,n\}=\{f_2,...,f_n\}$ ist linear unabhängig, wobei $f_k(x):=x^{k-1}*(x-1)^1=x^{k-1}*(x-1)$ für jedes $k \in \{2,...,n\}$.
( Grob notiert sieht das so aus:
$B=\{x^{k-1}*(x-1); k=2,...,n\}=\{x*(x-1),\;\; x^2*(x-1),\;\;...,\;\;x^{n-2}*(x-1),\;\;x^{n-1}*(x-1)\}$ .)
Wie gesagt:
Die Funktionen in den Klammern (wo steht: "oder $f_3(x)=...$") hatten nur den Sinn, Dir klarzumachen, dass man auch andere Funktionen für eine Basis von $U$ hernehmen kann (insbesondere macht es keinen Sinn, von der Basis zu sprechen, da $U$ ja sehr sehr viele Basen hat). Bitte da nicht alles "durcheinandermischen"...
> Wie zeige ich dann die maximal lineare Unabhängigkeit?
Da solltest Du zunächst mal zeigen, dass $B$ überhaupt eine linear unabhängige Menge ist. Seien also $\lambda_2,...,\lambda_n \in \IK$ (der Index bei $\lambda$ ist nur so gewählt, weil die Funktionen ja auch erst bei Index $2$ anfangen und bis $n$ laufen).
Sei
$(\star)$ $\sum_{k=2}^n \lambda_k f_k=f_0$ (d.h. $\sum_{k=2}^n \lambda_k f_k(x) \equiv 0$; beachte: Es war $f_0(x)\equiv 0$).
Klar ist für jedes $k \ge 2$: Das Polynom $f_k$ hat Grad $k$, also genau $k$ Nullstellen nach dem Fundamentalsatz der Algebra. Nimm' mal an, in $(\star)$ wären nicht alle $k \in \{2,...,n\}$ ausgestattet mit dem Wert $0$. Dann gäbe es insbesondere ein kleinstes $k_0 \in \{2,...,n\}$ derart, dass $\lambda_{k_0} \not=0$ (d.h. $\lambda_k=0$ gilt für alle $k \in \{2,...,n\}$ mit $k < k_0$; solche gibt's natürlich nicht im Falle, dass $\lambda_2 \not=0$ wäre, aber das tut der Argumentation überhaupt nichts).
Löse mal $(\star)$ nach $f_{k_0}$ auf. Dann steht dort:
Für jedes $x$ gilt:
$(\star_2)$ $f_{k_0}(x)=\sum_{k=k_0+1}^n \mu_{k}*f_k(x)$
(Wie sollten hierbei die $\mu_{k}$ definiert sein?)
Links in $(\star_2)$ steht ein Polynom, welches wegen $f_{k_0}(x)=x^{k_0-1}*(x-1)$ offensichtlich Grad $k_0$ hat. Für jedes $k \in \{2,...,n\}$ mit $k < k_0$ gilt schon $\lambda_k=0$ nach der Wahl von $k_0$. Zudem ist nach Annahme $\lambda_{k_0} \not=0$. Gäbe es nun ein $k > k_0$ mit $\lambda_{k} \not=0$, so stünde aber in $(\star_2)$ rechterhand ein Polynom mit Grad $> ...$? Kann das sein?
Wenn das nicht sein kann: Was folgt dann für $f_{k_0}$ (Stichwort: Nullpolynom)? Kann das nun sein? Kann es nun ein solches $k_0$ dann überhaupt geben?
Und dass $B$ maximal ist, kann man sich eigentlich leicht mit einem Dimensionsargument überlegen, wenn Du Dir mal klarmachst, was das bedeutet, als ich oben sagte, dass in $U$ nur Polynome $P$ mit $2 \le$ Grad $P$ $\le n$ liegen können. D.h. nämlich, dass $U$ keine konstanten Funktionen (sofern es nicht das Nullpolynom ist) noch überhaupt Funktionen, deren Gleichung eine "Gerade" beschreibt, enthält (auch hier: sofern die "Gerade" nicht das Nullpolynom ist).
Daraus kann man hier folgern, dass $\dim(U)$ eine Dimension hat, die um $2$ kleiner ist als die Dimension von $K_n[x]$.
(Ggf. schau' Dir mal an, wie das ganze mit dem Unterraum $U':=\mbox{linspan}\{g_0,g_1\}$ mit den untenstehenden $g_0,g_1$ zusammenhängt.)
Und $K_n[x]$ hat Dimension $n+1$, weil...?
> Ergänzen zu einer Basis von [mm]K_n[/mm] ? Hast du mir einen Tipp?
Naja, Du hast dann ja [mm] $B=\{f_2,...,f_n\}$ [/mm] als eine Basis von $U$ erkannt. Eine triviale Basis von [mm] $K_n[x]$ [/mm] ist mit [mm] $B\,':=\{g_k, k=0,...,n\}=\{g_0, g_1,...,g_n\}$, [/mm] wobei [mm] $g_k(x):=x^k$ [/mm] für $k=0,...,n$ (wobei [mm] $x^0=1$ [/mm] für alle $x$, also auch [mm] $0^0=1$).
[/mm]
( Also in grober Notation:
[mm] $B'=\{1,\;\;x,\;\;x^2,\;\;...,\;\;x^n\}$ [/mm] ist eine Basis von [mm] $K_n[x]$.)
[/mm]
Jetzt nehme ich die Basis $B$ mal her. Würde ich dort ein [mm] $g_k$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] 2$ aufnehmen, also [mm] $B_1=\{f_2,...,f_n\} \cup \{g_k\}=\{f_2,...,f_n,g_k\}$ [/mm] mit einem $k [mm] \ge [/mm] 2$ betrachten, so hätte ich das Problem, dass [mm] $B_1$ [/mm] gar nicht mehr eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] $K_n[x]$ [/mm] wäre. Das könnte also keine Basis sein.
Dass aber [mm] $B_2:=\{g_0,g_1\} \cup B=\{g_0,g_1,f_2,...,f_n\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $K_n[x]$ [/mm] ist, solltest Du Dir klarmachen:
Warum ist [mm] $B_2$ [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] $K_n[x]$? [/mm]
(Die Argumentation dazu geht vollkommen analog zu der obigen, warum $B$ eine linear unabhängige Teilmenge von $U$ ist.)
Warum ist dies eine maximal linear unabhängige Teilmenge von [mm] $K_n[x]$?
[/mm]
(Zur Erinnerung: [mm] $B\,'$ [/mm] war eine Basis von [mm] $K_n[x]$ [/mm] (zu der linearen Unabhängigkeit von [mm] $B\,'$ [/mm] sage ich mal nichts mehr ausser: analog zu oben; und dass [mm] $B\,'$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] $K_n[x]$ [/mm] ist, ist nach der Definition des Begriffes "Polynom vom Grad ... " klar); daraus kann man folgern:
[mm] $\dim(K_n[x])=n+1$. [/mm] Das heißt, eine jede Basis von [mm] $K_n[x]$ [/mm] kann maximal aus $n+1$ linear unabhängigen Vektoren (diese sind hier die Polynome) bestehen.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 29.04.2008 | | Autor: | lauser |
Hey Marcel!
Wow super, das ist eine wirklich sehr ausführliche Antwort gewesen. Ich denke, ich komme dem Gedanken ein wenig näher und versuch das mal nachzuvollziehen.
Ich sage nun, dass ich eine Basis habe, nämlich
B := { [mm] f_2, [/mm] ... , [mm] f_n [/mm] }, wobei die [mm] f_k(x) [/mm] := [mm] x^{k-1} [/mm] (x-1) sind.
Zeige nun, dass diese in der Tat eine Basis von U sind. Zunächst ist klar, jedes [mm] f_k(x) \in [/mm] U, da es eben diese beiden Nullstellen hat.
Zeige nun, dass die [mm] f_k(x) [/mm] eine Basis von U sind.
Dazu soll ich zunächst zeigen, dass die einzelnen Vektoren linear unabhängig sind.
D.h. ich muss zeigen, dass für [mm] \lambda_2,...\lambda_n \in [/mm] K aus:
[mm] \lambda_2 f_2(x) [/mm] + ... + [mm] \lambda_n f_n(x) [/mm] = 0 folgt, dass
[mm] \lambda_2 [/mm] =... = [mm] \lambda_n [/mm] = 0.
Du machst das jetzt per Widerspruch. Angenommen, es gibt ein [mm] \lambda_i \neq [/mm] 0. Sei i dabei der kleinste Index, für das [mm] \lambda_i \neq [/mm] 0 ist, wobei i [mm] \in [/mm] {2,...,n}.
Daher ist
[mm] f_i(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=i+1}^{n}{- \lambda_j f_j(x)}
[/mm]
[mm] f_i(x) [/mm] = [mm] x^{i-1}(x-1), [/mm] d.h. [mm] grad(f_i) [/mm] = i
für die [mm] f_j(x) [/mm] mit j [mm] \geq [/mm] i+1 ist auf der rechten Seite jedoch damit eine Summe von Polynomen von grad > i, was nicht sein kann. D.h. ein solches i gibt es nicht, für welches [mm] \lambda_i \neq [/mm] 0 ist, daher sind alle [mm] \lambda_i [/mm] = 0.
Damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
Ich glaube das hab ich nachvollzogen.
Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass sich jeder Vektor aus U über B darstellen lässt. D.h. dass U das Erzeugnis von B ist.
Hier hab ich das Dimensionsargument leider noch nicht wirklich begriffen... die Dimension von [mm] K_n[x] [/mm] ist n, die Dimension von U ist n-1, weil wir die Konstanten außen vor gelassen haben -- so hab ich mir das halbwegs im Hirn zusammengebastelt... kann aber auch quatsch sein.
Vielen dank für deine Geduld und Mühe!!!
Herzliche Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lauser,
> Hey Marcel!
>
>
> Wow super, das ist eine wirklich sehr ausführliche Antwort
> gewesen. Ich denke, ich komme dem Gedanken ein wenig näher
> und versuch das mal nachzuvollziehen.
>
> Ich sage nun, dass ich eine Basis habe, nämlich
>
> $B := [mm] \{f_2, ... , f_n\}$, [/mm] wobei die [mm]f_k(x)[/mm] := [mm]x^{k-1}[/mm] (x-1)
> sind.
>
> Zeige nun, dass diese in der Tat eine Basis von U sind.
> Zunächst ist klar, jedes [mm]f_k(x) \in[/mm] U, da es eben diese
> beiden Nullstellen hat.
>
> Zeige nun, dass die [mm]f_k(x)[/mm] eine Basis von U sind.
>
> Dazu soll ich zunächst zeigen, dass die einzelnen Vektoren
> linear unabhängig sind.
>
> D.h. ich muss zeigen, dass für [mm]\lambda_2,...\lambda_n \in[/mm] K
> aus:
> [mm]\lambda_2 f_2(x)[/mm] + ... + [mm]\lambda_n f_n(x)[/mm] = 0 folgt, dass
>
> [mm]\lambda_2[/mm] =... = [mm]\lambda_n[/mm] = 0.
>
> Du machst das jetzt per Widerspruch. Angenommen, es gibt
> ein [mm]\lambda_i \neq[/mm] 0. Sei i dabei der kleinste Index, für
> das [mm]\lambda_i \neq[/mm] 0 ist, wobei i [mm]\in[/mm] {2,...,n}.
>
Bis hierhin ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") .
> Daher ist
>
> [mm]f_i(x)[/mm] = [mm]\summe_{j=i+1}^{n}{- \lambda_j f_j(x)}[/mm]
Einspruch.
(I) [mm]\blue{\lambda_i}*f_i(x) = \summe_{j=i+1}^{n}{- \lambda_j f_j(x)}[/mm]
Aber wegen [mm] $\lambda_i \not=0$ [/mm] folgt dann:
(II) [mm]f_i(x) = \summe_{j=i+1}^{n}{\underbrace{- \frac{\lambda_j}{\lambda_i}}_{=:\mu_j} f_j(x)}[/mm]
(Wobei man natürlich auch einfach mit (I) argumentieren kann, dass dort [mm] $\lambda_i*f_i$ [/mm] offensichtlich (wegen [mm] $\lambda_i \not=0$) [/mm] ein Polynom vom Grad $i$ ist.)
> [mm]f_i(x)[/mm] = [mm]x^{i-1}(x-1),[/mm] d.h. [mm]grad(f_i)[/mm] = i
>
> für die [mm]f_j(x)[/mm] mit j [mm]\geq[/mm] i+1 ist auf der rechten Seite
> jedoch damit eine Summe von Polynomen von grad > i, was
> nicht sein kann.
Hier musst Du aufpassen. Deine Argumentation ist nicht falsch, aber etwas schnell:
Wir wissen nun:
Nach der Wahl des $i$ gilt [mm] $\lambda_k=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in \{2,...,n\}$ [/mm] mit $k < i$, und oben hast Du argumentiert, dass [mm] $\lambda_k [/mm] > 0$ für alle $k [mm] \in \{2,...,n\}$ [/mm] mit $k > i$.
Aus (II) (oder meinetwegen (I)) folgt dann aber, dass ein Polynom 2en Grades das Nullpolynom ist. Jetzt fällt mir gerade auf:
Den Fundamentalsatz sollte man hier vll. nicht heranziehen, weil hier ja nur steht, dass $K$ Körper. Für [mm] $K=\IR$ [/mm] oder [mm] $\IK=\IC$ [/mm] klappt das so, aber ggf. müsstest Du Dir das "für irgendeinen (unendlichen?) Körper" doch nochmal anders überlegen.
> D.h. ein solches i gibt es nicht, für
> welches [mm]\lambda_i \neq[/mm] 0 ist, daher sind alle [mm]\lambda_i[/mm] =
> 0.
>
> Damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
>
> Ich glaube das hab ich nachvollzogen.
>
> Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass sich jeder Vektor aus
> U über B darstellen lässt. D.h. dass U das Erzeugnis von B
> ist.
>
> Hier hab ich das Dimensionsargument leider noch nicht
> wirklich begriffen... die Dimension von [mm]K_n[x][/mm] ist n,
Nein, ich habe doch eine Basis mit [mm] $\{g_0,...,g_n\}$ [/mm] angegeben, dass sind $n+1$ "Vektoren". Passt jedenfalls, wenn $K$ nicht endlichdimensional ist.
> die
> Dimension von U ist n-1, weil wir die Konstanten außen vor
> gelassen haben
Konstanten und "Geraden". Also z.B. wenn wir [mm] $K=\IR$ [/mm] hätten:
Funktionen der Bauart $f(x)=m*x+n$ (mit $m [mm] \not=0$) [/mm] lägen auch nicht in $U$.
> -- so hab ich mir das halbwegs im Hirn
> zusammengebastelt... kann aber auch quatsch sein.
Wie gesagt:
Wir nehmen [mm] $\{g_0,g_1\}$ [/mm] und bilden den Linspan. Dann ergibt die direkte Summe dieses Linspan mit dem Linspan von $B$ gerade [mm] $K_n[x]$.
[/mm]
Übrigens, was mir gerade mal so aufgefallen ist:
Bei diesen Argumentationen bekommt man evtl. ein Problem, wenn $K$ nur endlich viele Elemente hat. Und wir bekommen ein Problem, wenn wir den Fundamentalsatz der Algebra heranziehen wollen.
Also:
Vielleicht sollte man anfangs schon Fallunterscheidungen machen:
1.) $K$ sei ein endlicher Körper...
2.) $K$ sei ein unendlicher Körper...
Ich denke, da kann man evtl. einiges im Falle der Endlichkeit von $K$ übernehmen, bei manchen Sachen muss man evtl. genauer hingucken. Vielleicht guckst Du dazu auch hier nochmal rein:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom#Allgemeine_Eigenschaften
Und bei unendlichen Körpern kann man vll. mit Isomorphismen zu [mm] $\IQ$, [/mm] zu [mm] $\IR$ [/mm] oder zu [mm] $\IC$ [/mm] etc. arbeiten (wobei das leider wohl auch nicht immer geht), so dass man dann da doch (in gewissen Fällen jedenfalls) noch irgendwie die obige Argumentation retten kann.
Sorry, aber mir sind diese Lücken gerade erst bewußt geworden. Da musst Du ggf. nochmal drüber nachdenken...
Aber in Bosch: Lineare Algebra
findet man z.B. auch eine Aussage, mit der man vll. hier auch arbeiten könnte:
Ist $f [mm] \not=0$ [/mm] und $f [mm] \in [/mm] K[T]$, so hat $f$ nur $r$ paarweise verschiedene Nullstellen mit $r [mm] \le [/mm] $ grad $f$ und dann gibt es noch eine gewisse Produktdarstellung für $f$, die ich mir erspare...
Und dann steht hier noch was von algebraisch abgeschlossenen Köpern, vielleicht hilft Dir hier ja auch eine Fallunterscheidung zwischen algebraisch abgeschlossenen Körpern und welche, die nicht algebraisch abgeschlossen sind...
Oder frag' mal den Aufgabensteller, ob's okay ist, wenn Du die Aufgabe "nur" für [mm] $K=\IR$ [/mm] oder [mm] $K=\IC$ [/mm] löst 
Gruß,
Marcel
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