Unterraumkriterium Beweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper |K| = q, V = [mm] K^n [/mm] mit n [mm] \geq [/mm] 2. Für a [mm] \in [/mm] K gilt [mm] $U_a [/mm] := [mm] \{(k_1,k_2,...,k_{n-1},ak_{n-1} ) | k_j \in K \}$ [/mm] und
[mm] $U_{\infty} :={(k_1,...,k_{n-e},0,k_n) | k_j \in K }$.
[/mm]
Zeige: Die [mm] U_a' [/mm] s und der [mm] U_{\infty} [/mm] sind echte Unterräume von V und $V = [mm] (\bigcup_{a \in K}{U_a}) \cup U_{\infty}$ [/mm] |
Hallöchen liebe Vorhelfer,
ich hab schon mit der Aufgabe angefangen und ich glaube den ersten Teil auch eingermaßen korrekt gelöst.
Ich muss ja im Endeffekt beim ersten Teil nur zeigen, dass [mm] U_a [/mm] und [mm] U_{\infty} [/mm] nicht leer sind, und zu je zwei belibigen Vektoren auch die Summe wieder in [mm] U_a [/mm] bzw [mm] U_{\infty} [/mm] liegt genauso mit belibigen skalaren Vielfachen.
Beim zweiten Teil hab ich ein wenig Probleme, also ich muss zeigen:
$V = [mm] (\bigcup_{a \in K}{U_a}) \cup U_{\infty}$
[/mm]
Dabei ist [mm] "\supseteq" [/mm] doch klar, da ich ja im ersten Teil gezeigt habe, dass die [mm] U_a [/mm] bzw. [mm] U_{\infty} [/mm] ein Unterraum von V sind.
D.h. eigentlich muss nur [mm] "\subseteq" [/mm] gezeigt werden.
Ich nehme dazu also ein x [mm] \in [/mm] V beliebig,
$x = [mm] (x_1, x_2, x_3, ...,x_n)$.
[/mm]
Jetzt würde ich wie folgt argumentieren: aus der Definition der [mm] U_a [/mm] folgt, dass nur der n-te Eintrag unterschiedlich sein kann.
Da ich [mm] \bigcup_{a \in K}{U_a} [/mm] betrachte, ist auch das [mm] U_a [/mm] in [mm] \bigcup_{a \in K}{U_a}, [/mm] für welches:
[mm] $x_n [/mm] = a [mm] x_{n-1}$, [/mm] d.h. das $a [mm] \in [/mm] K$ für welches : $a = [mm] x_n x_{n-1}^{-1}$.
[/mm]
Ich muss jetzt aber annehmen, dass [mm] $x_{n-1} \neq [/mm] 0$ ist.
Genau bei dieser Fallunterscheidung komme ich nicht 100%ig klar, denn das würde ja bedeuten, dass ich bei den [mm] $U_a$ [/mm] nur diejenigen betrachte, für die:
[mm] $U_a [/mm] := [mm] \{(k_1,k_2,...,k_{n-1},ak_{n-1} ) | k_j \in K \wedge k_{n-1} \neq 0 \}$
[/mm]
Aber das wurde in der Definition der [mm] $U_a$ [/mm] nicht gesagt.
Ich nehme hier muss irgendwie mit dem [mm] $U_{\infty}$ [/mm] argumentiert werden, dass den Fall [mm] $x_{n-1} [/mm] = 0$ abdeckt, oder?
Stimmt das was ich bisher so aufgeschrieben habe so im großen und ganzen?
Vielen dank für die Hilfe,
grüße und einen schönen Abend
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei K ein endlicher Körper |K| = q, V = [mm]K^n[/mm] mit n [mm]\geq[/mm] 2.
> Für a [mm]\in[/mm] K gilt [mm]U_a := \{(k_1,k_2,...,k_{n-1},ak_{n-1} ) | k_j \in K \}[/mm]
> und
> [mm]U_{\infty} :={(k_1,...,k_{n-e},0,k_n) | k_j \in K }[/mm].
>
> Zeige: Die [mm]U_a'[/mm] s und der [mm]U_{\infty}[/mm] sind echte Unterräume
> von V und [mm]V = (\bigcup_{a \in K}{U_a}) \cup U_{\infty}[/mm]
>
> Hallöchen liebe Vorhelfer,
>
> ich hab schon mit der Aufgabe angefangen und ich glaube den
> ersten Teil auch eingermaßen korrekt gelöst.
>
> Ich muss ja im Endeffekt beim ersten Teil nur zeigen, dass
> [mm]U_a[/mm] und [mm]U_{\infty}[/mm] nicht leer sind, und zu je zwei
> belibigen Vektoren auch die Summe wieder in [mm]U_a[/mm] bzw
> [mm]U_{\infty}[/mm] liegt genauso mit belibigen skalaren
> Vielfachen.
>
> Beim zweiten Teil hab ich ein wenig Probleme, also ich muss
> zeigen:
> [mm]V = (\bigcup_{a \in K}{U_a}) \cup U_{\infty}[/mm]
Hallo,
ich finde, daß Du Dir schon recht gute Sachen überlegt hast!
>
> Dabei ist [mm]"\supseteq"[/mm] doch klar, da ich ja im ersten Teil
> gezeigt habe, dass die [mm]U_a[/mm] bzw. [mm]U_{\infty}[/mm] ein Unterraum
> von V sind.
Hallo,
für [mm] "\supseteq" [/mm] brauchst Du ja noch nichtmal die Unterraumeigenschaften Deiner U's, die Teilmengeneigenschaft reicht da schon.
>
> D.h. eigentlich muss nur [mm]"\subseteq"[/mm] gezeigt werden.
>
> Ich nehme dazu also ein x [mm]\in[/mm] V beliebig,
> [mm]x = (x_1, x_2, x_3, ...,x_n)[/mm].
Genau.
Jetzt schauen wir an die (n-1)-te Stelle.
1.Fall: [mm] x_{n_1}=0.
[/mm]
Dann sind wir fertig. (Klar?)
2.Fall: [mm] x_{n_1}\not=0.
[/mm]
Dann ist x ja schonmal nicht in [mm] U_{\infty}.
[/mm]
Die Frage ist, ob es so ein a [mm] \in [/mm] K gibt, daß [mm] x\in U_a.
[/mm]
Im Brennpunkt steht hierbei die Frage: findest Du solch ein a, daß [mm] x_n=ax_{n_1} [/mm] ist?
An dieser Stelle werde ich Dich wieder verlassen.
Gruß v. angela
>
> Jetzt würde ich wie folgt argumentieren: aus der Definition
> der [mm]U_a[/mm] folgt, dass nur der n-te Eintrag unterschiedlich
> sein kann.
> Da ich [mm]\bigcup_{a \in K}{U_a}[/mm] betrachte, ist auch das [mm]U_a[/mm]
> in [mm]\bigcup_{a \in K}{U_a},[/mm] für welches:
>
> [mm]x_n = a x_{n-1}[/mm], d.h. das [mm]a \in K[/mm] für welches : [mm]a = x_n x_{n-1}^{-1}[/mm].
>
>
> Ich muss jetzt aber annehmen, dass [mm]x_{n-1} \neq 0[/mm] ist.
>
> Genau bei dieser Fallunterscheidung komme ich nicht 100%ig
> klar, denn das würde ja bedeuten, dass ich bei den [mm]U_a[/mm] nur
> diejenigen betrachte, für die:
>
> [mm]U_a := \{(k_1,k_2,...,k_{n-1},ak_{n-1} ) | k_j \in K \wedge k_{n-1} \neq 0 \}[/mm]
>
> Aber das wurde in der Definition der [mm]U_a[/mm] nicht gesagt.
>
> Ich nehme hier muss irgendwie mit dem [mm]U_{\infty}[/mm]
> argumentiert werden, dass den Fall [mm]x_{n-1} = 0[/mm] abdeckt,
> oder?
>
> Stimmt das was ich bisher so aufgeschrieben habe so im
> großen und ganzen?
>
> Vielen dank für die Hilfe,
> grüße und einen schönen Abend
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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