Unterschied Kart. & Dir. Prod. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Georg321 |
Hallo, versuche gerade das Buch Lin. Algebra vom Fischer durchzukauen. Habe ein Verständnisproblem, und zwar wie die Überschrift schon sagt.
Das Kart. Prod. ist ja so definiert: A [mm] \times [/mm] B := [mm] \left\{(a, b)|a \in A, b \in B\right\}, [/mm] d.h. es ist die Menge aller Paare (a,b) mit a aus A und b aus B, jedes mit jedem. Soweit so gut.
Was jetzt das Direkte Produkt ist verstehe ich auf der dt. Seite von Wikipedia nicht so ganz und auf der russichen macht es irg.wie keinen richtigen Unterschied zw. Kart. und direktem Produkt.
MfG Georg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo Georg!
Ich glaube, es wäre hilfreich, wenn du uns die Definition vom direkten Produkt, die der Fischer gibt, mal aufschreibst, dann wird eher jemand auf deine Frage antworten können!
Grüße Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 21.09.2010 | | Autor: | Georg321 |
Hey ok, sry das ist mir garnicht eingefallen, weil es etwas kompliziert ist, denn es werden recht kurz n-Tupel definiert und dann kommt das direkte Prod. ich schreibe hier einfach mal alles auf.
Sind allgemeiner X1,...Xn Mengen, so betrachten wir die geordneten n-Tupel
x=(x1,...,xn) mit x1 [mm] \in [/mm] X1,...,xn [mm] \in [/mm] Xn.
Genauer kann man x als Abb. x: [mm] {1,...,n}\to X1\cup...\cup [/mm] Xn mit [mm] x(i)\in [/mm] Xi ansehen , und zur vereinfachungder schreibweise xi:=x(i) und x:= (x1...,xn) setzen. Im Sinne der Gleichheit von Abb. gilt dann [mm] (x1...,xn)=(x'1...,x'n)\gdw [/mm] x1=x'1,...,xn=x'n.
Nun erklären wir das direkte Produkt [mm] X1\times...\times [/mm] Xn :={(x1...,xn): xi [mm] \in [/mm] Xi} als Menge der geordneten n-Tupel. Offensichtlich ist [mm] X1\times...\times [/mm] Xn [mm] \not=\emptyset, [/mm] wenn [mm] Xi\not=\emptyset [/mm] für alle [mm] i\in{1,...,n}.
[/mm]
Für jedes i hat man eeine Projektion auf die i-te Komponente [mm] \pii: X1\times...\timesXn \to [/mm] Xi, (x1,...xi,...,xn) [mm] \mapsto [/mm] xi.
So das wars. So ist es im Fischer definiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Di 21.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
das kartesische Produkt ist ein Produkt von Mengen (z.B. [mm] $\IR\times \IN$) [/mm] und heißt im Prinzip nur, daß Du Tupel nimmst [mm] ($(\sqrt{2}, [/mm] 3)$).
Das direkte Produkt ist ein Produkt von Strukturen (z.B. Gruppen: [mm] $(\IR,"*")\times (\IN,"+")$) [/mm] und heißt im Prinzip nur, daß Du alles komponentenweise machst ( [mm] $(\sqrt{2},3) \circ (\sqrt{2},1) [/mm] = [mm] (\sqrt{2}*\sqrt{2},3+1)$). [/mm] D.h. die neue Struktur hat Elemente die durch das kartesische Produkt entstehen und die zugehörigen Operationen der urspr. Strukturen führen wir komponentenweise durch.
Man schreibt vielleicht intuitiver anstatt [mm] $(\IR,*) \times (\IN,+)$ [/mm] auch so: [mm] $(\IR\times\IN, "*"\otimes"+")$, [/mm] wobei [mm] $\otimes$ [/mm] für Operationen ebenfalls nur heißt: Wir machen alles komponentenweise.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Di 21.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hey ok, sry das ist mir garnicht eingefallen, weil es etwas
> kompliziert ist, denn es werden recht kurz n-Tupel
> definiert und dann kommt das direkte Prod. ich schreibe
> hier einfach mal alles auf.
>
> Sind allgemeiner X1,...Xn Mengen, so betrachten wir die
> geordneten n-Tupel
> x=(x1,...,xn) mit x1 [mm]\in[/mm] X1,...,xn [mm]\in[/mm] Xn.
> Genauer kann man x als Abb. x: [mm]{1,...,n}\to X1\cup...\cup[/mm]
> Xn mit [mm]x(i)\in[/mm] Xi ansehen , und zur vereinfachungder
> schreibweise xi:=x(i) und x:= (x1...,xn) setzen. Im Sinne
> der Gleichheit von Abb. gilt dann
> [mm](x1...,xn)=(x'1...,x'n)\gdw[/mm] x1=x'1,...,xn=x'n.
>
> Nun erklären wir das direkte Produkt [mm]X1\times...\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Xn
> :={(x1...,xn): xi [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Xi} als Menge der geordneten
> n-Tupel. Offensichtlich ist [mm]X1\times...\times[/mm] Xn
> [mm]\not=\emptyset,[/mm] wenn [mm]Xi\not=\emptyset[/mm] für alle
> [mm]i\in{1,...,n}.[/mm]
> Für jedes i hat man eeine Projektion auf die i-te
> Komponente [mm]\pii: X1\times...\timesXn \to[/mm] Xi,
> (x1,...xi,...,xn) [mm]\mapsto[/mm] xi.
Das direkte Produkt von Mengen ist identisch zum kartesischen Produkt.
Normalerweise benutzt man den Ausdruck "direktes Produkt" eher, wenn man mengenbasierte Objekte wie Gruppen, Ringe, Vektorraeume, etc. hat, und kartesisches Produkt wenn man sich auf reine Mengen (ohne weitere Struktur) bezieht.
Warum Fischer sowohl das kartesische Produkt wie auch das direkte Produkt fuer Mengen einfuehrt kann ich dir nicht genau sagen, mein Fischer liegt einige tausend Kilometer weg und ich kann somit nicht nachschauen 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Di 21.09.2010 | | Autor: | Georg321 |
Hast du meinen allerersten Beitrag gelesen?! Ich war auf Wikipedia und habe es nicht verstanden, der Punkt ist nähmlich, dass Fischer das Produkt einführt, bevor Gruppen drankommen. Und das was ich da niedergeschrieben habe ist es 1 zu 1 aus dem Buch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Di 21.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist dann seine Definition des kartesischen Produkts? Deine scheint von Wikipedia zu kommen.
Ohne Gruppen macht eine Unterscheidung zwischen den beiden keinen wirklichen Sinn. Du kannst sagen, daß das kartesische Produkt ein direktes Produkt ist, nur eben ohne zugehörige Verknüpfungen (so liest sich Fischers Definition auch), nur ist eben ohne die Erweiterung des direkten Produkts auf mehr als Mengen (am Anfang eben Gruppen), beides imho das gleiche.
Grundsätzlich ist das direkte Produkt immer die kartesisches-Produkt-igste Methode, Strukturen zu verknüpfen. Insbesondere werden die Mengen, auf denen diese Strukturen definiert sind, immer durch ein kartesisches Produkt verknüpft.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 Di 21.09.2010 | | Autor: | Georg321 |
Hey danke, das hat sich dann mit deinem Beitrag geklärt. Da hätte Fischer auch ohne Verwirrung zu stiften erstmal einfach nur das Kart. Prod. einführen können ohne den Begriff dir. Prod. zu verwenden...naja soweit so gut also erstmal vom kart. Prod. ausgehen, dann kann ich ja weiterlesen.
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Teufel
