Untersuchung auf Surjektivität < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Micky25 |
| Aufgabe | f: D -> W, f(x) = (x+1) / (x-1) mit D = IR (reelle Zahlen) \ {1}, W = IR
Untersuche die Funktion daraufhin ob sie surjektiv ist! |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll beschriebene Aufgabe bewältigen. Dazu habe ich mir schon einige Gedanken gemacht:
Definition von Surjektivität: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M: f(x)=y
Wenn ich y beliebig wähle und x = [mm] \bruch{y}{y-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y-1} [/mm] ist, und ich x als Funktionswert in f(x) einsetze, dann erhalte ich f(x)=y. Ist das auch schon der Beweis dafür, dass f surjektiv ist?
Eine andere Überlegung: wenn ich sage, dass 1 ein Element von [mm] \IR [/mm] ist, dann gibt es hierfür keine Lösung:
1 = [mm] \bruch{x+1}{x-1} [/mm] führt zu 1 = -1 also einem Wiederspruch.
Da aber 1 Teil der reellen Zahlen ist wäre dies doch ein Beweis das die Funktion nicht surjektiv ist oder?
Wäre um eure Hilfe hierbei echt dankbar :)
Gruß Micky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
Hallo auch,
deine zweite Idee ist genau die richtige.
Wäre f surketiv, dann gäbe es ja zu jedem y [mm] \in\mathbb{R} [/mm] ein [mm] x\in \mathbb{R} [/mm] \ [mm] \{1\} [/mm] mit f(x)=y, d.h. [mm] y=\frac{x+1}{x-1} [/mm] hat eine Lösung für alle [mm] y\in\mathbb{R}. [/mm] Formt man das ganze nach y um, erhält man [mm] x=\frac{y+1}{y-1}.
[/mm]
Zu y=1 gibt es also kein Urbild.
f ist demnach nicht surjektiv.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Micky25 |
Jetzt habe ich die 1 aber mehr durch probieren gefunden. Gibt es da auch eine allgemeingültige Möglichkeit die Surjektivität zu beweisen?
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Hallo Michael,
> Jetzt habe ich die 1 aber mehr durch probieren gefunden.
> Gibt es da auch eine allgemeingültige Möglichkeit die
> Surjektivität zu beweisen?
Brazzo hat doch in seiner Antwort den allg. Ansatz gewählt.
Wenn du mal die dort erwähnten Auflösung von [mm] $y=\frac{x+1}{x-1}$ [/mm] nach $x$ angehst, wirst du sehen, dass du dort im Laufe der Umformungen durch $y-1$ teilen musst, das ist aber nur für [mm] $y-1\neq [/mm] 0$, also [mm] $y\neq [/mm] 1$ erlaubt ...
LG
schachuzipus
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