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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mellen |
Hallo zusammen.
Ich sitze an folgender Aufgabe.
Sei W [mm] \subseteq [/mm] V eine Teilmenge ( V ist ein K-Vektorraum). Zu zeigen ist dass folgende Ausagen äquivalent sind:
1. W ist Untervektorraum von V
2. Es gilt W [mm] \not= \emptyset [/mm] und [mm] \forall \lambda \in [/mm] K, u,w [mm] \in [/mm] W : u+[mm] \lambda [/mm]w [mm] \in [/mm] W
3. Es gilt W [mm] \not= \emptyset [/mm] und [mm] \forall \lambda \in [/mm] K, u,w [mm] \in [/mm] W: [mm] \lambda [/mm](u+w) [mm] \in [/mm] W.
aus 1. => 2. und aus 1. => 3. hab ich schon bewiesen. Nun sitze ich an aus 2.=>1. und aus 3.=> 1.. Ich weiss einfach nicht wie ich (UV2) und (UV3) nur mit Hilfe von 2. bwz.3. beweisen soll.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 16.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich sitze zur Zeit an der selben Aufgabe. Meine Idee war, sie durch einen Ringschluss zu beweisen.
Also: (1.) [mm] \Rightarrow [/mm] (2.) [mm] \Rightarrow [/mm] (3.) [mm] \Rightarrow [/mm] (1.)
Hierdurch wäre doch die Äquivalenz dieser 3 Aussagen bewiesen oder?
(1.) [mm] \Rightarrow [/mm] (2.) war unproblematisch
(2.) [mm] \Rightarrow [/mm] (3.) ist für mich schwieriger:
Dass W [mm] \not= \emptyset \Rightarrow [/mm] W [mm] \not= \emptyset [/mm] ist klar, aber um z.zg., dass
[mm] \lambda [/mm] (u+w) [mm] \in [/mm] W braucht man meiner Meinung nach:
(2.) [mm] \Rightarrow [/mm] (1.) also:
(2.) [mm] \Rightarrow [/mm] die 3 Eigenschaften eines Untervektorraums:
1. W [mm] \not= \emptyset [/mm] ist wiederum klar, aber wie zeige ich:
2. [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] W
3. [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W , [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] \Rightarrow \lambda \* [/mm] w [mm] \in [/mm] W
Aus 3. würde dann folgen, dass [mm] \lambda [/mm] (u+w) [mm] \in [/mm] W , also dass:
(2.) [mm] \Rightarrow [/mm] (3.)
Schließlich müsste man noch (3.) [mm] \Rightarrow [/mm] (1.) zeigen, wozu man letztlich (3.) [mm] \Rightarrow [/mm] (2.) braucht (hier hab ich auch Probleme).
Letztendlich würde daraus (1.) folgen, also (3.) [mm] \Rightarrow [/mm] (1.)
Der Ringschluss ist somit vollzogen und die Behauptung bewiesen.
Kann mir einer bei meinen Problemen weiterhelfen oder bin ich ohnehin zu kompliziert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mellen,
> Hallo zusammen.
> Ich sitze an folgender Aufgabe.
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> Sei W [mm]\subseteq[/mm] V eine Teilmenge ( V ist ein K-Vektorraum).
> Zu zeigen ist dass folgende Ausagen äquivalent sind:
> 1. W ist Untervektorraum von V
> 2. Es gilt W [mm]\not= \emptyset[/mm] und [mm]\forall \lambda \in[/mm] K,
> u,w [mm]\in[/mm] W : u+[mm] \lambda [/mm]w [mm]\in[/mm] W
> 3. Es gilt W [mm]\not= \emptyset[/mm] und [mm]\forall \lambda \in[/mm] K,
> u,w [mm]\in[/mm] W: [mm]\lambda [/mm](u+w) [mm]\in[/mm] W.
>
> aus 1. => 2. und aus 1. => 3. hab ich schon bewiesen. Nun
> sitze ich an aus 2.=>1. und aus 3.=> 1.. Ich weiss einfach
> nicht wie ich (UV2) und (UV3) nur mit Hilfe von 2. bwz.3.
> beweisen soll.
Hier ein paar Gedanken zu [mm] 3\ \Rightarrow 1 [/mm]:
u,w [mm]\in[/mm] W: [mm]\lambda [/mm](u+w) [mm]\in[/mm] W gilt für alle [mm] \lambda \in K [/mm], also auch für [mm] \lambda = 1 [/mm] und für [mm] \lambda = 0 [/mm] (beides gibt es in K).
[mm] \lambda = 1 [/mm] liefert [mm] u + v \in W [/mm]
[mm] \lambda = 0 [/mm] liefert: Nullvektor n in W.
Wenn [mm] n \in W [/mm] und [mm] u \in W [/mm], dann auch [mm] \lambda(n + u) = \lambda\ u \in W [/mm].
Gruß
Sigrid
> Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mellen |
Dankeschön Sigrid, das hat mir schon mal weitergeholfen.
Kann mir vielleicht noch jemand bei aus 2.=> 3. oder aus 2.=>1. helfen?
oder darf ich wenn ich aus 1.=>2. schon bewiesen habe bei 2.=>3. auch 1. als voraussetzung nehmen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mellen,
> Dankeschön Sigrid, das hat mir schon mal weitergeholfen.
>
> Kann mir vielleicht noch jemand bei aus 2.=> 3. oder aus
> 2.=>1. helfen?
> oder darf ich wenn ich aus 1.=>2. schon bewiesen habe bei
> 2.=>3. auch 1. als voraussetzung nehmen???
>
Eigentlich solltest du jetzt auch einen Weg von 2 nach 1 finden. Im Prinzip musst du die selben Schritte gehen.
Frage: Findest du ein [mm] \lambda [/mm], das mit Sicherheit in K liegt, so dass[mm] u + \lambda v [/mm] den Nullvektor ergibt?
Jetzt bist du dran.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mellen |
Also für [mm] \lambda [/mm]=1 bekomme ich ja schon mal u+w [mm] \in [/mm] W.
Wenn ich jetzt u=w setze und [mm] \lambda [/mm]=-1 erhalte ich den Nullvektor...
Darf ich das so machen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mellen,
> Also für [mm]\lambda [/mm]=1 bekomme ich ja schon mal u+w [mm]\in[/mm] W.
genau!
> Wenn ich jetzt u=w setze und [mm]\lambda [/mm]=-1 erhalte ich den
> Nullvektor...
> Darf ich das so machen??
Ich denke ja,
denn in einem Körper gibt es zu jedem Element ein Inverses bzgl. der Addition, also auch zum neutralen Element der Multiplikation.
Das formale Hinschreiben hängt noch davon ab, welche Sätze ihr bereits kennt.
Und wenn der Nullvektor in W ist, geht's wie bei [mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [weiter.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 17.11.2005 | | Autor: | Olek |
Schönen guten Abend,
ich hatte geplant diese Aufgabe zu beweisen in dem ich $i) [mm] \gdw [/mm] ii)$ und $i) [mm] \gdw [/mm] iii)$ zeige. Allerdings habe ich das Gefühl dass ich bei meiner Hinrichtung genau von den gleichen Voraussetzungen ausgehe wie bei meiner Rückrichtung. Das sieht dann folgendermaßen aus:
$i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii)$: Es gilt: W ist Unterraum, also gilt [mm] 0\in [/mm] W, x,y [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] W und [mm] \lambda \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow \lamba*y \in [/mm] W.
[mm] \Rightarrow \alpha \in [/mm] K, u,w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u+w [mm] \in [/mm] U und [mm] \alpha*w \in [/mm] U [mm] \Rightarrow u+\alpha*w \in [/mm] U
$ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)$: [mm] u+\alpha*w \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u [mm] \in [/mm] U, [mm] \alpha*w \in [/mm] U
Das ist mein Beweis für die Äquivalenz, aber irgendwie bin ich damit noch nicht ganz zufriden der oben genannten Gründe wegen.
Sagt mal bitte was ih davon haltet.
MfG,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Olek,
> Schönen guten Abend,
> ich hatte geplant diese Aufgabe zu beweisen in dem ich [mm]i) \gdw ii)[/mm]
> und [mm]i) \gdw iii)[/mm] zeige. Allerdings habe ich das Gefühl dass
> ich bei meiner Hinrichtung genau von den gleichen
> Voraussetzungen ausgehe wie bei meiner Rückrichtung. Das
> sieht dann folgendermaßen aus:
> [mm]i) \Rightarrow ii)[/mm]: Es gilt: W ist Unterraum, also gilt
> [mm]0\in[/mm] W, x,y [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\in[/mm] W und [mm]\lambda \in[/mm] K,
> y [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow \lamba*y \in[/mm] W.
> [mm]\Rightarrow \alpha \in[/mm] K, u,w [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] u+w [mm]\in[/mm] U
> und [mm]\alpha*w \in[/mm] U [mm]\Rightarrow u+\alpha*w \in[/mm] U
> [mm]ii) \Rightarrow i)[/mm]: [mm]u+\alpha*w \in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] u [mm]\in[/mm] U,
> [mm]\alpha*w \in[/mm] U
Ich gehe mal auf diese Argumentation ein:
Wieso darfst du aus
[mm] u + \alpha w \in W [/mm] folgern, dass [mm] u \in W [/mm]?
Gruß
Sigrid
> Das ist mein Beweis für die Äquivalenz, aber irgendwie bin
> ich damit noch nicht ganz zufriden der oben genannten
> Gründe wegen.
> Sagt mal bitte was ih davon haltet.
> MfG,
> Olek
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