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Hallöchen!
Ich soll zeigen das Teilmengen von [mm] \IR^3 [/mm] ("mit üblicher Addition und der üblichen Multipikation mit Skalaren aus [mm] \IR") [/mm] Untervektorräume sind. Wenn sie es nicht sind, kann ich ein Gegenbeispiel bringen. Wie kann ich denn zeigen, dass sie welche sind? Hier sind mal zwei Teilmengen:
a) [mm] \{(x,y,z)\in\IR |3x+5y+7z=0\}
[/mm]
b) [mm] \{( \lambda, \lambda,0)\in\IR|\lambda\in\IR\} \cup\{( 5\lambda, 5\lambda,0)\in\IR|\lambda\in\IR\}
[/mm]
Über einen Vorschlag wäre ich sehr dankbar.
Gruß Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Jenny!
> Hallöchen!
> Ich soll zeigen das Teilmengen von [mm]\IR^3[/mm] ("mit üblicher
> Addition und der üblichen Multipikation mit Skalaren aus
> [mm]\IR")[/mm] Untervektorräume sind. Wenn sie es nicht sind, kann
> ich ein Gegenbeispiel bringen. Wie kann ich denn zeigen,
> dass sie welche sind? Hier sind mal zwei Teilmengen:
>
> a) [mm]\{(x,y,z)\in\IR |3x+5y+7z=0\}
[/mm]
> b) [mm]\{( \lambda, \lambda,0)\in\IR|\lambda\in\IR\} \cup\{( 5\lambda, 5\lambda,0)\in\IR|\lambda\in\IR\}
[/mm]
>
Nun, wie macht man das? Man wählt sich zwei beliebige Elemente aus der Menge aus und schaut, ob nach der Addition der beiden das Ergebnis in der Menge drin liegt. Dann guckt man noch, ob meine skalare Multiplikation darin liegt.
Nehmen wir mal das erste Beispiel. Der Punkt (7 / 0 / -3) liegt in der Menge drin (er erfüllt die Nebenbedingung). Dazu wähle ich als zweites den Punkt (5 / -3 / 0), der auch die Nebenbedingung erfüllt.
Jetzt schaue ich, ob das Ergebnis der Addition in der Menge enthalten ist:
(7 / 0 / -3) + (5 / -3 / 0) = (12 / -3 / -3) (Komponentenweise addieren)
Nun prüfe ich ob die Nebenbedingung noch erfüllt ist: $3*12 +5*(-3)+7*(-3) = 36 - 15 - 21 = 0$
Stimmt also.
Nun muss ich das für beliebige Vektoren u und v zeigen (der erste Schritt ist nur dafür da, zu gucken, ob sich die Mühe lohnt)  :
Seien $u,v [mm] \in M_1:=\{(x,y,z)\in\IR |3x+5y+7z=0\}$. [/mm]
Zu zeigen: (i) $u+v [mm] \in M_1$ [/mm] und (ii)$ [mm] \lambda* [/mm] u [mm] \in M_1$ [/mm] für ein beliebiges [mm] $\lambda \in \IR$
[/mm]
zu (i): Es gilt: [mm] $3u_1 [/mm] + [mm] 5u_2 [/mm] + [mm] 7u_3 [/mm] = 0 $ und [mm] $3v_1 [/mm] + [mm] 5v_2 [/mm] + [mm] 7v_3 [/mm] = 0 $ .
Dann ist u+v:
[mm] $3u_1 [/mm] + [mm] 5u_2 [/mm] + [mm] 7u_3 [/mm] + [mm] 3v_1 [/mm] + [mm] 5v_2 [/mm] + [mm] 7v_3 [/mm] = 0 $
[mm] $\gdw 3(u_1+v_1) [/mm] + [mm] 5(u_2 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] 7(u_3 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] = 0$
Also ist $u+v [mm] \in M_1$.
[/mm]
Jetzt noch der Beweis zu (ii):
[mm] $\lambda*(3u_1 [/mm] + [mm] 5u_2 [/mm] + [mm] 7u_3) [/mm] = 0 $
[mm] $\gdw 3\lambda u_1 [/mm] + [mm] 5\lambda u_2 [/mm] + [mm] 7\lambda u_3 [/mm] = 0$.
Also ist [mm] $\lambda [/mm] u [mm] \in M_1$.
[/mm]
Das ist ein Musterbeweis für solche Aufgaben. Vielleicht probierst du gleich mal die 2. Menge deiner Aufgabenstellung.
Gruß Micha
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