Untervektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich hab hier ne Aufgabe und bin mir bei der Lösung nicht sicher.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume?
Da muss ich ja immer nachprüfen:
1) X [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2) Abgeschlossenheit bzgl. Addition
3) Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation
a) [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}: x=y=2z \} \subset \IR^{3}
[/mm]
Dies ist doch ein Untervektorraum? Hab das auch begründet (bewiesen), würde aber zu lange dauern, das hier aufzuschreiben
b) [mm] \{ \vektor{ x \\ y} \in \IR^{2}: x^{2}+ y^{4}=0 \} \subset \IR^{2}
[/mm]
Dies gilt doch nur für v= [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
D.h. 1), 2) 3) sind erfüllt.
Also folgt: Dies ist ein Unterraum. Stimmt das so?
c) X= [mm] \{ \vektor{ \mu+ \lambda\\ \lambda²} \in \IR²: \mu, \lambda \in \IR \} \subset \IR²
[/mm]
[mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] kann ich ja ganz normal behandeln.
1) ist erfüllt
2) + 3) wusste ich nicht wirklich, kann man sagen, dass X abgeschlossen ist bzgl. Addition und Multiplikation?
d) X= [mm] \{f \in Abb ( \IR, \IR): f(x) = f(-x) für alle x \in \IR \} \subset \IR^{3}
[/mm]
1) ist erfüllt
2) +3) sind auch erfüllt (denke ich zumindest), aber wie kann ich das formal richtig begründen (falls es stimmen sollte)?
Veranschaulichen kann man das ja mit f(x) = x²
Geht das so? 2) g,h [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] g(x)+h(x)= g(-x)+ h(-x) [mm] \in [/mm] X
e) [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}: x \ge y \} \subset \IR^{3}
[/mm]
Dies ist ein Untervektorraum, oder (es reicht, mir dies zu beantworten, Begründung hab ich)
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Sa 13.11.2004 | | Autor: | andreas |
> Hallo!
>
> Ich hab hier ne Aufgabe und bin mir bei der Lösung nicht
> sicher.
> Die Aufgabe lautet wie folgt:
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der
> angegebenen Vektorräume?
>
> Da muss ich ja immer nachprüfen:
> 1) X [mm]\not= \emptyset
[/mm]
> 2) Abgeschlossenheit bzgl.
> Addition
> 3) Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation
genau!
> a) [mm]\{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}: x=y=2z \} \subset \IR^{3}
[/mm]
>
> Dies ist doch ein Untervektorraum? Hab das auch begründet
> (bewiesen), würde aber zu lange dauern, das hier
> aufzuschreiben
richtig. anschaulich stelt das nämlich eine ursprungsebene dar!
> b) [mm]\{ \vektor{ x \\ y} \in \IR^{2}: x^{2}+ y^{4}=0 \} \subset \IR^{2}
[/mm]
>
>
> Dies gilt doch nur für v= [mm]\vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
> D.h. 1), 2) 3)
> sind erfüllt.
> Also folgt: Dies ist ein Unterraum. Stimmt das so?
meiner meinung nach ist das ok.
> c) X= [mm]\{ \vektor{ \mu+ \lambda\\ \lambda²} \in \IR²: \mu, \lambda \in \IR \} \subset \IR²
[/mm]
>
>
> [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] kann ich ja ganz normal behandeln.
> 1) ist erfüllt
> 2) + 3) wusste ich nicht wirklich, kann man sagen, dass X
> abgeschlossen ist bzgl. Addition und Multiplikation?
wenn ich mich nicht ganz täuche gilt [m] X = \mathbb{R}^2 [/m], also ist $X$ insbesondere untervektorraum des [m] \mathbb{R}^2 [/m].
> d) X= [mm]\{f \in Abb ( \IR, \IR): f(x) = f(-x) für alle x \in \IR \} \subset \IR^{3}
[/mm]
>
> 1) ist erfüllt
> 2) +3) sind auch erfüllt (denke ich zumindest), aber wie
> kann ich das formal richtig begründen (falls es stimmen
> sollte)?
> Veranschaulichen kann man das ja mit f(x) = x²
> Geht das so? 2) g,h [mm]\in[/mm] X [mm]\Rightarrow[/mm] g(x)+h(x)= g(-x)+
> h(-x) [mm]\in[/mm] X
prinzipiell stimmt das. die abgeschlossenheit bezüglich skalramultiplikation fehlt noch.
> e) [mm]\{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}: x \ge y \} \subset \IR^{3}
[/mm]
>
> Dies ist ein Untervektorraum, oder (es reicht, mir dies zu
> beantworten, Begründung hab ich)
ich befürchte, die begründung ist falsch. denn ist für [m] x = \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/m] und [m] \lambda = -1 [/m] auch [m] \lambda x [/m] element der oben definierten menge?
gruß
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:08 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ihr beiden,
> > c) X= [mm]\{ \vektor{ \mu+ \lambda\\ \lambda²} \in \IR²: \mu, \lambda \in \IR \} \subset \IR²
[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] kann ich ja ganz normal behandeln.
> > 1) ist erfüllt
> > 2) + 3) wusste ich nicht wirklich, kann man sagen, dass
> X
> > abgeschlossen ist bzgl. Addition und Multiplikation?
>
>
> wenn ich mich nicht ganz täuche gilt [m]X = \mathbb{R}^2 [/m],
> also ist [mm]X[/mm] insbesondere untervektorraum des [m]\mathbb{R}^2 [/m].
Da ist ein kleiner Denkfehler, der passiert, wenn man die Kriterien vernachlässigt (ich darf das sagen, mir ist das auch schonmal passiert  ):
Beachte, dass stets [mm] $\lambda^2 \ge [/mm] 0$ [mm] $\forall \lambda \in \IR$. [/mm] Es gilt:
1.) [mm] $\vektor{0\\1} \in [/mm] X$ (z.B. [mm] $\mu=-\lambda=-1$), [/mm]
2.) [mm] $\vektor{0\\4} \in [/mm] X$ (z.B. [mm] $\mu=-\lambda=-2$),
[/mm]
aber:
[mm] $\vektor{0\\1}-\vektor{0\\4}=\vektor{0\\-3} \notin [/mm] X$
(da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat $-3$ ergibt.)
Also kann $X$ kein Unterraum des [mm] $\IR^2$ [/mm] sein!
Oh, jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass das noch schneller geht:
Es gilt:
[mm] $\vektor{0\\1} \in [/mm] X$ (siehe oben), aber:
[mm] $-1*\vektor{0\\1}=\vektor{0\\-1} \notin [/mm] X$, da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat $-1$ ergibt.
Liebe Grüsse,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Sa 13.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi
Marcel hat natürlich recht. da war ich wohl nicht so fit. sorry.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi ihr!
Ja stimmt. Daran hab ich nicht gedacht.
Danke.
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi Marcel und Andreas  !
Danke für eure Antwort.
zu e) hab mich da wohl verschrieben, denn ich meinte: kein Unterraum, genau aus dem Grund, wenn [mm] \lambda [/mm] negativ ist.
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:05 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nette!
> > Hallo!
> >
> > Ich hab hier ne Aufgabe und bin mir bei der Lösung nicht
>
> > sicher.
> > Die Aufgabe lautet wie folgt:
> > Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der
>
> > angegebenen Vektorräume?
> >
> > Da muss ich ja immer nachprüfen:
> > 1) X [mm]\not= \emptyset
[/mm]
> > 2) Abgeschlossenheit
> bzgl.
> > Addition
> > 3) Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation
>
>
> > a) [mm]\{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}: x=y=2z \} \subset \IR^{3}
[/mm]
>
> >
> > Dies ist doch ein Untervektorraum? Hab das auch begründet
>
> > (bewiesen), würde aber zu lange dauern, das hier
> > aufzuschreiben
Echt? Dann mache ich es mal in Kurzform:
Ich setze [mm] $T:=\left\{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}: x=y=2z \right\}$
[/mm]
1.) [mm] $\vektor{0\\0\\0}\in [/mm] T$, da $0=0=2*0$, also $T [mm] \not=\emptyset$.
[/mm]
2.) Seien $v,w [mm] \in [/mm] T$, $a,b [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] r,s [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $v=\vektor{2r \\ 2r \\ r}$ [/mm] und [mm] $w=\vektor{2s \\ 2s \\ s}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Zwischenschritte lasse ich mal weg)
[mm] $a*v+b*w=\vektor{2(ar+bs) \\ 2(ar+bs) \\ ar+bs}$
[/mm]
Wegen $d:=ar+bs [mm] \in \IR$ [/mm] folgt:
[mm] $a*v+b*w=\vektor{2d \\ 2d \\ d}\in [/mm] T$.
Also ist $T$ ein Unterraum von [mm] $\IR^3$.
[/mm]
(PS: Ich habe absichtlich ein anderes Unterraumkriterium zum Nachrechnen benutzt. Es ist aber äquivalent zu dem, welches du immer benutzt; und du sollst nun gucken, wie du das analog mit deinen Kriterien notieren kannst! )
Liebe Grüsse,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi Marcel!
Wenn ich das richtig verstanden hab, dann hast du doch meinen 2. und 3. Punkt miteinander verknüpft, oder?
Ich denke, ich kann das jetzt auf meine Kriterien umschreiben (hatte es auch so in der Art)
Danke dir vielmals.
Gruß
Annette
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:24 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nette!
Entschuldige meinen Tatendrang!
Aber hier habe ich auch noch etwas zu ergänzen:
> d) X= [mm]\{f \in Abb ( \IR, \IR): f(x) = f(-x) für alle x \in \IR \} \subset \IR^{3}
[/mm]
Wieso eigentlich [mm] $\subset \IR^3$? [/mm] Das macht keinen Sinn!
>
> 1) ist erfüllt
> 2) +3) sind auch erfüllt (denke ich zumindest), aber wie
> kann ich das formal richtig begründen (falls es stimmen
> sollte)?
> Veranschaulichen kann man das ja mit f(x) = x²
> Geht das so? 2) g,h [mm]\in[/mm] X [mm]\Rightarrow[/mm] g(x)+h(x)= g(-x)+
> h(-x) [mm]\in[/mm] X
$X [mm] \not=\emptyset$, [/mm] da für [mm] $f_0: \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f_0(x):=0$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $f_0(-x)=0=f_0(x)$, [/mm] also ist [mm] $f_0 \in [/mm] X$ (das ist der Nullvektor von $X$).
Ich zeige dir mal die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition:
Sind $f,g [mm] \in [/mm] X$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$f,g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und es gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$:
[/mm]
(I) $f(-x)=f(x)$ und (II) $g(-x)=g(x)$.
Dann folgt:
$f+g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und es gilt für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[m](f+g)(-x)\stackrel{nach\;Definition}{=}f(-x)+g(-x)\stackrel{(I),(II)}{=}f(x)+g(x)\stackrel{nach\;Definition}{=}(f+g)(x)[/m]
und damit auch:
$f+g [mm] \in [/mm] X$.
Wie der Rest zu notieren ist, dürfte nun klar sein! (Oder?)
Liebe Grüsse,
Marcel
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