Untervektorräume < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hoi Kollegas!
Kann mir irgend jemand erklären wie das mit den Untervektorräumen funktioniert? Ich weiss zwar, dass folgendes notwendig ist (sei U eine Teilmenge von V):
U darf nicht leer sein
Für alle x, y [mm] \in [/mm] U gilt x + y [mm] \in [/mm] U
Für alle x [mm] \in [/mm] U und a [mm] \in \IR [/mm] gilt ax [mm] \in [/mm] U
damit U ein Untervektorraum von V ist, check aber trotzdem hinten und vorne nicht wie ich für eine beliebige Angabe bestimmen kann, ob diese einen Untervektorraum darstellt oder nicht!
Hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Kann mir irgend jemand erklären wie das mit den
> Untervektorräumen funktioniert? Ich weiss zwar, dass
> folgendes notwendig ist (sei U eine Teilmenge von V):
> U darf nicht leer sein
> Für alle x, y [mm]\in[/mm] U gilt x + y [mm]\in[/mm] U
> Für alle x [mm]\in[/mm] U und a [mm]\in \IR[/mm] gilt ax [mm]\in[/mm] U
> damit U ein Untervektorraum von V ist, check aber trotzdem
> hinten und vorne nicht wie ich für eine beliebige Angabe
> bestimmen kann, ob diese einen Untervektorraum darstellt
> oder nicht!
Also, eigentlich ist das nicht so schwierig:
U darf nicht leer sein, das heißt ja, dass es in U mindestens ein Element geben muss, und das sieht man ja eigentlich in der Regel direkt. Die zweite Bedingung bedeutet, dass, wenn du zwei Elemente aus U nimmst und sie dann verknüpfst (hier mit der Summe), das Ergebnis dann immer noch in U liegt.
Und die dritte Bedingung sagt etwas Ähnliches, nur nimmst du hier ein Element a, das nicht aus U kommt, sondern einfach nur aus [mm] \IR, [/mm] dann multiplizierst du das mit einem Element aus U und wenn das Ergebnis dann wieder in U liegt, hast du einen Untervektorraum.
Verstehst du jetzt, was gemeint ist?
Übrigens gab es glaube ich noch eine kürzere Möglichkeit zu überprüfen, ob ein Untervektorraum vorliegt oder nicht.
Und hier im Matheraum wurden schon oft Beispiele zu Untervektorräumen dieskutiert, probier's doch mal mit unserer Suchfunktion.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Do 20.01.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo Bastiane!
Vorerst Danke für deine rasche Auskunft. Allerdings ist deine Antwort nicht ganz das was ich mir vorgestellt habe, vielleicht habe ich auch meine Frage einfach zu ungenau definiert. Es ist mir klar was die einzelnen Regeln bedeuten, ich kann mir aber einfach nicht so wirklich vorstellen, was mit einem Untervektorraum gemeint ist! Es leuchtet mir zwar ein, dass die Menge {0} bzw. V immer Untervektorräume eines Vektors V darstellen, aber ich versteh´ einfach nicht, wie ich für einen beliebigen Vektor zeigen kann, ob er einen Untervektorraum für einen anderen darstellt oder eben nicht. Könntest du mir dies vielleicht anhand von einem simplen Beispiel erläutern. Das wär super...
Besten Dank und
mfg Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Robert,
> aber ich
> versteh´ einfach nicht, wie ich für einen beliebigen Vektor
> zeigen kann, ob er einen Untervektorraum für einen anderen
> darstellt oder eben nicht.
Das ergibt nicht wirklich Sinn - außer dem Nullraum gibt es keinen Raum mit genau einem Element (=Vektor) darin.
Ich versuche mal ein anschauliches Beispiel: Nimm dir den R³ aus der Schule, das ist ein prima Vektorraum - mit ganz vielen dollen Vektoren drinne, die alle "zufällig" die Eigenschaften erfüllen, die ein VR erfüllen soll.
Jetzt nimmst du eine Teilmenge daraus und willst wissen, ob es ein UnterVR ist.
Dann musst du also die drei oben genannten Eigenschaften nachprüfen (und zwar allgemein, weil ja für alle x und y aus der Teilmenge gelten soll ...)
ich mache mal erstmal eine Anmerkung: aus deinen drei Eigenschaften folgt sofort (bzw. ist äquivalent zu deiner ersten der drei Eigenschaften) : Die Null des VRs muss in dieser Teilmenge enthalten sein !
Warum?
-die Teilmenge darf nicht leer sein, also gibt es ein x
-du darfst mit jedem a aus R multiplizieren, also auch mit (-1), deshalb gibt es auch -x
=> (x+(-x))=0 muss laut deiner zweiten eigenschaft auch drinne sein !!
so, du brauchst also nur die Teilmengen anschauen, die den Nullvektor in sich haben.
wenn du jetzt noch deine zweite und dritte Eigenschaft zu flgender zusammenfasst, dann fällt dir bestimmt was auf:
2+3: für alle x,y aus U und a,b aus R ist (ax+by) in U
das heißt, wenn du zwei Vektoren hast (einer kann auch der Nullvektor sein) dann sind alle Linearkombinationen drinne !
Also angenommen du hast einen Vektor v drinne, dann ist die gesamte Gerade, die durch den Nullvektor und v geht darin (das ist gerade a*v für alle a)
wenn du zwei (linear unabhängige) vektoren x und y hast, dann sind es die Spannvektoren der Ebene, die durch den Nullpunkt geht
und wenn du drei (l.u.) Vektoren hast, hast du den ganzen Raum !
D.H. zusammenfassend: Es gibt nur vier Arten von UVRs im R³ :
0) Dimension (=Anzahl der erzeugenden Vektoren) 0 : der Nullraum = {0}
1) Dimension 1 : eine Gerade durch v (und den Nullpunkt)
2) Dimension 2 : eine Ebene mit x und y als Spannvektoren (und durch Null)
3) Dimension 3 : den ganzen Raum (erzeugt von einer Basis=drei lin. unabh. Vektoren)
Ein UVR ist selbst also wieder ein VR - nur eben eingebettet in einen VR, den du schon kennst, deshalb musst du sowas wie assoziativität nicht nachweisen, denn du weißt ja schon, dass es für alle Vektoren des VR gilt, also auch für jede Teilmenge.
Hoffe, jetzt ist es etwas klarer.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo DaMenge!
Vielen Dank für deine aufschlussreiche und ausführlich Antwort! So langsam komme ich der Sache näher. Eine letzte Frage hätte ich noch um mir Gewissheit zu verschaffen:
Mir ist klar wie eine Gerade ausschaut die durch den Ursprung geht. Wie sieht aber eine Ursprungsebene bzw ein Ursprungsraum aus???
Sehe ich das richtig, dass eine Ursprungsfläche den Ursprung im Mittelpunkt hat - sprich beide Diagonalen der Fläch halbiert - oder was ist darunter zu verstehen?
Besten Dank im Voraus und
mfg Robert
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halbieren ist hier sicher das falsche wort, da eine ebene, bzw. die beiden Vektoren die sie aufspannen keine definierte LÄnge haben.
der zwei dimensionale Unterraum ist in seiner Ausdehnung also im Prinzip unendlich groß, er erstreckt sich in zwei dimensionen.
Der nullpunkt ist nur ein Punkt in diesem raum. (Nötig als neutrales Element bezüglich +, wenn vektorraumgesetze gezeigt werden müssten.)
Unterraum entsprich im prinzip: Vektorraum im Vektorraum, siehe antwort 2 drüber...
Grüße, Earl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo zusammen!
Ich mich nur noch kurz bei allen bedanken die mir bei meinem "Untervektor-
raumproblem" geholfen haben!
Ich checks jetzt endlich...
DANKE
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