Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
also ich weiß nicht recht ob das ein Untervektorraum sein kann, da man doch Variablen nicht mit sich selbst oder anderen Variablen multiplizieren darf um nicht die Linearität zu verlieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher ob das auch für Untervektorräume gilt. Also wenn jetzt die "Beschränkung" $xy [mm] \ge [/mm] 0" wäre, könnte es kein Untervektorraum mehr sein, da das System dann nicht gegen negative Zahlen "abgeschlossen" ist.
Aber wie sieht es hier aus? Kann es trotz dieser Quadrierung ein Untervektorraum sein? (Wenn ja, werde ich die Aufgabe mal anfangen zu rechnen)
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
[mm] V=\{(x,y,z)\in\IR^3| x=y\}.
[/mm]
Man kann halt auch durch nicht-lineare Bedingungen einen Untervektorraum definieren. Aber komisch ist das zugegebenermaßen schon.
Volker
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Hi,
da meine grundlegende Annahme richtig war dass es sich um einen Uuntervektorraum handeln kann werde ich das was ich "bewiesen" habe mal hinschreiben:
a)
$Seien [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in [/mm] V$
[mm] $(x_1^2+x_2^2)-(y_1^2+y_2^2)=0$
[/mm]
Also ist:
[mm] $\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] + [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1+Z_2}$
[/mm]
b)
Seien [mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \in [/mm] V, [mm] \lambda \in \IR$
[/mm]
[mm] $x^2-y^2=0 \Rightarrow \lambda*x^2-\lambda*y^2=0$
[/mm]
Somit wäre gezeigt, dass das ein Untervektorraum ist.
Stimmt das so oder ist da etwas kritisch oder gar falsch?
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
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Hey KnockDown!
Also ich finde du hast hier richtig nachgedacht. Vielleicht kann man ein paar kleine Sachen noch besser hinschreiben. (optimieren, wie die Betriebswirte ja sagen.)
Zuerst müsstest du prüfen, dass der U-Raum nicht leer ist, damit wir überhaupt von Vektoren dieses Raums reden können. Meistens zeigt man es nicht, da es eh selbstverständlich ist.
Nimm den Nullvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] => [mm] 0^{2}-0^{2} [/mm] =0
Also ist der U-Raum nicht leer
> a)
>
> [mm]Seien \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in V[/mm]
>
> [mm](x_1^2+x_2^2)-(y_1^2+y_2^2)=0[/mm]
>
> Also ist:
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} + \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} = \vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1+Z_2}[/mm]
>
und das ist ja [mm] (x_{1}+x_{2})^{2}-(y_{1}+y_{2})^{2}=0 [/mm] , was du oben geschrieben hast
> b)
>
> Seien [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in V, \lambda \in \IR[/mm]
>
> [mm]x^2-y^2=0 \Rightarrow \lambda*x^2-\lambda*y^2=0[/mm]
Du meinst das Richtige. Aber man sollte es übersichtlicher aufschreiben
[mm] \lambda \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z}
[/mm]
=> [mm] (\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda^{2}*(x^{2}-y^{2})=0
[/mm]
So jetzt bin ich selber überfragt :D Darf da jetzt [mm] \lambda^{2} [/mm] stehen oder muss [mm] \lambda [/mm] stehen? Ich nehme es an. Naja ich hoffe, dass kann jemand anderer beantworten.
Ich hoffe trotzdem, dass meine Hilfe etwas gebracht hat.
GorkyPark
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Hi GorkyPark,
danke für deine Hilfe!
Ich habe noch 2 Fragen dazu:
Ich hatte das vorhin (in der ersten Version meiner Frage) mit dem Nullvektor so beschrieben:
a)
$Seien [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in [/mm] V$
[mm] $(x_1^2+x_2^2)-(y_1^2+y_2^2)=0$
[/mm]
Also ist:
[mm] $\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] + [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1+Z_2}$ [/mm]
Stimmt das so? Also kann man das so stehen lassen oder ist das nicht korrekt?
> Hey KnockDown!
>
> Also ich finde du hast hier richtig nachgedacht. Vielleicht
> kann man ein paar kleine Sachen noch besser hinschreiben.
> (optimieren, wie die Betriebswirte ja sagen.)
>
> Zuerst müsstest du prüfen, dass der U-Raum nicht leer ist,
> damit wir überhaupt von Vektoren dieses Raums reden können.
> Meistens zeigt man es nicht, da es eh selbstverständlich
> ist.
>
> Nimm den Nullvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] => [mm]0^{2}-0^{2}[/mm] =0
>
> Also ist der U-Raum nicht leer
>
> > a)
> >
> > [mm]Seien \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in V[/mm]
>
> >
> > [mm](x_1^2+x_2^2)-(y_1^2+y_2^2)=0[/mm]
> >
> > Also ist:
> >
> > [mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} + \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} = \vektor{x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1+Z_2}[/mm]
>
> >
>
> und das ist ja [mm](x_{1}+x_{2})^{2}-(y_{1}+y_{2})^{2}=0[/mm] , was
> du oben geschrieben hast
>
>
>
> > b)
> >
> > Seien [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in V, \lambda \in \IR[/mm]
> >
> > [mm]x^2-y^2=0 \Rightarrow \lambda*x^2-\lambda*y^2=0[/mm]
>
> Du meinst das Richtige. Aber man sollte es übersichtlicher
> aufschreiben
>
> [mm]\lambda \vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{\lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z}[/mm]
>
> => [mm](\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}=0[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}*(x^{2}-y^{2})=0[/mm]
Hierzu hab ich noch ne Frage und zwar:
1. Warum wird das Lambda erst mit x multipliziert und dann das gesamte quadriert und nicht so wie ich es gemacht hatte, dass man erst quadriert und dann die variable mit lambda multipliziert?
2. Warum kann man das nicht so schreiben:
[mm]\lambda(x^{2}-y^{2})=0[/mm]
>
> So jetzt bin ich selber überfragt :D Darf da jetzt
> [mm]\lambda^{2}[/mm] stehen oder muss [mm]\lambda[/mm] stehen? Ich nehme es
> an. Naja ich hoffe, dass kann jemand anderer beantworten.
>
> Ich hoffe trotzdem, dass meine Hilfe etwas gebracht hat.
>
> GorkyPark
Danke Gruß Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 24.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
> 1. Warum wird das Lambda erst mit x multipliziert und dann
> das gesamte quadriert und nicht so wie ich es gemacht
> hatte, dass man erst quadriert und dann die variable mit
> lambda multipliziert?
>
> 2. Warum kann man das nicht so schreiben:
>
> [mm]\lambda(x^{2}-y^{2})=0[/mm]
So, wie Du es gemacht hat, verdrehst Du etwas die Richtungen des Beweises. Zu zeigen ist, falls $(x,y,z) [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in \IR$, [/mm] dann auch [mm] $\lambda(x,y,z) [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y, [mm] \lambda [/mm] z) [mm] \in [/mm] V$. Du mußt also zeigen [mm] $(\lambda x)^2 [/mm] - [mm] (\lambda y)^2 [/mm] = 0$ und [mm] $(\lambda x)(\lambda [/mm] y) [mm] \geq [/mm] 0$ unter der Voraussetzung, daß [mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = 0$ und $xy [mm] \geq [/mm] 0$.
Ähnlich ist das bei der Addition. Du mußt zeigen: Wenn [mm] $(x_1,y_1,z_1) \in [/mm] V$ und [mm] $(x_2,y_2,z_2) \in [/mm] V$, dann ist auch [mm] $(x_1,y_1,z_1) [/mm] + [mm] (x_2,y_2,z_2) [/mm] = [mm] (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2) \in [/mm] V$. Also muß gelten [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2)^2 [/mm] - [mm] (y_1 [/mm] + [mm] y_2)^2 [/mm] = 0$ und [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2)(y_1 [/mm] + [mm] y_2) \geq [/mm] 0$ unter der Voraussetzung, daß [mm] $x_j^2 [/mm] - [mm] y_j^2 [/mm] = 0$ und [mm] $x_jy_j \geq [/mm] 0$ gelten mit $j =1,2$.
Daß $V$ nicht leer ist, wurde irgendwo in der Diskussion schon gezeigt.
Eine vielleicht etwas einfachere Möglichkeit ist es, die Menge $V$ genauer zu bestimmen. Versuch doch mal herauszufinden, welche $(x,y,z)$ die Bedingungen [mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = 0$ und $xy [mm] \geq [/mm] 0$ erfüllen. Wenn ich mich nicht sehr irre, kommt da eine Menge raus, von der man leicht sieht, daß sie ein Unterraum ist.
Hoffe, ich konnte helfen.
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Mein Gott! Warum machst du das so kompliziert? Der Witz dieser Aufgabe ist doch, daß du die Äquivalenz
[mm]x^2 - y^2 = 0 \ \ \text{und} \ \ xy \geq 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ x = y[/mm]
erkennen sollst. Darauf haben dich Volker2 (und indirekt auch unknown) ja schon aufmerksam gemacht. Begründe daher diese Äquivalenz und arbeite dann mit der Ersatzbedingung statt mit der originalen. Dann ist die Lösung dieser Aufgabe doch in wenigen Zeilen hingeschrieben.
Daß ist so ähnlich, als würde jemand die Funktion
[mm]f(x) = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 1} - 1[/mm]
untersuchen wollen und nicht bemerken, daß das in Wirklichkeit [mm]f(x) = x^2[/mm] ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 18.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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