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| Aufgabe | Der Untervektorraum U von [mm] \IQ^{4} [/mm] sei durch die Vektoren
[mm] v_{1}= \vektor{1 \\ 1\\ 1\\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2}= \vektor{1 \\ 2\\ 2\\ 1}
[/mm]
[mm] v_{3}= \vektor{2 \\ 1\\ 3\\ 0}
[/mm]
[mm] v_{4}= \vektor{0 \\ 1\\ -1\\ 2}
[/mm]
[mm] v_{5}= \vektor{2 \\ 0\\ 1\\ 1}
[/mm]
aufgespannt. Bestimmen Sie die Dimension von U, geben sie eine Basis an , und bestimmen Sie die Koordinaten von [mm] v_{1},...,v_{5} [/mm] bezüglich dieser Basis. |
Also ist es richtig, wenn ich schreibe:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 =2 \\ 1 & 2 & 1 & 1=0\\ 1 & 2 & 3 & -1=1\\ 1 & 1 & 0 & 2=1}
[/mm]
Dann würde ich das Gleichungssystem lösen und die Koordinaten für die Basis somit ausrechnen.
Ist das so richtig oder bin ich auf einem völlig falschen Weg????
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Hallo,
wenn Du Dich zuvor davon überzeugt hast, daß [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] eine Basis ist, dann ist Dein Weg richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela, vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich habe noch mal ne Frage, überprpüfe ich $ [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] $ eine Basis ist, indem ich mir drei von diesen Vektoren raussuche und dann zeige, dass sie linear Unabhängig sind und damit auch eine Basis bilden ????
Lieben Gruß
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<f,f>
</f,f>> Hallo Angela, vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Ich habe noch mal ne Frage, überprpüfe ich [mm](v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm]
> eine Basis ist, indem ich mir drei von diesen Vektoren
> raussuche und dann zeige, dass sie linear Unabhängig sind
> und damit auch eine Basis bilden ????
Hallo,
gegeben hast Du 5 Vektoren des [mm] \IR^4, [/mm] und Du sollst nun zunächst die Dimension des von ihnen erzeugten Raumes U angeben und eine Basis bestimmen.
Dies tust Du am besten, indem Du den Rang der Matrix ermittelst, deren Spalten diese 5 Vektoren sind.
Hast Du das schon getan?
Mal angenommen - ich habe es nicht geprüft! - der Rang wäre 3.
Dann weißt Du, daß drei der fünf Vektoren eine Basis von U bilden.
Du mußt nun aus den 5 Vektoren drei linear unabhängige herauspicken.
Das kann man auf verschiedene Weise tun. Z.B. durch Probieren.
Man kann es aber auch aus der Zeilenstufenform ablesen, was ich Dir zeigen könnte bzw. würde, wenn Du sie einfach mal postest.
Gruß v. Angela
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> Der Untervektorraum U von [mm]\IQ^{4}[/mm] sei durch die Vektoren
>
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> [mm]v_{1}= \vektor{1 \\ 1\\ 1\\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}= \vektor{1 \\ 2\\ 2\\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_{3}= \vektor{2 \\ 1\\ 3\\ 0}[/mm]
>
> [mm]v_{4}= \vektor{0 \\ 1\\ -1\\ 2}[/mm]
>
> [mm]v_{5}= \vektor{2 \\ 0\\ 1\\ 1}[/mm]
>
> aufgespannt. Bestimmen Sie die Dimension von U, geben sie
> eine Basis an , und bestimmen Sie die Koordinaten von
> [mm]v_{1},...,v_{5}[/mm] bezüglich dieser Basis.
> Also ist es richtig, wenn ich schreibe:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 =2 \\ 1 & 2 & 1 & 1=0\\ 1 & 2 & 3 & -1=1\\ 1 & 1 & 0 & 2=1}[/mm]
>
> Dann würde ich das Gleichungssystem lösen und die
> Koordinaten für die Basis somit ausrechnen.
>
> Ist das so richtig oder bin ich auf einem völlig falschen
> Weg????
Der Weg ist halb richtig.
Wie angela gesagt hat, wenn du bereits wüsstest, dass [mm] $v_1,v_2,v_3,v_4$ [/mm] eine Basis ist könntest du damit die Koordinaten berechnen.
Problem ist nur, dass [mm] $v_1,v_2,v_3,v_4$ [/mm] keine Basis ist...
Um die Basis zu berechnen betrachte diese Matrix:
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1}$
[/mm]
Bring sie so weit wie möglich in Zeilenstufenform.
Die Spalten, in denen du dann einen Zeilenstufenanfang hast, das sind deine Basiselemente.
Also hast du zum Beispiel in Spalte 1, Spalte 3 und Spalte 5 einen Zeilenstufenanfang (nach dem Gaußalgorithmus), so wären [mm] $v_1,v_3$ [/mm] und [mm] $v_5$ [/mm] eine Basis.
Die Dimension kriegst du dann, indem du einfach zählst wie viele Vektoren du in der Basis hast.
Für die Koordinaten stimmte dein Verfahren, also wenn du die Basis hast dann schreibst du:
[mm] $\pmat{ \text{Basis} & = & \text{Vektor}}$
[/mm]
und rechnest das aus.
MfG
Schadow
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