Urbild Abbildung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Sa 26.02.2011 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | Seien M, N Mengen mit $f: M [mm] \to [/mm] N $ eine Abbildung.
Sei $L [mm] \subseteq [/mm] N$ eine Teilmenge. Gilt stets $ [mm] f(f^{-1}(L)) \subseteq [/mm] L$? Unter welcher Bedignung gilt Gleichheit? |
Mein Ansatz: [mm] $f^{-1}(L)$ [/mm] ist hier das Urbild der Menge L. Es ist eine Teilmenge von M. Für jedes Element das in $ M' [mm] \subseeteq [/mm] M$ mit $M'= [mm] f^{-1}(L)$ [/mm] enthalten ist, gilt das f angewendet auf M' durch die Eindeutigkeit von f ein Element von L ergibt (Kein Element aus M' hat 2 Bilder).
Ist das soweit richtig argumentiert? In wieweit kann man hier noch mehr Substanz in die Argumentation reinbringen?
Jetzt zur Frage nach der Gleichheit?
Gibt es überhaupt Möglichkeiten, f so zu gestalten, das diese Gleichheit eben nicht gilt?
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Hallo,
> Seien M, N Mengen mit [mm]f: M \to N [/mm] eine Abbildung.
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> Sei [mm]L \subseteq N[/mm] eine Teilmenge. Gilt stets [mm]f(f^{-1}(L)) \subseteq L[/mm]?
> Unter welcher Bedignung gilt Gleichheit?
> Mein Ansatz: [mm]f^{-1}(L)[/mm] ist hier das Urbild der Menge L.
Genau. Es ist [mm] f^{-1}(L)=\{m\in M| f(m)\in L\}. [/mm] Damit ist dieser Teil der Behauptung klar.
> Es ist eine Teilmenge von M. Für jedes Element das in [mm]M' \subseteq M[/mm]
> mit [mm]M'= f^{-1}(L)[/mm] enthalten ist, gilt das f angewendet auf
> M' durch die Eindeutigkeit von f ein Element von L ergibt
> (Kein Element aus M' hat 2 Bilder).
>
> Ist das soweit richtig argumentiert? In wieweit kann man
> hier noch mehr Substanz in die Argumentation reinbringen?
In der Kürze liegt hier wohl die Würze 
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> Jetzt zur Frage nach der Gleichheit?
> Gibt es überhaupt Möglichkeiten, f so zu gestalten, das
> diese Gleichheit eben nicht gilt?
Ja. Betrachte f: [mm] \{1,2,3\}\to\{1,2,3\} [/mm] mit f(1)=f(2)=f(3)=1 und dazu [mm] L=\{2\}. [/mm] Das Urbild [mm] f^{-1}(L) [/mm] zu L ist offensichtlich leer, weswegen [mm] f(f^{-1}(L))=f(\emptyset)=\emptyset\neq [/mm] L
Gruß
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