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Hallo,
ich habe Probleme mir die Urbildmenge von Funktionen vorzustellen und zu bestimmen.
Kann mir mal jemand die Vorgehensweise am Beispiel der Funktion [mm] f(x)=\frac{1}{x} [/mm] erklären.
Grüße
Schurixxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Do 15.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
stell dir folgende Definition einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion vor.
Sei [mm] f: X \to Y : x \in X \mapsto f(x) \in Y [/mm] eine Funktion und sei dann [mm] f^{-1}: Y \to X : y \in Y \mapsto f^{-1}(y) \in X[/mm] ihre Umkehrfunktion.
In deinem Beispiel wäre dies: [mm] f: \IR \backslash{0} \to \IR : x \mapsto \bruch{1}{x}[/mm] mit entsprechender Umkehrfunktion [mm] f^{-1}: \IR \to \IR \backslash{0} : y \mapsto x[/mm]
Die Umkehrfunktion von [mm] y = \bruch{1}{x} [/mm] ist ja [mm] x = y [/mm]
Jetzt also die Frage, was ist unsere Urbildmenge?
Sei dazu das Urbild ersteinmal folgendermaßen definiert:
[mm] M \subseteq Y: f^{-1}(M) := \{x \in X: f(x) \in M\} [/mm]
Setzen wir das mal für unsere Funktion ein. Erhalten wollen wir das Urbild für die gesamte Menge [mm] \IR
[/mm]
[mm] f^{-1}(\IR) = \{x \in \IR\backslash\{0\} : \bruch{1}{x} \in \IR\} [/mm]
Unser Urbild ist also [mm] \IR\backslash\{0\} [/mm].
Nun ist ja deine Frage gewesen, wir man sich das eigentlich vorstellen kann. Wir haben doch ebend das Urbild der Menge [mm] \IR [/mm] betrachtet. Wenn du dir deine Funktion nocheinmal anschaust, dann wird dir auffallen, dass wir nichts weiter als unser [mm] X [/mm] (aus der Funktionsdefinition) erhalten haben. Du kannst dir eine Funktion doch aber auch als Graphen vorstellen, welcher aus zwei Mengen besteht. Die eine Menge steht links und verkörpert dein [mm] X [/mm] und die andere Menge steht rechts und verkörpert dein [mm] Y [/mm]. Da [mm] f [/mm] eine Funktion ist und dazu noch eine Umkehrfunktion besitzt, kannst du dir von jedem Element aus der linken Menge einen gerichteten Pfeil zu genau einem Element in der rechte Menge vorstellen. Dieses Element bildet dann also auf ein Element aus der rechten Menge ab. Meine Umkehrfunktion bildet doch nun auch wieder ein Element von der rechten Menge auf die Linke ab. Und genau die Elemente, die du nun erreichst, das sind deine Urbilder. Und sie heißen Urbilder, gerade weil sie ja ursprünglich auf deine Elemente in der rechten Menge abgebildet haben.
Sollte [mm] f [/mm] einmal keine Umkehrfunktion besitzen, dann ist das Urbild aber trotzdem definiert. Auch wenn [mm] f^{-1} [/mm] nicht existiert. Es gibt dann aber keine expliziete Funktionsvorschrift, da [mm] f^{-1} [/mm] ja keine Funktion darstellt.
Bei Wikipedia sind die Begriffe Bild, Kern, Urbild und Umkehrfunktion sehr schön beschrieben. Das solltest du dir einfach einmal durchlesen...
P.S. Zeichne dir die beiden Mengen, die ich dir oben beschrieben habe, doch einfach mal auf. Dann denke dir ein paar Elemente, zeichne die hinein und führe dann die Funktion darauf aus. Dann erhälst du solch einen Graphen und kannst dir das mal genaz genau anschauen.
ich hoffe das hilft dir etwas weiter
mfG Zaed
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