V.I. Bin. formel + koeffizent < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 So 30.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Beweisen sie mit der Volst. Induktion dass:
[mm] $(x+y)^{n}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^{k}$ [/mm] |
ich habe das ergebniss zwar da aber ich kann nicht nachvolziehen wie man von einer in die andere zeile kommt.
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Basis: n=0
A(0) => [mm] $(x+y)^{0}= \summe_{k=0}^{n=0}\vektor{0 \\ 0}x^{0}y^{0}$
[/mm]
=> $1=1$ OK!
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Annahme: n
[mm] $(x+y)^{n}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^{k}$
[/mm]
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I.schritt : n+1
[mm] $(x+y)^{n+1}= \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}x^{n-k+1}y^{k}$
[/mm]
[mm] $(x+y)^{n+\red{1}} [/mm] = [mm] \red{(x+y)}(x+y)^{n}$
[/mm]
$ = [mm] \red{(x+y)} \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^{k}$
[/mm]
$ = [mm] \red{x} \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^{k} [/mm] + [mm] \red{y} \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^{k}$
[/mm]
$ = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k \red{+1}}y^{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^{k\red{+1}}$
[/mm]
$ = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k +1}y^{k} [/mm] + [mm] \summe_{k={\red{1}}}^{n\red{+1}}\vektor{n \\ k\red{-1}}x^{n-k\red{+1}}y^{k}$
[/mm]
$ = [mm] \vektor{n \\ 0}x^{n+1}y^{0} [/mm] + [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k +1}y^{k} + \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k -1}x^{n-k+1}y^{k}}+ \vektor{n \\ n}x^{0}y^{n+1}$
[/mm]
$ = [mm] \vektor{n\red{+1} \\ 0}x^{n+1}y^{0} [/mm] + [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n}\vektor{\vektor{n \\ k} +\vektor{n \\ k-1} }x^{n-k+1}y^{k}}+ \vektor{n\red{+1} \\ n \red{+1}}x^{0}y^{n\+1}$
[/mm]
die Letzte zeile verstehe ich nicht ganz.
von der vorletzten zeile den blauen Teil kann man zusammenfassen das ist ok.
aber wo zum... kommt der rote teil her ?
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weiter fehlen noch 2 zeien dan ist der beweis vollbracht:
$ = [mm] \vektor{n\red{+1} \\ 0}x^{n+1}y^{0} [/mm] + [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k}x^{n-k+1}y^{k}}+ \vektor{n\red{+1} \\ n \red{+1}}x^{0}y^{n\+1}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}x^{n-k+1}y^{k}$
[/mm]
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Hallo masa-ru,
> [mm]= \vektor{n \\ 0}x^{n+1}y^{0} + \blue{\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k +1}y^{k} + \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k -1}x^{n-k+1}y^{k}}+ \vektor{n \\ n}x^{0}y^{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]= \vektor{n\red{+1} \\ 0}x^{n+1}y^{0} + \blue{\summe_{k=1}^{n}\vektor{\vektor{n \\ k} +\vektor{n \\ k-1} }x^{n-k+1}y^{k}}+ \vektor{n\red{+1} \\ n \red{+1}}x^{0}y^{n\+1}[/mm]
>
> die Letzte zeile verstehe ich nicht ganz.
> von der vorletzten zeile den blauen Teil kann man
> zusammenfassen das ist ok.
> aber wo zum... kommt der rote teil her ?
Das ist lediglich ein kleiner "Umformungstrick", um die Form der beiden Summanden an die Summe anzupassen, um sie dort einfügen zu können, so dass die Summe schlussendlich - wie gewünscht - von $k=0$ bis $k=n+1$ läuft
Hier wird lediglich benutzt, dass [mm] $\vektor{n\\0}=1=\vektor{n+1\\0}$ [/mm] ist, also ist lediglich die 1 anders geschrieben worden, so dass dort nun der erste Summand (für k=0) der Summe steht.
Analog beim letzten Term
Hier ist [mm] $\vektor{n\\n}=1=\vektor{n+1\\n+1}$, [/mm] also nur wieder eine anders geschriebene 1, um die beiden Summanden unter die Summe schreiben zu können
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> weiter fehlen noch 2 zeien dan ist der beweis vollbracht:
>
> [mm]= \vektor{n\red{+1} \\ 0}x^{n+1}y^{0} + \blue{\summe_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k}x^{n-k+1}y^{k}}+ \vektor{n\red{+1} \\ n \red{+1}}x^{0}y^{n\+1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}x^{n-k+1}y^{k}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 30.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
hallo schachuzipus,
ich dank dir!
aber von aleine da drauf zu kommen um des ganze ding komplett zu beweisen, als erstie^^ nicht einfach :-(
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