VR/Norm Menge stetiger Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 10.04.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Wir haben ein Menge sämtlicher stetiger Funktionen f: [x,y]->IR, diese sei C([x,y]). Prüfe, dass C([x,y]) ein VR ist und das IIfII:= sup_(x [mm] \in[x,y]) [/mm] If(x)I, f [mm] \in [/mm] C([x,y]) eine Norm in C([x,y]) definiert.
Erhält man ebenso eine Norme, wenn sup durch inf ersetzt wird? |
Hallo,
habe obige Aufgabe gerade gelöst. Es ging allerdings ziemlich schnell und daher bin ich mir sehr unsicher, ob man das so einfach alles machen kann!?
Kann das mal bitte jemand überprüfen?
Hier meine Lösung:
Wir wählen f,g,h [mm] \in [/mm] C und es gilt
1.) Abgeschlossenheit f+g [mm] \in [/mm] C (Satz das Summe zweier stet. Fkt. wieder stetig!)
2.) f+g=g+f (gilt da Einträge aus IR)
(f+g)+h=f+(g+h)
Es existeier o [mm] \in [/mm] C: f+0 =f
Es existiert für alle inverses: f+g=0
3.) m, n [mm] \in [/mm] IR
(m*n)*f=m*(n*f)
m*(f+g)=m*f+m*g
(m+n)*f=m*f+n*f
Fehlen hier noch irgendwelche Erläuterung, oder kann man das alles einfach so behaupten?
Norm:
||f||:= sup_(x [mm] \in [/mm] [z,y]) |f(x)|
1.) [mm] ||f||\ge [/mm] 0, da [mm] |f(x)|\ge [/mm] 0
Falls |f(x)|=0 folgt sup |f(x)|=0, also f(x)=0
Hier ist der entschiedenede Unterschied zu inf |f(x)|=0, hieraus folgt nämlich nicht, dass f(x)=0, sondern es gibt nur einen Eintrag mit Null, aber eben nicht alle!
2.)||m*f||=sup|m*f(x)|=|m| sup|f(x)|= |t|*||f||
3.) ||f+g||=sup|f(x)+g(x)| [mm] \ge [/mm] sup|f(x)|+sup|g(x)|=||f||+||g||
So und das mit dem infimum funktionert dann eben wegen der Definitheit nicht(s.o.)!
Reicht das so aus? Fehlen da noch begründungen? Ist etwas falsch gelaufen?
Vielen dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Fehlen hier noch irgendwelche Erläuterung, oder kann man
> das alles einfach so behaupten?
wie detailliert die a) sein soll, ist zwischen Dir und Deinem Korrektor. =)
> Norm:
> IIfII:= sup_(x [mm]\in[/mm] [x,y]) If(x)I
Hätte es Dich wirklich umgebracht, die |-Taste auf Deiner Tastatur zu benutzen. Besonders mit Serifen ist das ganze grenzwertig unleserlich.
Außerdem bin ich nicht zimperlich, was das Variablen-Recycling angeht, aber [mm] $x\in [/mm] [x,y]$ ist hart. =)
> 1.) [mm]IIfII\ge0,[/mm] da [mm]If(x)\ge0[/mm]
> Falls If(x)I=0 folgt sup f(x)=0, aslo f(x)=0
Es wird ja gefordert [mm] $\| f\| [/mm] =0\ [mm] \gdw [/mm] \ f=0$, also beide Richtungen, und bei [mm] $\sup [/mm] f(x) =0$ sind die Betragsstriche verschwunden. Das solltest Du nochmal sauberer und ausführlicher machen.
> HIer ist der entschiedenede Unterschied zu inf f(x)=0,
auch hier fehlt der Betrag.
> huieraus folgt nämlich nicht, dass f(x)=0, sondern es gibt
> nur einen Eintrag mit Null, aber eben nicht alle!
Richtig.
> 2.)IIm*fII=supIm*f(x)I=ImI supIf(x)I= ItI*IIfII
> 3.) [mm]IIf+gII=supIf(x)+g(x)I\ge[/mm]
> supIf(x)I+supIg(x)I=IIfII+IIgII
Also [mm] $\sup_{x\in [x,y]}|f(x)+g(x)| \geq \sup_{x\in [x,y]} [/mm] |f(x)| + [mm] \sup_{x\in [x,y]}|g(x)|$
[/mm]
hätte ich liebend gerne mal erklärt... =P
selbst wenn Du das [mm] $\geq$ [/mm] korrigierst, sollte das ausführlicher sein.
[mm] $\| f+g\|\leq \| f\|+\| g\|$ [/mm] gilt bei [mm] $\inf [/mm] |f|$ übrigens auch nicht
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 10.04.2010 | | Autor: | LariC |
Erstmal vielen Dank, dass du dir trotz dieser zugegebenermaßen schweren Leserlichkeit die Arbeit gemacht hast dir das durchzugucken.
Ich kannte dieses zeichen ,,|" noch garnicht und habe es jetzt bei der Aufgabe verbessert.
Also nun zu:
> Also [mm]\sup_{x\in [x,y]}|f(x)+g(x)| \geq \sup_{x\in [x,y]} |f(x)| + \sup_{x\in [x,y]}|g(x)|[/mm]
[mm] \fedon\mixonIch [/mm] meinte natürlich:
[mm] \sup_(x\in[z,y]) [/mm] |f(x)+g(x)| <= [mm] sup_(x\in[z,y]) [/mm] |f(x)| + [mm] sup_(x\in[z,y]) [/mm] |g(x)|
Das gilt, da die Dreicksungleichnug auch im reellen gilt und somit:
[mm] \sup_(x\in[z,y]) [/mm] |f(x)+g(x)| <= [mm] sup_(x\in[z,y]) [/mm] |f(x)|+|g(x)| und dann eben das obige!
[mm] \fedoff [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Erstmal vielen Dank, dass du dir trotz dieser
> zugegebenermaßen schweren Leserlichkeit die Arbeit gemacht
> hast dir das durchzugucken.
> Ich kannte dieses zeichen ,,|" noch garnicht und habe es
> jetzt bei der Aufgabe verbessert.
>
> Also nun zu:
> > Also [mm] $\sup_{x\in [x,y]}|f(x)+g(x)| \geq \sup_{x\in [x,y]} [/mm] |f(x)| + [mm] \sup_{x\in [x,y]}|g(x)|$
[/mm]
Mir fällt gerade auf, daß ich genauso fröhlich [mm] $x\in [/mm] [x,y]$ geschrieben habe. Schlecht. =)
>
> meinte natürlich:
> [mm]\sup_(x\in[z,y])[/mm] |f(x)+g(x)| <= [mm]sup_(x\in[z,y])[/mm] |f(x)| +
> [mm]sup_(x\in[z,y])[/mm] |g(x)|
Eigentlich darfst Du nicht einfach die Intervallgrenzen austauschen. [x,y] ist fest vorgegeben, also sollte es [mm] $z\in [/mm] [x,y]$ sein. ^^
Oh, und wenn Du auf Formeln klickst, zeigt er Dir den Quellcode.
> Das gilt, da die Dreicksungleichnug auch im reellen gilt
> und somit:
>
> [mm] $\sup_{x\in[z,y]} [/mm] |f(x)+g(x)| [mm] \leq \sup_{x\in[z,y]} [/mm] |f(x)|+|g(x)|$
> und dann eben das obige!
Außer Ihr hattet es schonmal, würde ich zu
[mm] $\sup_{x\in[z,y]} |f(x)|+|g(x)|\leq \sup_{x\in[z,y]} |f(x)|+\sup_{x\in[z,y]} [/mm] |g(x)|$
aber zumindest eine kurze Begründung erwarten.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 11.04.2010 | | Autor: | LariC |
Ich habe jetzt zwar schonma die Definitheit genommen - aber warum gilt die Dreicksungleichung nicht beim Infimum?
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Hiho,
schau dir mal $f(x) = [mm] \sin(x), [/mm] g(x) = [mm] -\sin(x)$ [/mm] an.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 11.04.2010 | | Autor: | LariC |
Stimmt! Das macht natürlich Sinn - danke dir!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 11.04.2010 | | Autor: | LariC |
Irgendwie lässt mir das jetzt keine Ruhe mehr:
Warum gilt die Dreicksungleichnung mit
inf|f(x)+g(x)|<=inf|f(x)|+inf|g(x)| mit f(x)=sin(x) und g(x)=-sin(x) nicht?
Der erste teil ist doch immer Null und der zweite kann doch auch nie kliener werden, weil wir doch die Betragsstriche haben, oder?
Was mache ich denn da jetzt falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Irgendwie lässt mir das jetzt keine Ruhe mehr:
> Warum gilt die Dreicksungleichnung mit
> inf|f(x)+g(x)|<=inf|f(x)|+inf|g(x)| mit f(x)=sin(x) und
> g(x)=-sin(x) nicht?
>
> Der erste teil ist doch immer Null und der zweite kann doch
> auch nie kliener werden, weil wir doch die Betragsstriche
> haben, oder?
[mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $-\sin(x)$ [/mm] erfüllen sie schon,
[mm] $f(x)=\sin(x) [/mm] + 1$ und [mm] $g(x)=-\sin(x)+1$ [/mm] aber nicht.
Unser Intervall sei [mm] $[0,\pi]$, [/mm] dann ist
[mm] $\inf_{x\in[0,\pi]}|f(x)+g(x)|=2$ [/mm] (klar, da f+g konstant)
während
[mm] $\inf_{x\in[0,\pi]}|f(x)|=1$ [/mm] (bei 0 und [mm] $\pi$) [/mm] und
[mm] $\inf_{x\in[0,\pi]}|g(x)|=0$ [/mm] (bei [mm] $\frac{\pi}{2})
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mo 12.04.2010 | | Autor: | LariC |
Ok - so machts jetzt auch bei genauerem hinschauen Sinn - thx
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