V/ker f isomorph Im(f) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ,
ich muss folgende Aufgabe lösen:
Seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume über K. Sei f:V [mm] \to [/mm] W linear.
Zeige, dass V/ker (f) [mm] \cong [/mm] Im(f)
Kann mir da einer irgendwie nen Ansatz geben? Weiß nicht so recht, wie ich an dieses Aufgabe rangehen soll.
Ich weiß, dass ein Isomorphismus eine bijektive Abbildung ist und somit auch eine Umkehrabbildung existiert.
Und der Kern und das Bild einer linearen Abbildung sind ja wie folgt definiert:
Ker (f) := {x [mm] \in [/mm] V|f(x) = 0}
Im (f) := f(V)
Danke schon mal für eventuelle Anregungen.
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> Hallo ,
> ich muss folgende Aufgabe lösen:
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> Seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume über K. Sei
> f:V [mm]\to[/mm] W linear.
> Zeige, dass V/ker (f) [mm]\cong[/mm] Im(f)
>
> Kann mir da einer irgendwie nen Ansatz geben? Weiß nicht so
> recht, wie ich an dieses Aufgabe rangehen soll.
Hallo,
ich würde die allererste und naheliegendste lineare Abbildung F
F: imf [mm] \to [/mm] V/ker (f)
definieren und versuchen zu zeigen, daß diese ein Isomorphismus ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 10.12.2007 | | Autor: | pinked |
hm die surjektivität ist ja eigentlich durch die definition fast gegeben oder?
und das es linear ist, kann man über f zeigen?!
aber bei der injektivität haperts ein bisschen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi
Linearität muss gar nicht gezeigt werden denn es ist doch in der aufgabe schon gefordert
Gruß
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> Linearität muss gar nicht gezeigt werden denn es ist doch
> in der aufgabe schon gefordert
Hallo,
es ist in der Aufgabe die Linearität v. f in der Tat Voraussetzung, die steht hier aber nicht zur Debatte, sondern die Linearität der zu betrachtenden (und vorher zu definierenden...) Abbildung
F: Bildf [mm] \to [/mm] V/Kernf
Gruß v. Angela
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> hm die surjektivität ist ja eigentlich durch die definition
> fast gegeben oder?
> und das es linear ist, kann man über f zeigen?!
Hallo,
ich scheue mich jetzt, dazu "ja" zu sagen, denn ich weiß ja weder, wie Du die Abbildung F definiert hast, noch was Du unter "über f zeigen" verstehst.
> aber bei der injektivität haperts ein bisschen
Der Witz bei der Injektivität (<==> KernF=Null) ist der, daß Du Dir zunächst überlegen, welches die Null in V/Kernf ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 10.12.2007 | | Autor: | pinked |
ok die null in V/kerF ist ja kerF
das heißt: ist v + kerf element kerf' beliebig ( wobei jez f': V/kerf --> Imf sein soll)
dann ist f'(v + kerf)= 0 = f(kerf)=f(0)
kann man das so sagen?
dann ist v = 0
und kerf'=kerf=0
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> ok die null in V/kerF ist ja kerF
>
> das heißt: ist v + kerf element kerf' beliebig ( wobei jez
> f': V/kerf --> Imf sein soll)
> dann ist f'(v + kerf)= 0 = f(kerf)=f(0)
> kann man das so sagen?
> dann ist v = 0
>
Hallo,
ich habe gerade ein Problem mit dem, was Du tust - das muß aber nicht an Dir liegen...
Wie hast Du Deine Abbildung f': V/kerf --> Imf definiert?
f'(v+kernf):=???
___
Um dieser Schwierigkeit aus dem Weg zu gehen - es ist keine unüberwindliche -, hatte ich vorgeschlagen, eine Abbildung F: imf [mm] \to [/mm] V/kerf zu betrachten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 10.12.2007 | | Autor: | pinked |
huhu,
f'(v+kernf) := f(v) dürfte doch so gehen oder?
weiß leider nicht, was mir die abbildung dann bringt?!
auf jeden fall schonma vielen dank =)
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> huhu,
>
> f'(v+kernf) := f(v) dürfte doch so gehen oder?
>
> weiß leider nicht, was mir die abbildung dann bringt?!
Klar, so geht es.
x+kernf [mm] \in [/mm] kernf' ==> 0=f'(x+kernf)=f(x) ==> [mm] x\in [/mm] kernf ==> x+kernf=kernf
Also alles in Butter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Mo 10.12.2007 | | Autor: | pinked |
danke schön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 10.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
ich hab grad ein Verständnisproblem
F: (v+kerf) [mm] \mapsto [/mm] f(v)
wir müssen doch kerF=0 [mm] \Rightarrow [/mm] injektivität [mm] \Rightarrow [/mm] bijektivität [mm] \Rightarrow [/mm] F isomorph zeigen oder ?
jetzt nehmen wir ein (v + kerf) [mm] \in [/mm] kerF
> dann ist F(v + kerf)= 0 = f(kerf)=f(0)
> dann ist v = 0
versteh ich soweit, aber dann schließt du
> und kerF=kerf=0
wieso ist kerf=0 ?? oder hab ich was übersehen/falsch verstanden?
LG
SpoOny
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> ich hab grad ein Verständnisproblem
>
> F: (v+kerf) [mm]\mapsto[/mm] f(v)
>
> wir müssen doch kerF=0 [mm]\Rightarrow[/mm] injektivität [mm]\Rightarrow[/mm]
> bijektivität [mm]\Rightarrow[/mm] F isomorph zeigen oder ?
Hallo,
Ganz recht.
>
>
> jetzt nehmen wir ein (v + kerf) [mm]\in[/mm] kerF
>
> > dann ist F(v + kerf)= 0 = f(kerf)=f(0)
> > dann ist v = 0
>
> versteh ich soweit, aber dann schließt du
>
> > und kerF=kerf=0
>
> wieso ist kerf=0 ?? oder hab ich was übersehen/falsch
> verstanden?
Ja, Du hast etwas übersehen: es hat niemand gesagt, daß es richtig ist, was pinked getan hat.
Wenn Du geduldig weiterliest, kannst Du sogar nachlesen wie es denn wirklich geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo noch eine kurze zwischenfrage: Brauche ich bei dieser aufgabe zeigen das f´ injektiv ist??? Folgt denn nicht dass wenn eine lineare abbildung surjektiv ist sie auch automatiisch injektiv ist? Also würde ein kurzer verweis auf den satz doch reichen.
Gruß
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> Hallo noch eine kurze zwischenfrage: Brauche ich bei dieser
> aufgabe zeigen das f´ injektiv ist??? Folgt denn nicht dass
> wenn eine lineare abbildung surjektiv ist sie auch
> automatiisch injektiv ist?
Hallo,
das gilt nur, wenn man es mit linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalern VR derselben Dimension zu tun hat, was hier der Fall ist. (Ob man es verwenden darf, kommt darauf an, ob es bereits gezeigt wurde.)
Ja, es reicht hier, wenn man Injektivität oder Surjektivität zeigt und auf den Satz verweist.
Allerdings finde ich bei dieser Aufgabe den Nachweis der Injektivität irgendwie - bildend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 11.12.2007 | | Autor: | Damn88 |
hallo,
kann man die injektivität auch so beweisen?:
z.zg.: kerg ={0}
bew.:
Sei [a] [mm] \in [/mm] kerg
=> g([a])= 0
=>g(a+kerf)=0
=> f(a)=0
=> a [mm] \in [/mm] kerf
da wir wissen, dass jede lineare Abbildung 0 auf 0 abbildet (hier bin ich mir bei meiner Folgerung nicht so sicher :/)
=>[a]=[0]
=>kerg ={0}
und ist dann der kern von g {0} oder die menge die die menge der äquivalenzklasse der 0 enthält?
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> hallo,
> kann man die injektivität auch so beweisen?:
> z.zg.: kerg ={0}
> bew.:
> Sei [a] [mm]\in[/mm] kerg
> => g([a])= 0
> =>g(a+kerf)=0
> => f(a)=0
> => a [mm]\in[/mm] kerf
Hallo,
bis hierher ist alles in Ordnung.
Da [mm] a\in [/mm] kernf, ist [a]=a+kernf=kernf=[0],
und es ist gezeigt, daß [mm] kerng=\{[0]\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 12.12.2007 | | Autor: | pinked |
Huuhu,
hab nochma ne frage,
gilt dies nicht nur bei Vektorräumen gleicher dimension??
Also das Injektivität aus Surjektivität folgt und andersrum!
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> gilt dies nicht nur bei Vektorräumen gleicher dimension??
> Also das Injektivität aus Surjektivität folgt und
> andersrum!
Ogottogott!!! Natürlich!!!
Ich werd's verbessern.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mo 10.12.2007 | | Autor: | pinked |
hm ich meinte eigentlich damit kerf'= kerf und kerf is ja das Nullelement
=> f' is injektiv
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Gruß
