V mod W (Vektorräume) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Do 26.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hi,
wenn ich zwei Vektorräume V und W habe, was ist dann V (mod W)?
Kann ich, wenn ich Basis [mm] \{v_{1},...,v_{n}\} [/mm] von V und Basis [mm] \{w_{1},...,w_{m}\} [/mm] von W habe die Basis von V (mod W) angeben? (Falls das überhaupt ein Vektorraum ist.)
Gruß Matze
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> Hi,
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> wenn ich zwei Vektorräume V und W habe, was ist dann V (mod
> W)?
>
> Kann ich, wenn ich Basis [mm]\{v_{1},...,v_{n}\}[/mm] von V und
> Basis [mm]\{w_{1},...,w_{m}\}[/mm] von W habe die Basis von V (mod
> W) angeben? (Falls das überhaupt ein Vektorraum ist.)
>
> Gruß Matze
Hallo,
worum geht's denn genau?
Mein erster Gedanke wäre, daß mit V (mod W) der Faktor/Quotientenraum von V nach W gemeint ist.
In diesem Falle dürften aber V und W nicht einfach irgendwelche Vektorräume sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 26.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
> > Hi ,
> >
> > wenn ich zwei Vektorräume V und W habe, was ist dann V (mod
> > W)?
> >
> > Kann ich, wenn ich Basis [mm]\{v_{1},...,v_{n}\}[/mm] von V und
> > Basis [mm]\{w_{1},...,w_{m}\}[/mm] von W habe die Basis von V (mod
> > W) angeben? (Falls das überhaupt ein Vektorraum ist.)
> >
>
> worum geht's denn genau?
>
> Mein erster Gedanke wäre, daß mit V (mod W) der
> Faktor/Quotientenraum von V nach W gemeint ist.
>
> In diesem Falle dürften aber V und W nicht einfach
> irgendwelche Vektorräume sein.
>
Also gut, dann versuch ich die Situation mal kurz zu beschreiben...
Sei R ein Ring und [mm] R_{h} [/mm] Untergruppen der additiven Gruppe von R mit
1) 0= [mm] R_{-\infty}\subseteq R_{0}\subseteq R_{1}\subseteq R_{2} \subseteq...
[/mm]
2) [mm] 1\in R_{0}
[/mm]
[mm] 3)\cup R_{h}=R
[/mm]
[mm] 4)R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}
[/mm]
und weiter sei [mm] v(x):=min\{h| x\in R_{h}\}
[/mm]
Für h>0 sei [mm] R_{h}' [/mm] der K-Untervektorraum von [mm] R_{h}, [/mm] der von allen Produkten ab erzeugt wird, mit
1)a,b [mm] \in R_{h-1}
[/mm]
[mm] 2)v(a)+v(b)\le [/mm] h.
Jetzt suche ich eine minimale Menge, die [mm] R_{h} [/mm] (mod [mm] R_{h}') [/mm] als K-Vektorraum aufspannt.
Dazu würde ich gerne wissen, was [mm] R_{h} [/mm] (mod [mm] R_{h}') [/mm] bedeutet...
Ich wäre auch für Veranschauungen an Beispielen sehr dankbar (ist aber nicht unbedingt notwendig.)
Grüße Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 26.06.2008 | | Autor: | SEcki |
> Sei R ein Ring und [mm]R_{h}[/mm] Untergruppen der additiven Gruppe
> von R mit
> 1) 0= [mm]R_{-\infty}\subseteq R_{0}\subseteq R_{1}\subseteq R_{2} \subseteq...[/mm]
>
> 2) [mm]1\in R_{0}[/mm]
> [mm]3)\cup R_{h}=R[/mm]
> [mm]4)R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}[/mm]
>
> und weiter sei [mm]v(x):=min\{h| x\in R_{h}\}[/mm]
>
> Für h>0 sei [mm]R_{h}'[/mm] der K-Untervektorraum von [mm]R_{h},[/mm] der von
K - wo kommt das jetzt her? Bisher war da bloß ein Ring R ... ist R eine K-Algebra?
> allen Produkten ab erzeugt wird, mit
> 1)a,b [mm]\in R_{h-1}[/mm]
> [mm]2)v(a)+v(b)\le[/mm] h.
Daraus folgt doch [m]R_{h-1} \subset R_{h}' \subset R_{h}[/m]
> Jetzt suche ich eine minimale Menge, die [mm]R_{h}[/mm] (mod [mm]R_{h}')[/mm]
> als K-Vektorraum aufspannt.
Das mod ist genau das, was Angela gesagt hat: du hast einen Unterraum in einem vektorraum und teilst diesen heraus, siehe ![[]](/images/popup.gif) Wiki.
Zu den Elementen: ohne mehr über R und die Aufteilung zu wissen, kann man hier nicht viel sagen - in [m]R_h[/m] könnten Elemente enthalten sein, die nicht Produkt von zwei vorhergegangen sind. Hier müsste man sich Beispiele überlegen - falls du ein beliebiges R hast, kannst du ja ab einem [m]R_h[/m] ein neues Element a hinzufügen mit [m]a*b=0\forall b\in R_{alt}[/m] (quasi um eine Basis ergänzen), und dies kann man beliebig fortsetzen. Imo kann man also kaum etwas aussagen.
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Do 26.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
vielen Dank schon mal euch beide. 
> > Sei R ein Ring und [mm]R_{h}[/mm] Untergruppen der additiven Gruppe
> > von R mit
> > 1) 0= [mm]R_{-\infty}\subseteq R_{0}\subseteq R_{1}\subseteq R_{2} \subseteq...[/mm]
> > 2) [mm]1\in R_{0}[/mm]
> > [mm]3)\cup R_{h}=R[/mm]
> [mm]4)R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}[/mm]
> >
> > und weiter sei [mm]v(x):=min\{h| x\in R_{h}\}[/mm]
> >
> > Für h>0 sei [mm]R_{h}'[/mm] der K-Untervektorraum von [mm]R_{h},[/mm] der von
>
> K - wo kommt das jetzt her? Bisher war da bloß ein Ring R
> ... ist R eine K-Algebra?
Ups, habe ich ganz vergessen hinzuschreiben... Hier nehme ich nur Ringe, für die [mm] R_{0}=K [/mm] ist für einen Körper K.
> > allen Produkten ab erzeugt wird, mit
> > 1)a,b [mm]\in R_{h-1}[/mm]
> > [mm]2)v(a)+v(b)\le[/mm] h.
>
> Daraus folgt doch [m]R_{h-1} \subset R_{h}' \subset R_{h}[/m]
>
> > Jetzt suche ich eine minimale Menge, die [mm]R_{h}[/mm] (mod [mm]R_{h}')[/mm]
> > als K-Vektorraum aufspannt.
>
> Das mod ist genau das, was Angela gesagt hat: du hast einen
> Unterraum in einem vektorraum und teilst diesen heraus,
> siehe Wiki.
>
> Zu den Elementen: ohne mehr über R und die Aufteilung zu
> wissen, kann man hier nicht viel sagen - in [m]R_h[/m] könnten
> Elemente enthalten sein, die nicht Produkt von zwei
> vorhergegangen sind. Hier müsste man sich Beispiele
> überlegen - falls du ein beliebiges R hast, kannst du ja ab
> einem [m]R_h[/m] ein neues Element a hinzufügen mit [m]a*b=0\forall b\in R_{alt}[/m]
> (quasi um eine Basis ergänzen), und dies kann man beliebig
> fortsetzen. Imo kann man also kaum etwas aussagen.
>
Ok, dann versuche ich es mal mit einem Beispiel:
Ist R=k[x] und deg(p) der Grad eines Polynoms p aus R. Dann sei [mm] R_{h}=\{p \in R| deg(p)\le h\} [/mm] und v(p)=deg(p).
Dann ist doch [mm] R_{1}' [/mm] =K und [mm] R_{2}'=\{p\in R_{2}| \exists q,r\in R_{1}: p=qr\}...
[/mm]
Stimmt es, dass dann [mm] R_{1} [/mm] (mod [mm] R_{1}')=\{K, x+K, ax+K (a\in K) \} [/mm] ist?
Ist dann z.B. [mm] \{1, x\} [/mm] eine minimale Menge, die [mm] R_{1} [/mm] (mod [mm] R_1') [/mm] als K-Vektorraum aufspannt?
Hmm, aber spannt [mm] \{1,x\} [/mm] nicht schon [mm] R_{1} [/mm] als K-Vektorraum auf? *grübel*
Oder muss ich irgendwie in meine minimale Menge noch mit einbeziehen, dass die Elemente aus [mm] R_{1} [/mm] (mod [mm] R_{1}') [/mm] Mengen sind?
(Sind sie doch oder?)
Grüße Matze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Fr 27.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Für h>0 sei [mm]R_{h}'[/mm] der K-Untervektorraum von [mm]R_{h},[/mm] der von
> >
> > K - wo kommt das jetzt her? Bisher war da bloß ein Ring R
> > ... ist R eine K-Algebra?
>
> Ups, habe ich ganz vergessen hinzuschreiben... Hier nehme
> ich nur Ringe, für die [mm]R_{0}=K[/mm] ist für einen Körper K.
Eigentlich reicht ,dass [mm] $R_0$ [/mm] eine $K$-Algebra ist.
> > > allen Produkten ab erzeugt wird, mit
> > > 1)a,b [mm]\in R_{h-1}[/mm]
> > > [mm]2)v(a)+v(b)\le[/mm] h.
> >
> > Daraus folgt doch [m]R_{h-1} \subset R_{h}' \subset R_{h}[/m]
Ja.
> > > Jetzt suche ich eine minimale Menge, die [mm]R_{h}[/mm] (mod [mm]R_{h}')[/mm]
> > > als K-Vektorraum aufspannt.
> >
> > Das mod ist genau das, was Angela gesagt hat: du hast einen
> > Unterraum in einem vektorraum und teilst diesen heraus,
> > siehe Wiki.
> Ok, dann versuche ich es mal mit einem Beispiel:
>
> Ist R=k[x] und deg(p) der Grad eines Polynoms p aus R. Dann
> sei [mm]R_{h}=\{p \in R| deg(p)\le h\}[/mm] und v(p)=deg(p).
>
> Dann ist doch [mm]R_{1}'[/mm] =K und [mm]R_{2}'=\{p\in R_{2}| \exists q,r\in R_{1}: p=qr\}...[/mm]
Nein, es ist [mm] $R_1' [/mm] = [mm] R_1$, [/mm] da in [mm] $R_1'$ [/mm] z.B. $x$ und $1$ enthalten sind, und [mm] $R_1$ [/mm] als $K$-Vektorraum von $1$ und $x$ erzeugt wird.
Genauso ist [mm] $R_n' [/mm] = [mm] R_n$.
[/mm]
> Stimmt es, dass dann [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')=\{K, x+K, ax+K (a\in K) \}[/mm]
> ist?
Du meinst [mm] $R_1' [/mm] = [mm] \{ a x + K \mid a in K \}$, [/mm] um das mal mathematisch korrekt aufzuschreiben? Nein, das stimmt nicht, da [mm] $R_1'$ [/mm] nicht $K$ ist.
> Ist dann z.B. [mm]\{1, x\}[/mm] eine minimale Menge, die [mm]R_{1}[/mm] (mod
> [mm]R_1')[/mm] als K-Vektorraum aufspannt?
Nein. Die einzige Menge, die das tut, ist [mm] $\emptyset$.
[/mm]
> Hmm, aber spannt [mm]\{1,x\}[/mm] nicht schon [mm]R_{1}[/mm] als
> K-Vektorraum auf? *grübel*
Genau deswegen.
> Oder muss ich irgendwie in meine minimale Menge noch mit
> einbeziehen, dass die Elemente aus [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')[/mm]
> Mengen sind?
Das sowieso (das hast du oben ja auch gemacht, nur dass du $K$ anstelle [mm] $R_1' [/mm] = [mm] R_1 [/mm] = K + K x$ verwendet hast). Aber das ist hier nicht das Problem.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:51 So 29.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo
> > > > Für h>0 sei [mm]R_{h}'[/mm] der K-Untervektorraum von [mm]R_{h},[/mm] der von
> > >
> > > K - wo kommt das jetzt her? Bisher war da bloß ein Ring R
> > > ... ist R eine K-Algebra?
> >
> > Ups, habe ich ganz vergessen hinzuschreiben... Hier nehme
> > ich nur Ringe, für die [mm]R_{0}=K[/mm] ist für einen Körper K.
>
> Eigentlich reicht ,dass [mm]R_0[/mm] eine [mm]K[/mm]-Algebra ist.
>
> > > > allen Produkten ab erzeugt wird, mit
> > > > 1)a,b [mm]\in R_{h-1}[/mm]
> > > > [mm]2)v(a)+v(b)\le[/mm] h.
> > >
> > > Daraus folgt doch [m]R_{h-1} \subset R_{h}' \subset R_{h}[/m]
>
> Ja.
>
> > > > Jetzt suche ich eine minimale Menge, die [mm]R_{h}[/mm] (mod [mm]R_{h}')[/mm]
> > > > als K-Vektorraum aufspannt.
> > >
> > > Das mod ist genau das, was Angela gesagt hat: du hast einen
> > > Unterraum in einem vektorraum und teilst diesen heraus,
> > > siehe Wiki.
>
>
>
> > Ok, dann versuche ich es mal mit einem Beispiel:
> >
> > Ist R=k[x] und deg(p) der Grad eines Polynoms p aus R. Dann
> > sei [mm]R_{h}=\{p \in R| deg(p)\le h\}[/mm] und v(p)=deg(p).
> >
> > Dann ist doch [mm]R_{1}'[/mm] =K und [mm]R_{2}'=\{p\in R_{2}| \exists q,r\in R_{1}: p=qr\}...[/mm]
>
> Nein, es ist [mm]R_1' = R_1[/mm], da in [mm]R_1'[/mm] z.B. [mm]x[/mm] und [mm]1[/mm] enthalten
> sind, und [mm]R_1[/mm] als [mm]K[/mm]-Vektorraum von [mm]1[/mm] und [mm]x[/mm] erzeugt wird.
>
> Genauso ist [mm]R_n' = R_n[/mm].
Das verstehe ich nicht... In [mm] R_{1}' [/mm] sind doch nur Produkte von Elementen aus [mm] R_{0}, [/mm] also nur Elemente aus K, wie kann dann x in [mm] R_{1}' [/mm] enthalten sein? Und es gibt doch in [mm] R_{n} [/mm] auch immer Polynome, die sich nicht in das Produkt zweier Polynome aus [mm] R_{i}, i\le [/mm] n zerlegen lassen oder?
> > Stimmt es, dass dann [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')=\{K, x+K, ax+K (a\in K) \}[/mm]
> > ist?
>
> Du meinst [mm]R_1' = \{ a x + K \mid a \in K \}[/mm], um das mal
> mathematisch korrekt aufzuschreiben?
Nein, das meine ich nicht. Ich will ja gerade wissen, was [mm] R_{1} [/mm] (mod [mm] R_{1}') [/mm] ist.
> Nein, das stimmt
> nicht, da [mm]R_1'[/mm] nicht [mm]K[/mm] ist.
>
> > Ist dann z.B. [mm]\{1, x\}[/mm] eine minimale Menge, die [mm]R_{1}[/mm] (mod
> > [mm]R_1')[/mm] als K-Vektorraum aufspannt?
>
> Nein. Die einzige Menge, die das tut, ist [mm]\emptyset[/mm].
>
> > Hmm, aber spannt [mm]\{1,x\}[/mm] nicht schon [mm]R_{1}[/mm] als
> > K-Vektorraum auf? *grübel*
>
> Genau deswegen.
>
> > Oder muss ich irgendwie in meine minimale Menge noch mit
> > einbeziehen, dass die Elemente aus [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')[/mm]
> > Mengen sind?
>
> Das sowieso (das hast du oben ja auch gemacht, nur dass du
> [mm]K[/mm] anstelle [mm]R_1' = R_1 = K + K x[/mm] verwendet hast). Aber das
> ist hier nicht das Problem.
>
????????hä????
Kannst Du mir vielleicht nochmal genau erklären, warum [mm] R_{n}'=R_{n} [/mm] ist, vielleicht verstehe ich den Rest dann ja auch...
Grüße Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 29.06.2008 | | Autor: | SEcki |
> > Nein, es ist [mm]R_1' = R_1[/mm], da in [mm]R_1'[/mm] z.B. [mm]x[/mm] und [mm]1[/mm] enthalten
> > sind, und [mm]R_1[/mm] als [mm]K[/mm]-Vektorraum von [mm]1[/mm] und [mm]x[/mm] erzeugt wird.
> >
> > Genauso ist [mm]R_n' = R_n[/mm].
>
> Das verstehe ich nicht... In [mm]R_{1}'[/mm] sind doch nur Produkte
> von Elementen aus [mm]R_{0},[/mm] also nur Elemente aus K, wie kann
> dann x in [mm]R_{1}'[/mm] enthalten sein?
Gar nicht - das ist ein Fehler, [m]R_0=R'_1 \neq \R_1[/m]
> Und es gibt doch in [mm]R_{n}[/mm]
> auch immer Polynome, die sich nicht in das Produkt zweier
> Polynome aus [mm]R_{i}, i\le[/mm] n zerlegen lassen oder?
Im allgemeinen ja (zB gilt das nicht für [m]\IC[/m]), aber hier irrelevant - [m]X^n = X * X{n-1}[/m], damit liegt das Monom höchsten Grades, und da Untergruppe bzw. Unterraum, dann jedes Polynom n-ten Grades in [m]R'_{n-1}[/m]
Der Defekt bei [m]R'_1[/m] kommt genau daher, dass X ein linear unabhängiger Erzeuger des Polynomringes ist, es gitl dann [m]R /R'_1=K*[X]=K[/m] ([X] die Äquiv.klasse von X unter der Projektion)
> > Du meinst [mm]R_1' = \{ a x + K \mid a \in K \}[/mm], um das mal
> > mathematisch korrekt aufzuschreiben?
>
> Nein, das meine ich nicht. Ich will ja gerade wissen, was
> [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')[/mm] ist.
Siehe oben - es ist isomorph zum Grundkörper K. Dz musst bei mod mit Restklassen umgehen, wie im Wiki-Artikel beschrieben! Schau dir das bitte nochmal an, um "genau" zu wissen, was denn der Faktorraum ist.
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 29.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
jetzt bin ich vollkommen durcheinander...
Also ich fasse noch mal zusammen:
Wenn ich das richtig verstanden habe ist in meinem "tollen" Beispiel [mm] R_{1}'=R_{0} [/mm] und für alle n [mm] \not= [/mm] 1 ist [mm] R_{n}'=R_{n}, [/mm] da [mm] x^{n}=x\cdot x^{n-1} [/mm] in [mm] R_{n}' [/mm] liegt.
> Du musst
> bei mod mit Restklassen umgehen, wie im Wiki-Artikel
> beschrieben! Schau dir das bitte nochmal an, um "genau" zu
> wissen, was denn der Faktorraum ist.
Ok, das habe ich versucht:
Jetzt ist [mm] R_{1} [/mm] (mod [mm] R_{1}') =\{ [p] | p\in R_{1}\}=\{p + K| p\in R_{1}\} =\{ax+K| a\in K\}
[/mm]
> Der Defekt bei [m]R'_1[/m] kommt genau daher, dass X ein linear
> unabhängiger Erzeuger des Polynomringes ist, es gitl dann [m]R /R'_1=K*[X]=K[/m]
> ([X] die Äquiv.klasse von X unter der Projektion)
> [...]
> es ist isomorph zum Grundkörper K
Ah gut, K*[x] ist jetzt ja gerade Kx+K, also das gleiche wie bei mir, oder?
Wieso ist das denn jetzt isomorph zu K?
Wovon wird [mm] R_{1} [/mm] (mod [mm] R_{1}') [/mm] jetzt erzeugt?
Grüße Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 So 29.06.2008 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich das richtig verstanden habe ist in meinem "tollen"
> Beispiel [mm]R_{1}'=R_{0}[/mm] und für alle n [mm]\not=[/mm] 1 ist
> [mm]R_{n}'=R_{n},[/mm] da [mm]x^{n}=x\cdot x^{n-1}[/mm] in [mm]R_{n}'[/mm] liegt.
jedenfalls hab ich das so geschrieben, ja ...
> Ok, das habe ich versucht:
> Jetzt ist [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}') =\{ [p] | p\in R_{1}\}=\{p + K| p\in R_{1}\} =\{ax+K| a\in K\}[/mm]
K ist hier falsch - das muss [m]R'_1[/m] sein, wie du auf [m]\{ax+K| a\in K\}[/m] kommst, weiss ich nicht.
> > Der Defekt bei [m]R'_1[/m] kommt genau daher, dass X ein linear
> > unabhängiger Erzeuger des Polynomringes ist, es gitl dann [m]R /R'_1=K*[X]=K[/m]
> > ([X] die Äquiv.klasse von X unter der Projektion)
> > [...]
> > es ist isomorph zum Grundkörper K
>
> Ah gut, K*[x] ist jetzt ja gerade Kx+K, also das gleiche
> wie bei mir, oder?
Nein, im Wesentlichen bloß [m]K*X[/m] - der rundkörper K wird ja herausfaktorisiert,
> Wovon wird [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')[/mm] jetzt erzeugt?
[m][X][/m]
Ich glaube, es wäre ratsam, wenn du erstmal ein lineare Algebra Buch nimmst und dir dort Beispiele zu Quotientenvektorräumen anschaust - und dann in einem Algebra-Buch die ganz analogen Definitionen für Gruppen, Ringe, Moduln ... etc pp
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Mo 30.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
> > Wenn ich das richtig verstanden habe ist in meinem "tollen"
> > Beispiel [mm]R_{1}'=R_{0}[/mm] und für alle n [mm]\not=[/mm] 1 ist
> > [mm]R_{n}'=R_{n},[/mm] da [mm]x^{n}=x\cdot x^{n-1}[/mm] in [mm]R_{n}'[/mm] liegt.
>
> jedenfalls hab ich das so geschrieben, ja ...
Ja, ich wollte nur wissen, ob ich das was du geschrieben hast richtig verstanden habe...
>
> > Ok, das habe ich versucht:
> > Jetzt ist [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}') =\{ [p] | p\in R_{1}\}=\{p + K| p\in R_{1}\} =\{ax+K| a\in K\}[/mm]
>
> K ist hier falsch - das muss [m]R'_1[/m] sein, wie du auf [m]\{ax+K| a\in K\}[/m]
> kommst, weiss ich nicht.
Aber [mm] R_{1}' [/mm] ist doch gleich K (denn [mm] R_{1}'=R_{0}=K) [/mm] oder etwa doch nicht?
Auf [mm] \{ax+K| a\in K\} [/mm] komme ich, weil doch jedes [mm] p\in R_{1} [/mm] die Form ax+b mit a,b [mm] \in [/mm] K hat (denn für p [mm] \in R_{1} [/mm] gilt [mm] grad(p)\le [/mm] 1) und damit auf p+K=ax+b+K=ax+K.
Vielleicht kannst du mir ja einfach sagen, wo mein Denkfehler ist.
> > > Der Defekt bei [m]R'_1[/m] kommt genau daher, dass X ein linear
> > > unabhängiger Erzeuger des Polynomringes ist, es gitl dann [m]R /R'_1=K*[X]=K[/m]
> > > ([X] die Äquiv.klasse von X unter der Projektion)
> > > [...]
> > > es ist isomorph zum Grundkörper K
> >
> > Ah gut, K*[x] ist jetzt ja gerade Kx+K, also das gleiche
> > wie bei mir, oder?
>
> Nein, im Wesentlichen bloß [m]K*X[/m] - der rundkörper K wird ja
> herausfaktorisiert,
>
Ok, ich habe keine Ahnung wie du überhaupt auf [mm] K\cdot [/mm] [x] kommst... Vielleicht kannst du mir das ja mal erklären....
Was ich mir bei meiner Aussage gedacht habe war [mm] K\cdot [/mm] [x] = [mm] K\cdot [/mm] (x+K) [mm] =K\cdot [/mm] x +K. Was ist daran falsch?
> > Wovon wird [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}')[/mm] jetzt erzeugt?
>
> [m][X][/m]
>
> Ich glaube, es wäre ratsam, wenn du erstmal ein lineare
> Algebra Buch nimmst und dir dort Beispiele zu
> Quotientenvektorräumen anschaust - und dann in einem
> Algebra-Buch die ganz analogen Definitionen für Gruppen,
> Ringe, Moduln ... etc pp
>
Das habe ich ja versucht, aber anscheinend bin ich einfach zu blöd das zu verstehen. Ich habe noch nie etwas mit Quotientenvektorräumen gemacht und kapier es alleine nicht, darum frage ich ja hier nach. Die analogen Definitionen von Gruppen, Ringen, Moduln etc. kenne ich mittlerweile eigentlich...
Grüße Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 30.06.2008 | | Autor: | SEcki |
> > > Ok, das habe ich versucht:
> > > Jetzt ist [mm]R_{1}[/mm] (mod [mm]R_{1}') =\{ [p] | p\in R_{1}\}=\{p + K| p\in R_{1}\} =\{ax+K| a\in K\}[/mm]
> >
> > K ist hier falsch - das muss [m]R'_1[/m] sein, wie du auf [m]\{ax+K| a\in K\}[/m]
> > kommst, weiss ich nicht.
>
> Aber [mm]R_{1}'[/mm] ist doch gleich K (denn [mm]R_{1}'=R_{0}=K)[/mm] oder
> etwa doch nicht?
Äh, ja. Stimmt - du kannst hier K schreiben - ich war gedanklich schon im Fall für beliebige n. Ich finde es trotzdem etwas unglücklich, da K ja hier isomorph als [m]R_0[/m] drinsitzt, und wir genau diesen Untervekotrraum herausfaktorisieren (und nicht eine beliebige Kopie von K). Vor allem wenn man die Ringstruktur dann untersucht, finde ich eine ad hoc Identifikation eher unratsam für das Verständnis.
> Auf [mm]\{ax+K| a\in K\}[/mm] komme ich, weil doch jedes [mm]p\in R_{1}[/mm]
> die Form ax+b mit a,b [mm]\in[/mm] K hat (denn für p [mm]\in R_{1}[/mm] gilt
> [mm]grad(p)\le[/mm] 1) und damit auf p+K=ax+b+K=ax+K.
Ah, du meintest das dann als Restklasse - ja, das ist dann richtig.
> > Nein, im Wesentlichen bloß [m]K*X[/m] - der rundkörper K wird ja
> > herausfaktorisiert,
> >
> Ok, ich habe keine Ahnung wie du überhaupt auf [mm]K\cdot[/mm] [x]
> kommst... Vielleicht kannst du mir das ja mal erklären....
Der Vektorraum über K der von einem Element erzeugt wird - das soll da stehen.
> Was ich mir bei meiner Aussage gedacht habe war [mm]K\cdot[/mm] [x]
> = [mm]K\cdot[/mm] (x+K) [mm]=K\cdot[/mm] x +K. Was ist daran falsch?
Aha, du meintest also das zweite K nicht als Summanden in einer Vektorraumdarstellung sondern als Plus von der Äquivalenzklasse? Da würde ich einfach [m]K*(x+R_0)[/m] schreiben - damit meine ich: es gibt ein Element im Quotientenvektorraum, nämlich [m]x+R_0[/m], und dieser erzeugt den QVR, also [m]QVR \cong K*(x+R_0)[/m]
> Das habe ich ja versucht, aber anscheinend bin ich einfach
> zu blöd das zu verstehen. Ich habe noch nie etwas mit
> Quotientenvektorräumen gemacht und kapier es alleine nicht,
Und welchen einachen Beispiele in den Lehrbüchern hast du dir selber versucht klar zu machen? Die Sachen in diesem Thread sind nicht einfache Beispiele zu QVRen. Imo solltest du einen Schritt zurückgehen und schauen, ob du da die Sachen überblicken kannst.
> darum frage ich ja hier nach. Die analogen Definitionen von
> Gruppen, Ringen, Moduln etc. kenne ich mittlerweile
> eigentlich...
Definition - und welche Beispiele? (Falls du fragen zu denen hast, bitte einen neuen Thread aufmachen)
SEcki
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