Variable aus Fläche berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mo 17.11.2008 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | Gegeben sei f(x) = [mm] \bruch{1}{k} x^3 [/mm] + [mm] k^2.
[/mm]
Im Intervall von 0 bis 1 soll der Flächeninhalt 4 Fe betragen. Wie muss k gewählt sein? |
Gut also als erstes habe ich einmal differenziert.
f(x) = [mm] \bruch{1}{k} x^3 [/mm] + [mm] k^2.
[/mm]
[mm] integral_{1}^{0}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4k} x^4 [/mm] +k^2x
also kommt hierraus
[mm] integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4k} +k^2
[/mm]
Einsetzen des Flächeninhaltes
4 = [mm] \bruch{1}{4k} [/mm] + [mm] k^2
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{4k} [/mm] + [mm] k^2 [/mm] -4
Wie mache ich jetzt weiter. Es ist wirklich drigend!!!
Danke für die Hilfe
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Hallo, dein Ansatz ist korrekt,
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{k}x^{3}+k^{2} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4k}x^{4}+k^{2}x [/mm] obere Grenze 1, untere Grenze 0
[mm] 0=\bruch{1}{4k}+k^{2}-4
[/mm]
[mm] 0=4k^{3}-16k+1
[/mm]
hier führt ein Näherungsverfahren zum Ziel, zum Beispiel das Newton-Verfahren
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 17.11.2008 | | Autor: | inuma |
Hallo steffi,
erstmal danke für deine Hilfe.
Es wäre aber besser kein Näherungsverfahren zu benutzen, da dies in disem Unterricht noch nicht stattfand.
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In diesem Fall kannst Du auch die ![[]](/images/popup.gif) Cardanischen Formeln benutzen. Das ist, wie Du dem Link entnimmst, nicht soooo einfach. Glücklicherweise liegt Dein Polynom schon fast fertig in reduzierter Form vor.
Die zu bestimmende Diskriminante D ist hier ein D<0. Damit liegt der sogenannte casus irreducibilis vor und Du hast drei reelle Lösungen. Die sind nun zwar präzise zu bestimmen, aber über die genauen Werte wirst Du nicht glücklich sein.
Vielleicht reicht ja doch eine Näherung? Gib die Funktion doch mal hier ein und lass sie Dir zeigen. Du kannst die Darstellungsgröße bzw. den angezeigten Ausschnitt leicht verändern. Statt k musst Du allerdings x schreiben: 4*x^ 3-16*x+1
Wenn Du dann die Nullstellen einzeln anzeigen lässt, indem Du den Anzeigeausschnitt hinreichend klein wählst, kannst Du eine Abschätzung auf etwa drei bis vier Dezimalstellen hinbekommen.
Ein gültiger Lösungsschritt ist das natürlich nicht, aber da kann ich Dich nur wieder auf den maestro Gerolamo Cardano verweisen, s.o.
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