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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Do 23.06.2011 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Zeige für den Bernoulli-Prozess B(t): $E(B(t)) = tp$ und $Var(B(t)) = tp(1-p)$
$B(0)=0$
$B(t)-B(t-1) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit } p \\ 0, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p \end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
wir haben im Tutorium die Aufgaben bereits besprochen, aber jetzt verstehe ich einen Teil nicht. Wie man auf den Erwartungswert kommt, ist klar. Bei der Varianz hatte wir aufgeschrieben:
$Var(B(t))= [mm] Var[\summe_{i=1}^{t} [/mm] (B(i)-B(i-1))]$
$= t [mm] \cdot [/mm] Var((B(i)-B(i-1))$
$= [mm] t(E((B(i)-B(i-1))^2 [/mm] - [mm] (E((B(i)-B(i-1))^2))$
[/mm]
$= t (p [mm] \cdot [/mm] 1 + (1-p) [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] -(tp)^2)$ [/mm] Wie kommt man darauf? Ich schlussfolgere immer auf: [mm] t(p^2 [/mm] - [mm] t^2p^2) [/mm]
$= [mm] t(p-p^2)$ [/mm] zusammengefasst ergibt das doch: [mm] t(p-t^2p^2) [/mm]
$= tp(1-p)$
Weiß einer weiter? :(
Viele Grüße
Joan
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Hallo
> Zeige für den Bernoulli-Prozess B(t): [mm]E(B(t)) = tp[/mm] und
> [mm]Var(B(t)) = tp(1-p)[/mm]
>
> [mm]B(0)=0[/mm]
> [mm]B(t)-B(t-1) = \begin{cases} 1, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit } p \\ 0, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wir haben im Tutorium die Aufgaben bereits besprochen, aber
> jetzt verstehe ich einen Teil nicht. Wie man auf den
> Erwartungswert kommt, ist klar. Bei der Varianz hatte wir
> aufgeschrieben:
>
> [mm]Var(B(t))= Var[\summe_{i=1}^{t} (B(i)-B(i-1))][/mm]
>
> [mm]= t \cdot Var((B(i)-B(i-1))[/mm]
>
> [mm]= t(E((B(i)-B(i-1))^2 - (E((B(i)-B(i-1))^2))[/mm]
>
> [mm]= t (p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0 -(tp)^2)[/mm] Wie kommt man
> darauf? Ich schlussfolgere immer auf: [mm]t(p^2[/mm] - [mm]t^2p^2)[/mm]
>
Bei ersten Teil ist das zweite Moment ausgerechnet worden, also [mm] $E[(B(i)-B(i-1))^2]$. [/mm] Diese ergibt sich als [mm] $1^2\cdot [/mm] p + [mm] 0^2\cdot(1-p)$.
[/mm]
Beim zweiten Teil wurde einfach der Erwartungswert $E[B(t)]$ quadriert.
> [mm]= t(p-p^2)[/mm] zusammengefasst ergibt das doch: [mm]t(p-t^2p^2)[/mm]
>
Hier scheint einfach ein $t$ verschwunden zu sein. Deine Zusammenfassung stimmt. Somit müsste das Ergebnis sein $tp(1-t^2p)$
> [mm]= tp(1-p)[/mm]
>
> Weiß einer weiter? :(
>
> Viele Grüße
> Joan
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Do 23.06.2011 | | Autor: | Joan2 |
Achso. Hab vielen Dank für die Erkläfung :)
Gruß Gruß
Joan ^^
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